【教学设计】《算法案例》(人教版)

1.3秦九韶算法与进位制（1）u 教材分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序语句三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力。秦九韶算法是我国古代数学中的著名算法，其中蕴含的算法思想深刻，也更能体现算法的重要性；与进位制有关的算法是计算机科学中普遍使用的算法，其中蕴含的算法思想深刻，也更能体现算法的重要性。u 教学目标【知识与能力目标】了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数，提高计算效率的实质；了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。【过程与方法目标】 学习秦九韶算法在多项式求值中的应用，并理解其中的数学规律；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k取余法，并理解其中的数学规律。【情感态度价值观目标】理解秦九韶算法，领悟十进制、二进制的特点，培养学生热爱生活勤于实践的品质。u 教学重难点u【教学重点】秦九韶算法的特点及其程序设计；各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换。 【教学难点】 对秦九韶算法的先进性及其程序设计的理解；对除k取余法理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计。u 课前准备u 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。u 教学过程一、导入部分设计求多项式fx=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法程序。设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。二、研探新知，建构概念 1.电子白板投影出实例。x=5y=2*x5-5*x4-4*x3+3*x2-6*x+7PRINT yEND上述算法一共做了15次乘法运算，5次加法运算。优点是简单,易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项多求值问题，而且计算效率不高。那么有没有更高效的算法？2.教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）秦九韶算法的定义：一般地,对于一个n次多项式fx=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,我们可以改写成如下形式: fx=anx+an-1x+an-2x+a1)x+a0求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3,vn=vn-1x+a0；这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。这种算法称为秦九韶算法。 （2）秦九韶算法的用处是什么？秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。 （3）秦九韶算法的特点：把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，通过这种转化，把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算，减少为n次乘法运算和n次加法运算，大大提高了运算效率。设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体验秦九韶算法的优点。三、质疑答辩，发展思维 1、举例：用秦九韶算法求多项式 fx=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值。 解:原多项式先化为: fx=2x6-5x5+0x4-4x3+3x2-6x+0.在将多项式改成如下的形式：f(x)=(2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+0；按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值。v1=25-5=5, v2=55+0=25, v3=255-4=121, v4=1215+3=608,v5=6085-6=3034v6=30345+0=15170;2、思考1： 观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk 的计算要用到vk-1 的值。怎么用秦九韶算法求多项式的值v0=anvk=vk-1x+an-k (k=1,2,n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。INPUTa1,a2,a3,a4,a5 INPUT x6n=1v= a5WHILE n=5 v=v0 a5 +an-5 n=n+1WENDPRINT vEND思考2：我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度的单位用六十进位制，电子计算机用的是二进制。那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？ 进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十六进一，就是十六进制；等等。 “满几进一”，就是几进制，几进制的基数就是几。可使用数字符号的个数称为基数。基数都是大于1的整数。如二进制可使用的数字有0和1，基数是2；十进制可使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10；十六进制可使用的数字或符号有0-9等10个数字以及A-F等6个字母(规定字母A-F对应10-15),十六进制的基数是16。 注意:为了区分不同的进位制，常在数字的右下脚标明基数，如100101（2）表示二进制数，34（5）表示5进制数。十进制数一般不标注基数。 思考3:k进制数怎么转化成十进制数？其方法是先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1a1a1(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0再按照十进制数的运算规则计算出结果。思考4：十进制数怎么转化成k进制数？其方法是除k取余法，用十进制数除以k进制数，将各步所得的余数从下到上排列,就会得到相应的k进制数。3、例题例1 求多项式fx=x5-x3+2x2-3在x=5时的函数值。解：原多项式先化为: fx=x5+0x4-x3+2x2+0x-3 ；在将多项式改成如下的形式：f(x)=(x+0)x-1)x+2)x+0)x-3.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值。v1=15+0=5, v2=55-1=24, v3=245+2=122, v4=1225+0=610,v5=6105-3=3047，所以多项式在x=5时的函数值为3047例2 把89化为五进制的数。解:以5作为除数,相应的除法算式为: 5 89 余数 5 17 4 5 3 2 0 3 89=324(5)4、巩固练习(1) 求多项式fx=4x5-3x4+2x2-x在x=5时的函数值。解：原多项式先化为: fx=4x5-3x4+0x3+2x2-1x+0 ；在将多项式改成如下的形式：f(x)=(4x-3)x+0)x+2)x-1)x+0.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值。v1=45-3=17, v2=175+0=85, v3=855+2=427, v4=4275-1=2134,v5=21345+0=10670，所以多项式在x=5时的函数值为10670。 （2）三进制数10221(3)化为二进制数解:第一步:先把三进制数化为十进制数:10221(3)=134+033+232+231+130=81+18+6+1=106 第二步:再把十进制数化为二进制数: 2 106 余数 2 53 0 2 26 1 2 13 0 2 6 1 2 3 0 2 1 1 0 1106=1101010(2) 10221(3)=106=1101010(2)四、课堂小结：1、秦九韶算法2、进位制五、作业布置：课后书面作业： 习题1.3A组第2和3题。u 教学反思略。1.3辗转相除法与更相减损术（2）u 教材分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序语句三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力。更相减损术是我国古代数学中的著名算法，而辗转相除法是西方古代数学中的一个典型算法，其中蕴含的算法思想深刻，也更能体现算法的重要性。u 教学目标【知识与能力目标】理解辗转相除法与更相减损术所蕴涵的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析，基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。【过程与方法目标】 利用辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中，对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。【情感态度价值观目标】 通过阅读中国古代数学家的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，在学习外国古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养动手实践的能力。u 教学重难点u【教学重点】理解辗转相除和更相减损术求最大公约数的方法。 【教学难点】把辗转相除和更相减损术转换成程序框图与程序语言。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。u 教学过程一、导入部分在小学，我们学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。18和30的最大公约数是23=6我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？设计意图:从生活实际切入，激发了学生的学习兴趣，又为新知作好铺垫。二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上述问题。2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据 已有的知识即可求出最大公约数。解：8251610512146显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105214621813;214618131333333148237;1483740;则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。 （1）利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；(m=n+)第二步：若0，则n为m，n的最大公约数；若0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；(n=+)第三步：若0，则为m，n的最大公约数；若0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；(=+) 依次计算直至0，此时所得到的 即为所求的最大公约数。它的程序为：INPUT m,nIF mn THEN x=n n=m m=xEND IFr=m MOD nWHILE r0 m=nn=rr=m MOD n WENDPRINT nEND在过去，我国是怎么解决求最大公约数问题的呢？ （2）更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。它的程序为：INPUT “m,n=“;m,nIF mn THEN a=mm=n n=aEND IFK=0WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1WEND d=m- nWhile dn IF dn then m=d ELSE m=n n=d End if d=m-nWend d=2k*dPRINT dEnd 设计意图:在自主探究，合作交流中构建新知，体会辗转相除法与更相减损术这两种求最大公约数的方法。三、质疑答辩，发展思维 1、举例：(1)利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数。解：20723=40815+318;4081=31812+265;318=2651+53;265=535+0所以，4081与20723的最大公约数是53。（2）用更相减损术求98与63的最大公约数。解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：986335; 633528;35287;28721; 21714;1477.所以，98与63的最大公约数是7。2、思考： 辗转相除法与更相减损术的区别是什么？ 都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。3、例题例1 求4557,1953,5115的最大公约数。解：利用辗转相除法先求4