数学实验教程_实验3(一元函数微分学).doc

实验3 一元函数微分学 - 23 -实验3 一元函数微分学实验目的1借助软件绘图功能，从几何直观上帮助理解导数的概念以及切线方程、法线方程；2借助软件绘图功能，深入理解驻点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线概念；3从几何上帮助理解微分中值定理和泰勒展开定理；4学习使用软件进行导数和微分的基本运算；5近似计算。实验准备1导数的概念2导数的基本运算规则（1） ；（2） ；（3） 若，则。3微分中值定理若在上可微，则在中一定存在一点，使得.4泰勒展开式若在点附近是次可微的，则在的附近可以写成其中 称为泰勒展开式中的余项。5导数的应用（1）函数几何性质的判断（2）极值实验内容1导数概念及其几何意义2微分中值定理的几何演示3泰勒展开定理与多项式逼近4驻点、拐点、极值点、单调区间、凹凸性和渐近线的几何示意图5导数的运算6利用软件求极值7近似计算软件命令表3-1 Matlab一元函数求导命令函数名称调用格式说 明symssyms 变量名1，变量名2,定义符号变量symf=sym(expression)定义符号表达式diffdiff(f,x,n)求f对x的n阶导数diff(X,n)求X中相邻两元素的n次递归差分diff(Y)./diff(X)计算近似导数taylortaylor(f,n,x0)在处展开函数到第n项solvesolve(equations,x,)方程（组）求根fsolvefsolve(equations,x0,)非线性方程（组）求根rootsroots(p)多项式求根plotplot(x1,y1,options,x2,y2,options,)绘制散点图演示实验【例3.1】导数的概念及其几何意义考察函数的图像及在处切线、割线之间的关系。【原理】：过点的切线方程和法线方程分别为和割线方程为【步骤】：Step 1: 取，绘制在点的割线、切线和法线；Step2：分别取，利用动画展示函数图像、切线、割线和法线之间的关系。【程序】：程序参见Exm03Demo01.m。【例3.2】洛尔定理的几何意义设函数，（1）验证分别在区间上满足洛尔定理，并通过图形展示洛尔定理的几何意义；【原理】：在区间上可微，且，所以分别在区间上满足洛尔定理的条件。由洛尔定理，存在，使得。【步骤】：Step1: 画出的图形，并求出。clearclfsyms x;f=(x-3)*(x-1)*(x+1)*(x+3);df1=diff(f,x);rt=solve(df1,x);for i=1:3 vf(i)=subs(f,x,rt(i);endvf=double(vf);X1=-4.0:0.1:4.0;n1=length(X1);Z1=zeros(1,n1);for i=1:n1 Y1(i)=subs(f,x,X1(i); DY1(i)=subs(df1,x,X1(i);endplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1) 输出图形：图3-2（1）f(x)以及f(x)的图形求得的根为：-5(1/2)；0；5(1/2)。Step2: 画出及其在点处的切线。Y0=ones(1,length(X1)*vf(1);X2=0:0.1:4;Y2=ones(1,length(X2)*vf(2);X3=-4:0.1:0;Y3=ones(1,length(X3)*vf(3);axis(-4 4 -50 50)hold onplot(X1,Y1,r-,X1,DY1,b-,X1,Z1)plot(X1,Y0,r-,X2,Y2,b-.,X3,Y3,k-)hold off输出图形为：图3-2（2）切线图及几何意义【例3.3】泰勒展开式对函数分别在处进行作泰勒展开到2、4、6、8阶，并在区间内作出函数及其在处2、4、6、8阶泰勒多项式的图形。【步骤】：Step1：在处展开成泰勒级数；Step2：在处展开成泰勒级数Step3：绘制函数图形【程序】：参见Exm03Demo03.m。【输出】：（1） 在x=0展开（2）在处展开图3-3 一元函数的泰勒展开【例3.4】驻点与拐点的计算已知函数，求的驻点、拐点。【步骤】：【Step1】：求出函数，并绘制图形：在命令窗口中键入：syms x;f=(x+1)3/(x-1)2;df1=diff(f,x);simplify(df1)df2=diff(f,x,2);simplify(df2)输出结果：df1 =(x+1)2*(x-5)/(x-1)3； df2 =(24*x+24)/(x-1)4。 在命令窗口中分别输入：fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,-2 0); fplot(x-5)*(x+1)3/(x-1)3,2 6); 可以得到一阶导函数和二阶导函数的图形（略）。【Step2】：求出函数的可能驻点和拐点：在命令窗口中输入： solve(df1,x)solve(df2,x) 输出结果为：可能的驻点为：-1，-1，5；拐点为：-1。【例3.5】求导运算计算下列导数：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知,求；（4）函数由方程确定，求导数。【步骤】：输入命令：(1) syms x;y=arctan(x+1)/(x-1)simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)(2) syms x a;y=log(a-x)/(a+x)(1/2);simplify(diff(y,x)simplify(diff(y,x,2)（3）syms x;y=sym(x*f(x2+1);diff(y,x,2)（4） clcclearsyms x y;y=sym(y(x);g=char(diff(y-x-log(y),x);h=subs(g,diff(y(x),x),f);f=solve(h,f)【例3.6】极值问题求函数的极值。【步骤】：【Step1】：绘制函数的图形： 在命令窗口中输入：fplot(3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1,-2 2.5) 输出图形：图3-4 函数的极值【Step2】求出函数的驻点 输入：syms x;f=3/5*x5-3/4*x4-2*x3+1;df1=diff(f,x);solve(df1,x) 输出可能的驻点为：0，0，2，-1。【Step3】判断驻点是否为极值点输入：df2=diff(f,x,2) 输出：df2 =12*x3-9*x2-12*x；输入：subs(df2,x,0) 输出：0；输入：subs(df2,x,2) 输出：36；输入：subs(df2,x,-1) 输出：-9；因此，x=2为极小值点, x=-1为极大值点。在-0.5,0.5内：一阶导数df1= 3*x2*(x+1)*(x-2)0，函数单调下降，因此x=0不是极值点。输入：subs(f,x,2); subs(f,x,-1);输出：极小值为：-7.8，极大值为1.65。【例3.7】近似计算利用微分中值定理或者泰勒公式计算的近似值。【步骤】： Step 1：定义泰勒展开式：TaylorCos(x,x0,n) Step 2：计算近似值 【程序】：参见Exm03Demo07.m。【输出】：见表3-1。表3-1 利用泰勒展开式进行近似计算结果比较表（cos7）展开次数近似值误差展开点近似值误差21-0.246110.217710.536194-23.524.25421.0985-0.34462676.542-75.78830.78713-0.0332318-86.8687.61440.75441-0.000504921056.116-55.36350.75393.611e-00612-21.72622.4860.75392.0382e-009147.17-6.416170.7539016-0.609721.363680.7539-1.4397e-010180.97864-0.2247490.75391-7.0908e-006200.72430.029606100.75492-0.0010201从上表中，我们可以看出，当在固定点展开时，展开多项式的次数越高，cos7的计算结果越好；而当固定展开次数时，展开点越靠近7,近似计算效果越好。实验练习1.求曲线上点处的切线方程和法线方程，画出函数割线和原函数的图形，观察它们之间的关系。2. 验证分别在区间上满足拉格朗日定理，