概率论（7）（高一、高二、高三）.doc

2概率论（7）（高一、高二、高三）数理天地高中版2000年第7期需时间为垒一,或写成微分的关系式上+2dt一(Rcos0+2)RdO一(5cos0+2/5)dO,因此质点从A逆时针运动到B所需时间为r一丁=I(5cos0+2/5)dO言5一5i0+2三=(秒).例4有一半径为R,密度均匀的球体.其密度|D只与点到球心的距离r有关,即位于球内以原点为中心的同一球面上的点处密度相同,假定有关系|D=口r+b,其中a,b为常数,求该球体的质量.解考虑半径为r和r+dir两个球面可割出的球壳,厚度为dir,其体积为diV一(r+Ar).一r3一4r+o(Ar)0因而其质量为MpAV一4r:(ar+b)Ar+o(4r)或写成为dM一4舸(ar+b)dr,故此球的质量为:fR4丌r+b)d:fR+bRM(arb)draRbR.1.=I4丌r+=I+.J0,u例5速度为V(f)的高温气体通过某圆孔,由于物质熔化.圆孔的半径按rr(f)变化(自然r(f)是增函数),求从t.到t.+T这段时间内流经圆孔的气体体积.解在时刻t取一时间元,在内流经圆孔的气体近似是一个圆柱,底面面积是耵.(f),高度为V(t)dt,因此流过气体的体积(元)是dV一耵(f)(t)dt.取积分使得到在t.到t.+T这段时间内流经圆孔的rf+丁气体体积V=I丌r()(t)dt.Jf0例6有一半圆形的水闸,其半径为1米,当渠中水满到闸顶部(即直径)时,闸门受到的总压力是多少?解如图2,取水平方向为y轴,取轴垂直向下,取图中画有斜线的一条面积(微元),其坐标在和+之间(0<<1),考虑它所受到水的压力(元素)Ap,由圆的方程.+y.一1,故图2此条的面积近似等于21一.dx,因而它受到水的压力(元素)是P2gx/1一,或dP一2gx/1一.dx,其中g为重力加速度,是水的深度,水的密度为1吨/米.于是水闸受到的总压力是r1,.,一9PI2gx,/1一dx=g6.5(吨).(未完,待续)2.概率论(7)(高一,高二,高三)(本期重点文章)肖果能(长沙铁道学院410075)3?概率与频率.limPfl鱼一Pl>e1一o现在考虑任意的频率fA()一音,其中k是或证明limP(1一P1.>e)一o次试验中事件A发生的次数(频数),因此k的值是频率是的取值是随机的,但我们所关心的是的值要随机的,已设A的概率为P?关于概率P与频率使条件1knP1>e成立,故k在(nP一e,nP+fa(n)之间的关系有下面的贝努利定理ne)的范围内取正整数值,对每个这样的k,成功k定理2对任意的正数e>0,我们有次的概率是B(k).由概率的可加性,概率P(1k一!iraP(1kPle)一1n所P求I>之n和e),即1等于对在此范围内的是所对应的B贝努利定理的涵义是:只要试验次数很大,P(1knP1>ne)一B(k)P<<nP十则频率与概率P接近到任意指定的程度(即但在此范围内,条件1knP1>e成立,故l鱼一l,)的可能性就会很大(即概率可任ll>1,即(k-nP/.>1,因而将的右意接近于1).方乘以(j时,右方可能变大,即有证明考虑到与(1鲁一Ple)对立的是P(j一PI>s),乏,+()B()cl一Pl>故要证明,只要证明圣?3?数理天地高中版2000年第7期)求和,则和式中增加了一些新的非负项,因而可能再一次变大,即有P(1一PI>()一(一P)B()我们来估计这个不等式的右边,先将右边的和式展开三(五一nP).B(五)一三kB(五)一2nP三kB(五)+P三B(五)分别计算右方的三个和式.(1)对第三个和式,注意到及P+Q一1,三B(五)一三C:PQ=(P+Q)=1(2)对第二个和式,三kB(k)一2kPQ一一丽两P一P一PP一一nP三C一1PQ一一nP(P+Q)一一nP.(3)对于第一个和式,注意到三k(一1)B()一三k(一1)B()一P一(一)Pz?P一Q一2一一一c一P:丌PQ_z)_,一n(一1)P(P+Q)一一n(一1)P故有三kzB()一三k(1)B()+三kB()一(一1)P+nPnP+P(1一P)现将此三个和式的值代入原来的式子,得到三(一nP)B()一nP+nP(1一P)一2nP?nP+nZpznP(1一P)故原来的不等式化为P(1knPl>)<一.一但当一cx3时,右边趋于0,从而有limP(1knPl>)0于是贝努利定理得证.贝努利定理不仅在说明概率与频率的关系时有重要的理论意义,并且其证明的思想在估计与二项概率有关的算式时亦有应用.试看下面的例子.?4例3某城市有400个婴儿出生,若每胎中为男婴的概率为0.5,试求400个婴儿中男婴的数目为180220个的概率是多少?解逐一考察每个婴儿的性别,假定发现男婴视为成功,得到一个成功概率为0.5的400重贝努利试验,以k表示成功的次数,则所求的概率为P(18Ok22O)一三B(;4OO,0.5)一三cl(O.5)(1一o.5)一一三cl0.(O.5)400.直接计算此式颇为复杂,但我们可用估计其值.由得P(Ik一PI1一此处=400,P=0.5,nP一200,当k在180220的范围时,lk一Pllk一200l2O,于是由得P(180k220)=P(1k一200l2O)一Pfl鱼一Pl<zo1,l刀l/一P(1鲁一Pl<去)一一一=导更精确的计算可得P(180k220)0.95.若=10000,要求其中男婴的数目与平均数nP=5000的偏差不超过1O%,则由可知此概率不小于0.99.例4某柜台上有4个售货员,并预备了两架台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟使用秤,求一天1O小时内,平均有多少时间秤不够用.解每个售货员1小时内平均有15分钟使用秤,故可认为在每个时刻售货员需要用秤的概率为.在同一时刻观察4名售货员用秤的情况,可视为成功(即用秤)概率为的4重贝努利试验.成功次数(即用秤人数)为k的概率为Bc五;4,一c:()(导).(点=0,1,2,3,4)秤不够用,即用秤人数k3,故秤不够用的概率为(1).(导)+()一,由10?丽13一专,故在10小时内平均有30分钟秤不够用.例5已知一只母鸡生k个蛋的概率为数理天地高中版2000年第7期?数学辅导?题若+的最大值是()()a+b.1.题很基本,却易出错(高二,高三)周彦(湖南省衡阳市第六中学421OO1)a,z+y:b,则z+ny(B)abcc.cD.同学们解答中有的选,有的选B,有的选C,并且都有自己的理由,现介绍如下:解法1+z.2rex+y2ny+得.+z.+y2(rex+ny)即a+b2(rex+ny),z+ny,所以(z+)一,故选A.分析此种解法两次使用了平均值不等式,其中式等号成立的条件应为:当且仅当z:,式等号成立的条件应为:当且仅当Y一,那么式等号成立的条件应为:当且仅当z=,Y一,从而导出ab,这个条件题设根本没有,是解题中不自觉增设的条件,因而此种解法是错误的.解法2由a一+得a:+2m+同理,得b.=z+2x.y.+y+得a.+b一z+2(.+zY)+y2x.+4mnxy+2nY一2(z+2mxny+nZy)即2(rex+ny)(z+,所以(z+):,故选c.分析此解法与解法1的错误是相似的,式等号成立的条件仍为:当且仅当z:,Y一,并且需要ab这个条件,故此解法也不正确.解法3+z2/z+2由+,得+2(rex+ny)+z+y4(rex+ny)得口+b2(z+),即z+ny,厶(z+)=,故选A.厶分析,式成立的条件应为:,z,Y尺,但题设中没有这个条件,显然也错了.解法4因为+一a,所以可设一/asina,一/aCOSa.因为z+y一b,所以可设z一bsinfl,Y=bcosfl,则z+ny一absina?sinfl+abcosa?cosfl一-Egcos(a),因为lCOS(a一)l1,所以(rex+)一/,故选B.分析这里用了三角换元,换元正确,思路流畅自然,等号成立的条件为:COS(a一)=1,题设筹z(>.),而每个蛋能孵化为小鸡的概率为由全概率公式P()一P(A)P(目IA)P,证明一只母鸡恰有r个下一代(即小鸡)的概率为.证明先定义下列事件:一只母鸡生有k个蛋;B:一只母鸡有r个下一代(小鸡).