勾股定理知识点、经典例题及练习题带答案

精品文档 1欢迎下载 趣味链接趣味链接 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图弦图 后人称 后人称 其为其为 赵爽弦图赵爽弦图 如图 如图 1 1 图 图 2 2 由弦图变化得到 它是用八个全等的直角三角形拼由弦图变化得到 它是用八个全等的直角三角形拼 接而成 记图中正方形接而成 记图中正方形ABCDABCD 正方形 正方形EFGHEFGH 正方形 正方形MNKTMNKT的面积分别为的面积分别为 S S1 1 S S2 2 S S3 3 若 若S S1 1 S S2 2 S S3 3 1010 则 则S S2 2的值是多少呢 的值是多少呢 知识梳理知识梳理 1 勾股定理定义 如果直角三角形的两直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A A B B C C a b c 弦 股 勾 勾 直角三角形较短的直角边 股 直角三角形较长的直角边 弦 斜边 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有下面关系 a2 b2 c2 那么 这个三角形是直角三角形 2 勾股数 满足 a2 b2 c2的三个正整数叫做勾股数 注意 若 a b c 为勾股 数 那么 ka kb kc 同样也是勾股数组 附 常见勾股数 3 4 5 6 8 10 9 12 15 5 12 13 3 判断直角三角形 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形 是直角三角形 精品文档 2欢迎下载 经典直角三角形 勾三 股四 弦五 其他方法 1 有一个角为 90 的三角形是直角三角形 2 有两个角互余的三角形是直角三角形 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是 1 确定最大边 不妨设为c 2 若c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的三角形 若a2 b2 c2 则此三角形为钝角三角形 其中c为最大边 若a2 b2 c2 则此三角形为锐角三角形 其中c为最大边 4 注意 1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜 边的一半 3 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边 所对的角等于 30 5 勾股定理的作用 1 已知直角三角形的两边求第三边 2 已知直角三角形的一边 求另两边的关系 3 用于证明线段平方关系的问题 4 利用勾股定理 作出长为的线段n 精品文档 3欢迎下载 经典例题经典例题 例 1 2016 山东烟台 如图是油路管道的一部分 延伸外围的支路恰好构成一个直角三 角形 两直角边分别为 6m 和 8m 按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道 则O到三条支路的管道总 长 计算时视管道为线 中心O为点 是 A 2m B 3m C 6m D 9m 例 2 2016 贵州贵阳 如图 ABC中 C 90 AC 3 B 30 点P是BC边上的动点 则AP长不可能 是 A 3 5 B 4 2 C 5 8 D 7 例 3 2016 河北 如图 在 ABC 中 C 90 BC 6 D E 分别在 AB AC 上 将 ABC 沿 DE 折叠 使点 A 落 在点 A 处 若 A 为 CE 的中点 则折痕 DE 的长为 A 0 5 B 2 C 3 D 4 例 4 2016 重庆綦江 一个正方体物体沿斜坡向下滑动 其截面如图所示 正方形DEFH的边长为 2 米 坡角 A 30 B 90 BC 6 米 当正方形DEFH运动到什么位置 即当AE 米时 有DC AE BC 222 例 5 2016 广东肇庆 在直角三角形ABC中 C 90 BC 12 AC 9 则AB 例6 2016贵州安顺 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6cm AC 8cm 按图中所示方法将 BCD沿BD折叠 使点C落在AB边的C 点 那么 ADC 的面积是 例7 2016四川广安 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造 测得两直角边长为6m 8m 现要将其扩 精品文档 4欢迎下载 建成等腰三角形 且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形 求扩建后的等腰三角形花圃的周长 例 8 2016 四川乐山 如图 在直角 ABC 中 C 90 CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D 若 DE 垂直平分 AB 求 B 的度数 例 9 2016 山东枣庄 如图 在边长为 1 的小正方形组成的网格中 ABC的三个顶点均在格点上 请按要 求完成下列各题 1 画线段AD BC且使AD BC 连接CD 2 线段AC的长为 CD的长为 AD的长为 3 ACD为 三角形 四边形ABCD的面积为 例 10 如图 AB为一棵大树 在树上距地面 10m 的D处有两只猴子 它们同时发现地面上的C处有一筐水果 一只猴子从D处上爬到树顶A处 利用拉在A处的滑绳AC 滑到C处 另一只猴子从D处滑到地面B 再由B 跑到C 已知两猴子所经路程都是 15m 求树高AB 课堂练习课堂练习 1 2016 湖北黄石 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿 精品文档 5欢迎下载 上 另一个顶点在纸带的另一边沿上 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角 如图 则三角板 的最大边的长 A 3cm B 6cm C 3cm D 6cm22 2 2016 江苏无锡 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 D E F分别是AB BC CA的中点 若CD 5cm 则EF cm 3 2016 山东枣庄 将一副三角尺如图所示叠放在一起 若 14cm 则阴影部分的面积是 cm2 AB 4 王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈 用于饲养家兔 已知第一条边长为a米 由于受 地势限制 第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米 1 请用a表示第三条边长 2 问第一条边长可以为 7 米吗 为什么 请说明理由 并求出a的取值范围 3 能否使得围成的小圈是直角三角形形状 且各边长均为整数 若能 说明你的围法 若不能 请说明理由 5 一个零件的形状如图 按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角 工人师傅量得零件各边尺寸 AD 4 AB 3 BD 5 DC 12 BC 13 这个零件符合要求吗 课后作业课后作业 1 下列各组数据中 不能作为直角三角形三边长的是 精品文档 6欢迎下载 A 9 12 15 B C 0 2 0 3 0 4 D 40 41 9 53 1 44 2 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三个内角比为 1 2 1 B 三边之比为 1 2 5 C 三边之比为 2 D 三个内角比为 1 2 335 3 如图 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 AB 的长为 4 如图 E F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点 且AB 4 CE 4 1 BC F为CD的中点 连接AF AE 问 AEF是什么三角形 请说明理由 5 5 题图题图 6 6 题图 题图 5 如图 如上图 今年的冰雪灾害中 一棵大树在离地面 3 米处折断 树的顶端落在离树杆底部 4 米处 那么 这棵树折断之前的高度是 米 6 一个零件的形状如图所示 已知 AC 3 AB 4 BD 12 求 CD 的长 cmcmcm 7 如图 某会展中心在会展期间准备将高 5m 长 13m 宽 2m 的楼道上铺地毯 已知地毯平方米 18 元 请你帮助 计算一下 铺完这个楼道至少需要多少元钱 8 如图 一架长 2 5 m 的梯子 斜靠在一竖直的墙上 这时 梯底距墙底端 0 7 m 如果梯子的顶端沿墙下滑 0 4 m 则梯子的底端将滑出多少米 经典例题经典例题 F E A C B D 精品文档 7欢迎下载 1 C 2 D 3 B 4 5 15 6 6cm2 7 由题意可得 花圃的周长 8 8 16 3 14 8 28 2 8 解 AD 平分 CAD CAD BAD DE 垂直平分 AB AD BD B BAD CAD BAD B 在 Rt ABC 中 C 90 CAD DAE B 90 B 30 9 解 1 如图 2 2 5 5 5 3 直角 10 4 1 2 10 设AD x米 则AB为 10 x 米 AC为 15 x 米 BC为 5 米 x 10 2 52 15 x 2 解得 x 2 10 x 12 课堂练习课堂练习 1 D 2 5 3 49 2 4 1 第一条边为 a 第二条边为 2a 2 第三条边为 30 a 2a 2 28 3a 2 不可以是 7 第一条边为 7 第二条边为 16 第三条边为 7 不满足三边之间的关系 不可以构成三角形 a 5 13 2 3 5 12 13 可以围成一个满足条件的直角三角形 5 解 在 ABD 中 AB2 AD2 32 42 9 16 25 BD2 所以 ABD 为直角三角形 A 90 在 BDC 中 BD2 DC2 52 122 25 144 169 132 BC2 所以 BDC 是直角三角形 CDB 90 因此这个零件符合要求 课后作业课后作业 1 C 2 C 3 32 4 解 由勾股定理得AE2 25 EF2 5 AF2 20 AE2 EF2 AF2 AEF是直角三角形 5 8 6 解 在直角三角形 ABC 中 根据勾股定理 得2543 22222 ABACBC 在直角三角形 CBD 中 根据勾股