第二章 第二节

第二节函数的单调性与最值1函数的单调性(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为函数yf(x)的最大值M为函数yf(x)的最小值1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性()(3)若定义在R上的函数f(x)有f(1)0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数3函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|x结合图象(图略)可知函数的单调减区间是1,24若函数yx22ax1在(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析：选C函数yx22ax1图象的对称轴方程为xa，要使该函数在(，2上是减函数，则需满足a2.5设定义在1,7上的函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的增区间为_解析：由图可知函数的增区间为1,1和5,7答案：1,1和5,76函数f(x)在2,0上的最大值与最小值之差为_解析：易知f(x)在2,0上是减函数，f(x)maxf(x)minf(2)f(0)(2).答案：确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.典题领悟1试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解：法一：设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增2求函数f(x)x22|x|1的单调区间解：易知f(x)画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)解题师说1掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性(如典题领悟第1题)2熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同3谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接冲关演练1(2017全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)解析：选D由x22x80，得x4或x2.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)2下列函数中，满足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)2x Bf(x)|x1|Cf(x)x Df(x)ln(x1)解析：选C由(x1x2)f(x1)f(x2)0)在(0，)上的单调性解：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0， 上是减函数；当x1a，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上是减函数，在，)上是增函数考什么怎么考函数的值域(最值)是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域(最值)问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.方法(一)性质法求函数的值域(最值)1函数y的值域为_解析：由y，可得x2.由x20，知0，解得1y0)在上的值域为，则a_，b_.解析：f(x)b(a0)在上是增函数，f(x)minf，f(x)maxf(2)2.即解得a1，b.答案：1方法点拨(1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x20，ex0等)求解即可(2)如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，那么f(x)在区间端点处取最值；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，那么ymaxf(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，那么yminf(b)，从而得出值域方法(二)数形结合法求函数的值域(最值)3函数y|x1|x2|的值域为_解析：函数y作出函数的图象如图所示根据图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，)答案：3，)4设函数f(x)的图象过点(1,1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是_解析：因为函数f(x)的图象过点(1,1)，所以m11，解得m0，所以f(x)画出函数yf(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在0，)上时，横坐标在(，10，)上变化而f(x)的值域为1，)，f(g(x)的值域为0，)，因为g(x)是二次函数，所以g(x)的值域是0，)答案：0，)方法点拨先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值方法(三)换元法求函数的值域(最值)5函数yx的最大值为_解析：由1x20，可得1x1.可令xcos ，0，则ycos sin sin，所以1y，故原函数的最大值为.答案：6已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)f(x)的值域为_解析：f(x)，.令t，则f(x)(1t2)，令yg(x)，则y(1t2)t，即y(t1)21.当t时，y有最小值；当t时，y有最大值.g(x)的值域为.答案：方法点拨对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响方法(四)分离常数法求函数的值域(最值)7函数y的值域为_解析：y3，因为0，所以33，所以函数y的值域为y|yR且y3答案：y|yR且y38当3x1时，函数y的最小值为_解析：由y，可得y.3x1，y3所求函数的最小值为答案：方法点拨通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域怎样快解准解求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x20，|x|0，0，ex0等)确定函数的值域或最值(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值(3)形如求y(cxd)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解(4)形如求y(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有：(1)比较函数值的大小；(2)解函数不等式；(3)利用单调性求参数的取值范围(或值).题点全练角度(一)比较函数值的大小1(2018哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacb Dbac解析：选D因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.题型技法比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解角度(二)解函数不等式2定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f0，则不等式f(logx)0的解集为_解析：yf(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)在(0，)上递增yf(x)在(，0)上也是增函数，又f0，知ff0.故原不等式f(logx)0可化为f(logx)f或ff(logx)或logx0，解得0x或1xf(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)0，且a1.又函数f(x)在R上单调，而二次函数yax2x的图象开口向上，所以函数f(x)在R上单调递减，故有即所以a.题型技法利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的题“根”探求看个性角度(一)是函数值大小的比较，转化为在同一单调区间内的自变量的大小比较；角度(二)是角度(一)的拓展，是把函数不等式问题转化为两函数值大小比较问题；角度(三)是在角度(一)和角度(二)基础上的更深一步的拓展，根据函数单调性把问题转化为单调区间关系的比较找共性对于求解此类有关函数单调性应用的题目，其通用的方法是利用转化思想解题，其思维流程是： 冲关演练1已知函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得解得3a3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)2已知函数f(x)x|2xa|(a0)在区间2,4上单调递减，则实数a的值是_解析：f(x)x|2xa|(a0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是，所以解得a8.答案：8(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByCyx Dyx解析：选A函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综上，实数a的取值范围是.3已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.4函数y|x|(1x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A(，0) B.C0，) D.解析：选By|x|(1x)画出函数的大致图象如图所示由图易知原函数在上单调递增5设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)解析：选A因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数f(x)在0，)上是增函数，所以f()f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)6已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.7函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0，记a，b，c，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCcab Dcbx2，0，x2f(x1)x1f(x2)0，0，即，是(0，)上的增函数130.230.52,00.322，0.3230.2log25，baf(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析：选D当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.2如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数y在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数f(x)x2x是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0， C0,1 D1， 解析：选D因为函数f(x)x2x的对称轴为x1，所以函数yf(x)在区间1，)上是增函数，又当x1时，x1，令g(x)x1(x1)，则g(x)，由g(x)0，得1x，即函数x1在区间1， 上单调递减，故“缓增区间”I为1， (二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByCyx Dyx解析：选A函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为3，)3设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)解析：选A因为f(x)是偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)又因为函数f(x)在0，)上是增函数，所以f()f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)4.已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x22xa)f(x1)对任意的x1,2恒成立，则实数a的取值范围为()A. B(，3)C(3，) D.解析：选D依题意得f(x)在R上是减函数，所以f(x22xa)f(x1)对任意的x1,2恒成立，等价于x22xax1对任意的x1,2恒成立，等价于ax23x1对任意的x1,2恒成立设g(x)x23x1(1x2)，则g(x)2(1x2)，当x时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg，因此a，故选D.5.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.因为f(x)x32，f(x)x2在定义域内都为增函数，且f(1)f(2)，所以f(x)的最大值为f(2)2326.6.(2018安徽合肥模拟)已知函数f(x)(x22x)sin(x1)x1在1,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm_.解析：由f(x)(x22x)sin(x1)x1令tx1，则t2,2，则y(t21)sin tt2，t2,2记g(t)(t21)sin tt2，则函数yg(t)2(t21)sin tt是奇函数由已知得yg(t)2的最大值为M2，最小值为m2，所以M2(m2)0，即Mm4.答案：47.已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是_解析：由题意得解得k1.答案：8若函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由于ylog3(x2)在(3，)上为增函数，故函数y2在(3，)上也是增函数，则有4k0，得k4.答案：(，4)9已知函数f(x)(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，f2，f(2)2，解得a.10已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：当a2时，f(x).任取x1，x2(，2)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为(x12)(x22)0，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)内单调递增(2)任取x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为a0，x2x10，又由题意知f(x1)f(x2)0，所以(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.所以0a1.所以a的取值范围为(0,1B级拔高题目稳做准做1.函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调递减区间是()A. B，1C(，0) D， 解析：选B由图象知f(x)在(，0和上单调递减，而在上