高三数学一轮复习 7.6空间直角坐标系课件 .pptVIP

第六节空间直角坐标系 知识梳理 1 空间直角坐标系及有关概念 1 空间直角坐标系 oxyz x轴 y轴 z轴 2 右手直角坐标系的含义 当右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向时 中指指向 的正方向 3 空间中点m的坐标 空间中点m的坐标常用有序实数组 x y z 来表示 记作m x y z 其中x叫做点m的 y叫做点m的 z叫做点m的 建立了空间直角坐标系后 空间中的点m和有序实数组 x y z 可建立一一对应的关系 z轴 横坐标 纵坐标 竖坐标 2 空间两点间的距离 1 设点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 特别地 点p x y z 与坐标原点o的距离为 2 设点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 是空间中两点 则线段ab的中点坐标为 考点自测 1 思考 给出下列命题 空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成8部分 在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球 在空间直角坐标系中 点m x y z 其中xyz 0关于x轴的对称点坐标为 x y z 在空间直角坐标系中 点p x y z 关于xoz平面的对称点p 的坐标为 x y z 其中正确的是 a b c d 解析 选d 正确 空间直角坐标系中 三个坐标平面把空间分成8个部分 错误 在空间中 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是球面而不是球 错误 在空间直角坐标系中 关于x轴的对称点坐标 横坐标不变 其余坐标互为相反数 即m x y z 关于x轴对称的点的坐标为 x y z 错误 点p x y z 关于xoz平面的对称点p 的坐标应为p x y z 2 点 2 0 5 在空间直角坐标系中的位置是在 a y轴上b xoy平面内c xoz平面内d yoz平面内 解析 选c 由点在坐标系内的特征 可得该点在xoz平面内 3 在空间直角坐标系中 点p 3 4 5 关于yoz平面对称的点的坐标为 a 3 4 5 b 3 4 5 c 3 4 5 d 3 4 5 解析 选a 点p 3 4 5 关于yoz平面对称 则纵坐标与竖坐标不变 横坐标互为相反数 故其对称点的坐标为 3 4 5 4 在空间直角坐标系中 点a 1 0 1 与点b 2 1 1 之间的距离为 a b 6c d 2 解析 选a 5 点p 1 4 3 与点q 3 2 5 的中点坐标是 a 4 2 2 b 2 1 2 c 2 1 1 d 4 1 2 解析 选c 设p与q的中点坐标为 x y z 则x 2 y 1 z 1 即中点坐标为 2 1 1 6 点p 1 2 3 关于y轴的对称点为p1 p关于坐标平面xoz的对称点为p2 则 解析 因为p1 1 2 3 p2 1 2 3 所以 答案 考点1求空间点的坐标 典例1 1 空间直角坐标系中 点p 2 3 4 在x轴上的射影的坐标为 2 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 且边长为2a 棱pd 底面abcd pd 2b e f g h分别为棱pa pb pc pd的中点 试建立适当的空间直角坐标系 写出点e f g h的坐标 解题视点 1 空间直角坐标系中 点在x轴上的射影的坐标满足横坐标不变 纵 竖坐标均为零 2 由于棱pd 底面abcd 故可考虑以pd所在直线为z轴建立空间直角坐标系 规范解答 1 点p 2 3 4 在x轴上的射影的横坐标与点p相同 纵坐标 竖坐标均为0 故射影坐标为 2 0 0 答案 2 0 0 2 由题意知 da dc dc dp dp da 故以d为原点 建立如图所示的空间直角坐标系oxyz 因为e f g h分别为侧棱中点 由立体几何知识可知 平面efgh与底面abcd平行 从而这4个点的竖坐标都为p的竖坐标的一半 也就是b 由h为dp中点 得h 0 0 b e在底面上的投影为ad的中点 所以e的横坐标和纵坐标分别为a和0 所以e a 0 b 同理g 0 a b f在坐标平面xoz和yoz上的投影分别为点e和g 故f与e横坐标相同都是a 与g的纵坐标也同为a 又f竖坐标为b 故f a a b 互动探究 若将本例 2 中的条件 棱pd 底面abcd pd 2b 改为 各侧棱长均为2b 如何求解 解析 设正方形abcd的对角线ac和bd相交于点o 则po 底面abcd 建立如图所示的空间直角坐标系 因为所以p点坐标为 0 0 且a a 0 0 b 0 a 0 c a 0 0 d 0 a 0 所以e a 0 f 0 a g a 0 h 0 a 规律方法 求空间中点p的坐标的方法 1 过点p作与x轴垂直的平面 垂足在x轴上对应的数即为点p的横坐标 同理可求纵坐标 竖坐标 2 从点p向三个坐标平面作垂线 所得点p到三个平面的距离等于点p的对应坐标的绝对值 再判断出对应数值的符号 进而可求得点p的坐标 变式训练 已知正三棱柱abc a1b1c1的各棱长均为2 以a为坐标原点建立适当的空间直角坐标系 求其各顶点的坐标 解析 以a点为坐标原点 ac aa1所在直线分别为y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设ac的中点是d 连接bd 则bd y轴 且bd 所以a 0 0 0 b 1 0 c 0 2 0 a1 0 0 2 b1 1 2 c1 0 2 2 加固训练 2013 台州模拟 如图 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 ab aa1 2 bc 3 m为ac1与ca1的交点 则m点的坐标为 解析 由题意得m为ac1的中点 又a 0 0 0 c1 2 3 2 故m答案 考点2空间中点的对称问题 典例2 如图 已知长方体abcd a1b1c1d1的对称中心在坐标原点 交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 顶点a 2 3 1 求其他七个顶点的坐标 解题视点 由题意知 长方体的各顶点关于原点o和三个坐标平面及三条坐标轴具有对称性 据此可写出其他七个顶点的坐标 规范解答 由题意得 点b与点a关于xoz面对称 故点b的坐标为 2 3 1 点d与点a关于yoz面对称 故点d的坐标为 2 3 1 点c与点a关于z轴对称 故点c的坐标为 2 3 1 由于点a1 b1 c1 d1分别与点a b c d关于xoy面对称 故点a1 b1 c1 d1的坐标分别为a1 2 3 1 b1 2 3 1 c1 2 3 1 d1 2 3 1 规律方法 1 强化空间坐标系中对称点的关系已知点p x y z 则点p关于点 线 面的对称点坐标为 2 解决空间直角坐标系中点的对称规律应注意的问题 1 首先要看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称 明确哪些量发生了变化 哪些量没发生变化 2 要记清各类对称点坐标间的对称关系 是解决此类问题的关键 提醒 点p关于原点 坐标轴 坐标平面的对称的特点应记住 可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆 以便解决其他问题 变式训练 已知点p 2 3 1 求p关于y轴上的点 0 1 0 的对称点的坐标 2 求p关于y轴对称的对称点的坐标 解析 1 设p1 x y z 与点p关于点 0 1 0 对称 即点 0 1 0 是p1与p的中点 则所以x 2 y 1 z 即点 2 1 为所求 2 过p 2 3 作y轴的垂线 交y轴于 0 3 0 问题就变为求p 2 3 关于点 0 3 0 的对称点的坐标 同 1 易得 2 3 为所求 加固训练 2013 金华模拟 在空间直角坐标系中 点p 2 3 4 与点q 2 3 4 两点的位置关系是 a 关于x轴对称b 关于xoy平面对称c 关于坐标原点对称d 以上都不对 解析 选b 因为p 2 3 4 与q 2 3 4 的横坐标与纵坐标相同 且竖坐标互为相反数 所以p与q关于xoy平面对称 考点2空间两点间的距离 典例3 1 点p a b c 到坐标平面xoy的距离是 a b cc c d a b 2 如图所示 以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系 点p在正方体的体对角线ab上 点q在棱cd上 当点p为对角线ab的中点 点q在棱cd上运动时 探究 的最小值 解题视点 1 可先求出p在坐标平面xoy上的射影 然后利用空间两点间的距离公式求解 2 确定点p q的坐标 利用两点间的距离公式得到 pq 然后利用函数知识解决 规范解答 1 选c 因为p a b c 在平面xoy上的射影为 a b 0 所以点p a b c 到平面xoy的距离为 c 2 因为b 0 0 a a a a 0 p为ab的中点 所以p 又点q在棱cd上运动 所以可设q 0 a z0 其中z0 0 a 故因此当z0 时 的最小值为a 易错警示 解决此问题的关键是确定点的坐标 常出现的错误是将坐标求错 互动探究 本例 2 中 若将 当点p为对角线ab的中点 改为 当点p在对角线ab上运动时 其余条件不变 则结果如何 解析 显然 当点p在ab上运动时 点p到坐标平面xoz yoz的距离相等 所以可设p t t a t t 0 a 又q在cd上运动 所以可设q 0 a z0 z0 0 a 所以 故当z0 t 时 有最小值为a 规律方法 1 求空间两点间距离的步骤 1 建立坐标系 写出相关点的坐标 2 利用公式求出两点间的距离 2 两点间距离公式的应用 1 求两点间的距离或线段的长度 2 已知两点间距离 确定坐标中参数的值 3 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 变式训练 已知点a的坐标是 1 t 1 t t 点b的坐标是 2 t t 则a与b两点间距离的最小值为 a b c d 解析 选c 加固训练 2013 东莞模拟 在坐标平面xoy上 到点a 3 2 5 b 3 5 1 距离相等的点有 a 1个b 2个c 不存在d 无数个 解析 选d 在坐标平面xoy内 可设点p x y 0 为满足条件的点 由题意得解得y x r 所以符合条件的点有无数个 规范解答10 解答含参数的立体几何问题 典例 14分 2013 宁波模拟 如图 设动点p在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 记当 apc为钝角时 求 的取值范围 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成建立如图所示空间直角坐标系dxyz 则a 1 0 0 c 0 1 0 1分因为 所以xp yp zp 1 所以p 1 5分 所以 7分因为 apc为钝角 所以 9分即4 1 2 2 2 2 0 11分6 2 8 4 2 0 即3 2 4 1 0 1 3 1 0 所以 1 14分 点题 失分警示 规避误区 变题 变式训练 能力迁移