梯形中的点的运动问题.doc

梯形中的点的运动问题 梯形是特殊的四边形，涉及梯形的题目比较多，其中有一类与点的运动相关的题目具有探索型，能够考查同学们探究问题的能力.现举例如下.一、两点在一般梯形的两底上以不同的速度运动例1 已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s速度运动，到B点即停止.直线PQ截梯形为两个四边形，问当P、Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形? 图1 图2分析：要求当P、Q同时出发几秒后，其中一个四边形是平行四边形，应分两种情况，如图2，四边形PQCD是平行四边形，；如图3，四边形ABQP是平行四边形.可根据平行四边形的对边相等求出两种情况的时间.图3解：（1）设运动a秒后，四边形PQCD为平行四边形，此时，有AP=a，PD=24a，CQ=2a，根据PD=CQ，得24a=2a，所以a=8.所以当运动 8秒时，四边形PQCD为平行四边形.（2）设运动b秒时，四边形ABQP为平行四边形，此时，有AP=b，CQ=2b，BQ=302b，根据平行四边形的对边相等，可得AP=BQ，即b=302b，解得b=10，所以当运动10秒后四边形PQCD是平行四边形.二、两点在等腰梯形的两点上以不同的速度运动 如图4，等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=9cm，BC=15cm，动点P从点A开始沿着AD边以1cn/s的速度向D运动，动点Q从C点出发，沿着CB边以2cm/s的速度向B点运动，P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？ 分析：由已知可知AP=t，则PD=8t，CQ=2t，当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形； 图4 图5当四边形PQCD是等腰梯形，因为梯形ABCD是等腰梯形，所以四边形ABQP为平行四边形.解：在梯形ABCD中，AD/BC，B=C，设AP=t，则PD=9t，CQ=2t，BQ=152t.（1）如图4，当四边形PQCD是平行四边形时，PD=QC，则9t=2t，所以t=3.即当t=3秒时，四边形PQCD是平行四边形.（2）如图5，当四边形是等腰梯形时，则C=PQC，因为B=C，所以B=PQC，所以AB/PQ，所以AB/PQ，所以四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，即t=152t，所以t=5， 所以当t=5时，四边形 PQCD是等腰梯形.三、两点在直角梯形两底上以不同的速度运动例3 如图6，在梯形ABCD中，AD/BC，B=90.AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm.点M从A点开始，沿AD边向D运动，速度为厘米秒，点N从点C开始沿CB边向点B运动，速度为2厘米秒，当t为何值时，（1）当为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何址时，四边形MNCD是等腰梯形？ 图6 图7分析：（1）要使四边形MNCD是平行四边形，只要MD=CN即可；（2）当四边形MNCD是等腰梯形，根据已知条件可得MD=ADAM=15t，NC=2t，作ME、DF分别垂直于BC垂足为E、F，则有CF=NE=BCAD=2115=6，而NF=2t6，MD=15t，根据NE=NFMD=6可以列出方程求到t.解：（1）假设当t=a时，四边形MNCD为平行四边形，根据平行四边形的判定定理有MD=NC，即：15a=2a，解得a=5.所以当秒时，四边形MNCD为平行四边形（2）假设当t=a时，四边形MNCD是等腰梯形，则CD=MN（如图7），作MEBC，DFBC，垂足分别是E、F，则ME=DF，NE=CF，因为CF=BCAD