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数学分析三习题答案【篇一：数学分析第三版全册课后答案 (1)】 class=txt- 密 - 封 - 线 -第页(共) - 密 - 封 - 线 -【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 11 1. 求函数f(x,y)?在点(0,0)处的二次极限与二重极限. yx11 解：f(x,y)?，因此二重极限为0.(4分) yx1111 因为 与均不存在， x?0yxy?0yx 故二次极限均不存在。 (9分) ?z?xf(x?y),?y?y(x), 2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别 f(x,y,z)?0z?z(x)? dz数,求. dx 解： 对两方程分别关于x求偏导: dy?dz ?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)， ?dxdx?(4分) dydz?f?f?fz?0。 xy ?dxdx? dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.(9分) dxfy?xf?(x?y)fz 3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程 ?2z?2z?z ?z。 2?x?x?y?xx?yx?y设?,?,w?zey （假设出现的导数皆连续）. 22 解：z看成是x,y的复合函数如下： wx?yx?y 。(4分) z?y,w?w(?,?),?,? e22 代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得： ?2w?2w ?2w。 (9分) 2? ? 4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数: s表?2?rh?2?r2,约束条件: ?r2h?1。(3分)构造lagrange函数：f(r,h,?)?2?rh?2?r2?(?r2h?1)。 ?fr?2?h?4?r?2?rh?0,令?(6分) 2 f?2?r?r?0.?h h? 由题意知问题的最小值必存在，当底面半解得h? 2r，故有r?径为r? y3 高为h?时，制作圆桶用料最省。(9分) 2 5. 设f(y)?e?xydx,计算f?(y). y2 解：由含参积分的求导公式 ?y3y322 ?x2y f?(y)?2edx?2?x2e?xydx?3y2e?xy y ?y?y ?2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y yy3 2 7 5 x?y 3 ?2ye?x 2 yx?y2 (5分) 72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。(9分) 222y?y2 ?x2y2?xy 6. 求曲线?2?2?2所围的面积，其中常数a,b,c?0. b?c?a ?x?a?cos?, 解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可 y?b?sin?.? 2 以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 ?,?0?,0?。 (3分) 2?则 v?2? ? ?(x,y) d?d?2?2d?0?(?,?) ? ? 1 ?ab?2 ?sin?cos?c?0 ab?d? (6分) ab2 sin?cos?d?2?0 c a2b2?2 (9分)2c. 7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd ? l 22 ，从z轴的正向看去，是逆时针方向. z?y?3的交线（为一椭圆） 解： 取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为? ? cos?,cos?,cos?0,。 (3分)? 由stokes公式得 cos?cos?cos? ?3zdx?5xdy?2ydz? ?x?y?z?l 3z5x?2y ?ds (6分) ? ?x2?y2?1 ? ?2? (9分) x2y2z2 8. 计算积分?yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧. abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中 ,且 2?(z,x) ?acsin2?sin?。 (3分) ?(?,?) 积分方向向下，取负号，因此， 2322 yzdzdx?d?bacsin?cos?sin?d? 2? 0?2?,0? ? ? ? (6分) ?bac2?sin2?d?2sin3?cos?d? 2? ? ? ? 4 abc 2 (9分) 二。 . 证明题（共3题，共28分） ?xy322 ,x?y?0?24 9.（9分） 讨论函数f(x)?x?y在原点(0,0)处的连续性、 ?0,x2?y2?0? 可偏导性和可微性. 解：连续性：当x2?y2?0时， xy2x2?y4yy f(x)?2?y?0，当?x,y?0,0?， 424 x?yx?y22 从而函数在原点?0,0?处连续。 (3分) 可偏导性：fx?0,0?lim f?0?x,0?f?0,0? ?x ?x?0 ?0，fy?0,0?lim f?0,0?y?f?0,0? ?y 即函数在原点?0,0?处可偏导。 (5分)?y?0 ?0， ?f?f?x?f?y 3 ? 不存在， 从而函数在原点?0,0?处不可微。 (9分) 10.（9分） （9分） 设f?x,y?满足： （1）在d? ?x,y? x?x0?a,y?y0?b上连续， ? （2）f?x0,y0?0， （3）当x固定时，函数f?x,y?是y的严格单减函数。 试证：存在?0，使得在?x ? x?x0?上通过f?x,y?0定义了一个 ? 函数y?y(x)，且y?y(x)在?上连续。 证明：（i）先证隐函数的存在性。 由条件（3）知，f?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知f?x0,y0?0，从而由函数f?x0,y?的连续性得 f?x0,y0?b?0， f?x0,y0?b?0。 现考虑一元连续函数f?x,y0?b?。由于f?x0,y0?b?0，则必存在?1?0使得 f?x,y0?b?0， ?x?o(x0,?1)。 同理，则必存在?2?0使得 f?x,y0?b?0， ?x?o(x0,?2)。 取?min(?1,?2)，则在邻域o(x0,?)内同时成立 f?x,y0?b?0， f?x,y0?b?0。(3分) 于是，对邻域o(x0,?)内的任意一点x，都成立 ? 固定此x，考虑一元连续函数f?x,y?。由上式和函数f?x,y?关于y的连续性可知，存在f?x,y?的零点y?y?b,y?b?使得 f?x,y?0。 而f?x,y?关于y严格单减，从而使f?x,y?0的y是唯一的。再由x的任意性， fx,y0?b?0， fx,y0?b?0。 ? ? 证明了对?:?o(x0,?)内任意一点，总能从f?x,y?0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。 (6分) （ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。 设x*是?:?o(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。对任意给定的?0，作两平行线 y?y*?， y?y*?。 由上述证明知 f?x*,y*?0， f?x*,y*?0。 由f?x,y?的连续性，必存在x*的邻域o(x*,?)使得 f?x,y*?0， f?x,y*?0， ?x?o(x*,?)。 对任意的x?o(x*,?)，固定此x并考虑y的函数f?x,y?，它关于y严格单减且 f?x,y*?0， f?x,y*?0。 于是在?y*?,y*?内存在唯一的一个零点y使 f?x,y?0， 即 对任意的x?o(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*?。这证明了函数 y?f(x)是连续的。 (9分) 111 11.（10分）判断积分?sindx在0?2上是否一致收敛，并给出证明。 0xx 证明：此积分在0?2上非一致收敛。证明如下： 1 作变量替换x?，则 t 11?11 ?0x?sinxdx?1t2?sintdt。 (3分) ?3? 不论正整数n多么大，当t?a?,a?2n?,2n?时，恒有 44? sint?。(5分) 因此， ? a? 1t2? a? a?1 sintdt?dt(7分)2?a?t2? ?a? 2? 3? 4?2n? 4? 因此原积分在0?2上非一致收敛。 (10分) 注：不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下： b1 尽管对任意的b?1积分?sintdt一致有界，且函数2?关于x单调，但是当 1t 1 x?时，2?关于?0,2?并非一致趋于零。事实上，取t?n, 相应地取 t1111 ?2?，则lim2?lim1?1?0，并非趋于零。 1t?n?nt nnlimnn n? ? ?0，当?2?时。 4【篇三：数学分析3期末练习题三参考答案】1. 试求极限解2?xy?4 . (x,y)?(0,0)xylim ?lim (x,y)?(0,0)(x,y)? ?lim?(x,y)?4 .lim 2. 试求极限 解由 (x,y)?(0,0) lim 1?cos(x2?y2)(x?y)e 2 2 x2y2 . x2?y2 2sin 1?cos(x2?y2)x2?y2lim?lim?x2y2 2222x2y2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)x?y2(x?y)ee4()2 1 ?0?02 . 11 3. 试求极限lim(x?y)sinsin. (x,y)?(0,0)xy 2 解由于 111111lim(x?y)sinsin?lim(xsinsin?ysinsin)(x,y)?(0,0)xy(x,y)?(0,0)xyxy , 又 x?y, 所以 2 1111xsinsin?0limysinsin?0 (x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xyxy， , lim 所以 11lim(x?y)sinsin?0(x,y)?(0,0)xy . xy2 4. 试讨论lim. (x,y)?(0,0)x2?y4 解当点(x,y)沿直线y?x趋于原点时， y?x?0 xy2x3 lim2?lim2?0x?0x?y4x?0x?x4 . 当点(x,y)沿抛物线线x?y趋于原点时， 2 x?y?0 . 因为二者不等，所以极限不存在. xy2y41lim2?lim?y?0x?y4y?0y4?y4225. 试求极限解由(x,y)?(0,0) lim x2?y2?x?y?1 2 2 . (x,y)?lim ?lim (x,y)?(0,0) 22 =(x,y)?(0,0) lim1)?2 ?u?u,. ?x?y . 6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求 解 令v?x?y,w?xy, 则 ?u?f?v?f?w?f?f?y?x?v?x?w?x?v?w ?u?f?v?f?w?f?f?x ?w?y?v?y?w?y?v dz. 7. z?arctanxy,y?ex, 求dx 解 由 dz1?(y?xy)2dx1?(xy) 1ex(1?x)xx ?(e?xe)?x222x1?(xe)1?xe. 8. 求抛物面 z?2x2?y2在点 m(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。 解 由于 y x, 在m(1,1,3)处 zx(1,1,3)?4, zy(1,1,3)?2， z?4x,z?2y 所以, 切平面方程为 4(x?1)?2(y?1)?z?3. 即 法线方程为 4x?2y?z?3?0 x?1y?1z?3 ?42?1. 22 9. 求f(x,y)?2x?xy?y?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式. 解由 x0?1,y0?2,f(1,?2)?5 f(x,y)?4x?y?6,fx(1,?2)?0 x fy(x,y)?x?2y?3,fy(1,?2)?0 fxx(x,y)?4,fxy(x,y)?1, fyy(x,y)?2, fxx(1,?2)?4 fxy(1,?2)?1 . fyy(1,?2)?2 得 f(x,y)?5?2(x?1)2?(x?1)(y?2)?(y?2)2. 10. 求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值. 解 由于 fx?2e2x(x?y2?2y)?e2x?e2x(2?x?y2?2y)?0 fy?2e2x(y?1)?0 解得驻点(?1,?1)， fxx?2e2x(2?x?y2?2y)?e2x,fxy?e2x(2?2y),fyy?2e2x a?fxx(?1,?1)?e?0, 2 2 b?fxy(?1,?1)?0,c?fyy(?1,?1)?2e?2 ac?b?2?0,a?0 ?2 所以 (?1,?1)是极小值点, 极小值为 f(?1,?1)?2e. 11. 叙述隐函数的定义. y?r，答: 设x?r，函数f:x?y?r. 对于方程f(x,y)?0, 若存在集合i?x 与j?y，使得对于任何x?i，恒有唯一确定的y?j，使得(x,y)满足方程f(x,y)?0 ,则称由方程f(x,y)?0确定了一个定义在i上，值域含于j的隐函数。一般可记为 y?f(x) x?i,y?j. 且成立恒等式 f(x,f(x)?0,x?i. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若f(x,y)满足下列条件: （i）函数f在以p0(x0,y0)为内点的某一区域d?r上连续; （ii）f(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在d内存在连续的偏导数fy?x,y?; （iv）fy?x0,y0?0, 则在点p0的某邻域u(p0)?d内，方程f?x,y?=0唯一地确定了一个定义在某区间 2 (x0?,x0?)内的函数（隐函数）y?f(x)，使得 1o f?x0?y0,x?(x0?,x0?)时(x,f(x)?u(p0)且f?x,f(x)?0； （i）函数f在以p0(x0,y0)为内点的某一区域d?r上连续; （ii）f(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在d内存在连续的偏导数fy?x,y?; （iv）fy?x0,y0?0, 又设在d内还存在连续的偏导数fx(x,y)，则由方程f(x,y)?0所确定的隐函数在 2 y?f(x)在其定义域(x0?,x0?)内有连续导函数，且 f(x)? fx(x,y) . fy(x,y) 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 答: 设y?f(x)在x0的某邻域内有连续的导函数f(x)，且f(x0)?y0; 考虑方程 f(x,y)?y?f(x)?0. 由于 ?f(0x ),f(x0,y0)?0, fy?1, fx(x0,y0) 所以只要f(x0)?0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程f(x,y)?y?f(x)?0能确定出在y0的某邻域u(y0)内的连续可微隐函数x?g(y)，并称它为函数y?f(x)的反函数.反函数的导数是 g(y)? 3 3 fyfx ? 11?. ?f(x)f(x) 15. 解: 显然f(x,y)?x?y?3axy及fx,fy在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得fy?x,y?3y?ax?0的