高中数学 2.1.2 数列的递推公式配套课件 新人教A版必修5.ppt

2 1 2 数列的递推公式 学习目标 1 了解数列的递推公式 2 能根据给出的递推公式求数列的前几项 递推公式 前一项an 1 或前几项 如果已知数列 an 的第1项 或前几项 且任何一项an与它的 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 则a2 a3 1 问题探究 1 数列的递推公式是n的函数关系式吗 答案 不是 2 通项公式与递推公式有何异同 答案 相同 二者都可确定一个数列 都可求出数列的任何一项 不同 通项公式是n的函数关系式 可直接求出任一项 而递推公式可根据第一项 或前n项 的值 通过一次 或多次 赋值逐项求出数列的值 直至求出所需的项an 题型1 已知数列的递推公式 求前几项及其通项公式 例1 已知数列 an 满足an 1 2an 1 n n 1 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通项公式 2 若a1 1 写出此数列的前4项 并推测该数列的通项公式 解 1 a1 a2 a3 a4 1 可推测该数列 an 的通项公式为an 1 2 a1 1 a2 2 1 1 3 a3 2 3 1 7 a4 2 7 1 15 可推测该数列 an 的通项公式为an 2n 1 另解 由an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 an 1 1 a1 1 2n 1 an 1 2n 1 数列的递推公式是由递推关系式 递推 和首项 或前几项 基础 两个因素所确定的 即便递推关系完全一样 而首项不同就可得到两个不同的数列 适当配凑是本题进行归纳的前提 变式与拓展 1 根据递推公式 分别写出它的前5项 并归纳出通项公式 1 a1 0 an 1 an 2n 1 n n 解 1 a1 0 a2 a1 1 1 a3 a2 3 4 a4 a3 5 9 a5 a4 7 16 由a1 02 a2 12 a3 22 a4 32 a5 42 可归纳出an n 1 2 题型2 已知递推公式 用累加法求通项公式 例2 已知在数列 an 中 a1 5 an an 1 3 n 2 求数列 an 的通项公式 思维突破 先对an an 1 3从2到n进行取值 得到n 1个式子 再把这n 1个式子相加 消去中间项 解 由递推关系an an 1 3 n 2 得a2 a1 3 a3 a2 3 an 1 an 2 3 an an 1 3 将以上 n 1 个式子左右两边同时相加 得a2 a3 an 1 an a1 3 a2 3 a3 3 an 1 3 消去a2 a3 an 1 并整理 得an a1 3 n 1 a1 5 an 3n 2 若数列有形如an 1 an f n 的递推公式 且可求f 1 f 2 f n 可用累加法求通项公式 变式与拓展 2 已知在数列 an 中 a1 1 an an 1 cos n 1 n 2 求an 解 由递推关系 an an 1 cos n 1 n 2 得a2 a1 cos a3 a2 cos2 an 1 an 2 cos n 2 an an 1 cos n 1 将以上 n 1 个式子左右两边同时相加 得a2 a3 an 1 an a1 cos a2 cos2 an 2 cos n 2 an 1 cos n 1 消去a2 a3 an 1 并整理 得an a1 cos cos2 cos3 cos n 1 a1 1 an 1 cos cos2 cos3 cos n 1 题型3 已知递推公式 用累乘法求通项公式 例3 已知a1 2 an 1 2an 求an 思维突破 对an 1 2an从1到n 1进行取值 得到n 1个式子 再把这n 1个式子相乘 消去中间项 公式 可用累乘法求通项公式 变式与拓展 例4 根据图2 1 1中的框图 建立所打印数列的递推公式 试写出这个数列的前4项 并归纳出递推公式 图2 1 1 易错分析 没有准确把握相邻两项 即an 1与an 之间的联系和区别 方法 规律 小结 1 数列的递推公式是数列的另一种给出方法 注意它与通 项公式的区别及其用