如何整体把握高中数学课程-针对课程内容进行主线分析

如何整体把握高中数学课程 针对课程内容进行主线分析如何整体把握高中数学课程 针对课程内容进行主线分析 一 一 高中数学课程其实就是分成几大板块 如 1 曲线 分为那些椭圆 圆 抛物线 2 函数 这个很重要 和别的联系性也很强 3 概率 4 立体几何 立体感强的人容易一些 对于有的人就不是特别好学 亲身体验 5 向量 6 集合 与函数有时会联系在一起 7 排列组合 印象回忆 也许不太全 但是这些都是重点 也是必考的 然后有得部分间是有联系的 有的是毫无联系性的 像毫无联 系性的 用我们老师的话说 就是无论你数学多烂 到了一个新的部分也一样是和别人一样 都是起步 二 内容主线 2 1 函数主线 20 世纪初 在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下 函数进入了中学数学 克莱因提出了一个 重要的思想 以函数概念和思想统一数学教育的内容 他认为 函数概念 应该成为数学教育的灵魂 以函数概念为 中心 将全部数学教材集中在它周围 进行充分地综合 高中数学课程设计中 把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线 这条线将延续到大学的数学中 我们知道 大学几 乎所有的专业都开设了高等数学 有文科的高等数学 有工科的高等数学 在数学系中 有数学与应用数学专业 信息与 计算专业 统计数学专业 这些专业开设了不同高等数学内容的课程 虽然 不同的专业开设不同的高等数学课程 但是 函数是这些高等数学课程的一条主线 在数学系课程中 尤显突出 例如 数学分析 复变函数 实变函数 常微分方程 偏微分方程 泛函分析等等 这些课程都是把函数作为研究对象 函数 映射不仅是数学的基本研究对象 它们的思想渗 透到几乎每一个数学分支 在高中阶段 如何认识函数的作用 如何把握函数的内容 如何进行函数的教学 学生学完高中课程 在函数的学习中 应留下什么呢 每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题 1 对函数的认识 1 函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 通过探索 理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律 这 是我们认识现实世界的重要视角 在现实生活中 在其他学科中 有些变量和变量之间没有依赖关系 例如 一般的说 速度和湿度就没有依赖关系 有些变量和变量之间存在着依赖关系 一个量的变化引起另一个量的变化 例如 在物理中 刻画物体运动时 路程随着时间的变化而变化 又如 世界人口数量是随着时间的变化而变化的 这些对象的变量之间都 有着密切的依赖关系 而且 这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征 即当一个变量取定一个值时 依赖于这个变 量的另一个变量有唯一确定的值 具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在 例如 在汽车的运动中 运动时间和速度是有依赖关系的两个变量 在任何时刻 汽车只能有唯一的一个速度 又如 邮局按邮件的重量收取邮资 邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量 对同类型具有一定重量的邮件 只能收取唯一确定的邮资 函数正是反映变 量与变量之间这种依赖关系的 它是刻画现实世界中自然规律的重要模型 这也是数学联系实际的基础 2 函数是联结两类对象的桥梁 把函数看作是联结两类对象的桥梁 即通常说的映射关系 在高中阶段 函数的定义为 给定两个实数集合 A B 对集 合 A 的任一元素 a 按照某种对应关系 f 在集合 B 中存在唯一元素 b 与之对应 即 f a b 我们称这个对应关系 f 为集 合 A 到集合 B 的一个函数关系 简称函数 记作 f A B 这是用映射的观点刻画函数 它反映两个数集之间的关系 在两个数集之间架起了一座桥梁 这样的看法反映了数学中的 一种基本思想 在代数学中 同构 同态都是构架两个代数结构的桥梁 在拓扑学中 连续 同胚都是构架两个拓扑结构 的桥梁 这种思想渗透到每一个数学分支中 3 函数是 图形 函数关系是平面上点的集合 又可以看作平面上的一个 图形 在很多情况下 函数是满足一定条件的曲线 因此 从 某种意义上说 研究函数就是研究曲线的性质 研究曲线的变化 运用这种看法 函数可以看作数形结合的载体之一 实际上 高中数学课程中的数形结合主要有三个载体 解析几何 向 量几何 函数 在讨论函数问题时 帮助学生养成画函数图形 并且用函数图形思考问题的习惯 树立 图形意识 是掌握函数性质 学 好函数的关键 以上是认识函数的三个不同角度 它们可以帮助我们更全面地认识函数 也是学生在高中阶段中应留下的东西 这些对于 进一步学习是很重要的 进入大学 在高等数学的学习中 我们还会学习认识函数的新的视角 例如 在很多情境中 常 常要把具有某些形式的函数作为一个整体 并讨论整体的结构 2 中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征 因为 函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征 在高中阶段主要 研究函数的单调性 周期性 也讨论某些函数的奇偶性 单调性是在高中阶段讨论函数 变化 的一个最基本的性质 就是当自变量增加 减少 时 函数值是增加还是减少 单 调性反映的是某个范围里函数的变化 不是函数的局部性质 从几何的角度看 就是研究函数图像走势的变化规律 在高中数学课程中 对于函数这个性质的研究分成两个阶段 第一阶段 安排在必修 1 中 要求理解单调性的图形直观 理解单调性的定义 通过大量的具体函数 理解单调性在研究 函数中的作用 单调性与函数图形有密切联系 了解了函数的单调性 基本上就可以决定函数图形的走势 反过来 掌握 了函数图形的走势 也就基本上了解了函数的单调性 这是掌握函数的最基本的东西 单调性与不等式联系密切 单调性 的形式化定义是借助于不等式给出的 反之 具体函数的单调性反映了一些不等关系 关于单调性的证明一定要把握好它的 度 一般的只证明以下几种函数的单调性 y ax b y ax2 bx c y x3 y x 1 y 我们应该看到 还可以运用导数与函数单调性的关系来证明上述函数的单调性 这样 我们就会有不同的思想 方法 工 具研究函数 对数函数 指数函数单调性的证明也不作要求 因为对数函数 指数函数单调性的严格证明是有难度的 学习了导数的知 识 可以给出说明 第二阶段 安排在选修系列 1 2 课程的导数及其应用中 导数是描述函数变化率的概念 导数概念可以帮助我们对 函 数的变化 有进一步了解 在这一部分内容中 要求学生理解导数与单调性的联系 在一个区间内 如果函数在每一点的 导数大于零 则函数是递增的 如果函数在每一点的导数小于零 则函数是递减的 反之 也可以用单调性判断导数的符 号 在一个区间内 递增函数如果有导函数 那么每一点的导数大于或等于零 在一个区间内 递减函数如果有导函数 那么每一点的导数小于或等于零 这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理 在高中是不要求的 此外 在高中阶段 对 严格单调性和单调性的区别不必深究 否则 会因小失大 对于一些对数学有兴趣的同学 教师可以适当引导他们阅读一 些相关的参考书 周期性是中学阶段学习函数的另一个基本的性质 周期性反映了函数变化周而复始的规律 在我们的生活中 存在着大量 的周期变化的现象 大到宇宙的变化 例如 在太阳系中 行星围绕太阳的运动 小到粒子的变化 因此 学会用周期的 观点来看待周围事物的变化是非常重要的 周期函数 比如 正弦和余弦函数 正切和余切函数都是刻画周期变化的基本 函数模型 用周期的观点来研究周期函数 可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化 在此基础上 就可以了解函数 在整个定义域内的变化情况 在高中数学课程中 不讨论一般函数的周期性 只讨论基本的具体三角函数的周期性 例如 正弦 余弦 正切函数的周期性 奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质 但它不是最基本的性质 奇偶性反应了函数图形的对称性质 偶函数图形是关于 y 轴对称的 奇函数图形是关于原点对称的 奇偶性反应图形的对称与坐标系的选择有关 奇偶性可以 帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律 在高中数学课程中 对于一般函数的奇偶性 也不做深入讨论 只讨论基本 的具体函数的奇偶性 例如 简单幂函数的奇偶性 如 y x2 y x3 y x 1 3 具体函数模型 了解函数的形式定义 仅仅是理解函数的一部分 理解函数一个重要方法 就是在头脑中留住一批具体函数的模型 在高 中阶段 学生应留住哪些函数模型呢 如何让学生把这些模型留在头脑中 并能帮助思考问题 这是每位教师应该思考的 问题 对于一个好的数学教育工作者 要帮助学生对每一个抽象的数学概念 使他们在头脑中都有一批具体的 模型 要帮助学生养成这样一种学习数学的好习惯 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数是基本初等函数 这些函数是最基本的 也是最重要的 还有简单的分段函数 一些有实际背景的函数 等等 这些都是基本的 重要的函数模型 1 线性函数 y ax b 与幂函数相联系 它的图形是一条直线 它是函数关系中最常见的 也是最简单的 在很多情况 下 例如 在研究比较复杂的函数时 我们常常用它在一点附近的线性函数来近似表示 以直代曲 是微分的基本思想 2 正整数指数幂函数 正整数指数幂函数 y xn也是基本的函数 它们的代数和构成我们熟悉的多项式函数 这些函数都是 好 的函数 所谓 好 是指它具有任意阶导数 非常的光滑 此外 它们还有一个极为重要的性质 对于任意一个 好的函数 在一定范 围内都可以用多项式函数来近似地表示 在高等数学中 称为泰勒公式 这是高等数学的重要结果之一 它就是建立在 正整数指数幂函数的基础上的 这也是为什么幂函数重要和基本的原因之一 在高中阶段 对幂函数不做一般的讨论 仅仅讨论几种简单的情况 例如 y x3 y x 1 y 一元二次函数是最重要的一类多项式函数 在高中阶段 我们对这类函数作了详细的研究 我们应该很好掌握这一类函 数 3 指数函数 对数函数 指数函数 对数函数本身都是重要的函数 在刻画自然规律时 它们是用的最多的函数 也是最基本的函数 同时 它们 是好函数 它们具有任意阶导数 我们从两个角度认识指数函数 对数函数 一个角度是运算 从运算的角度认识指数 对数的运算规律 利用运算的规律 研究函数 另一个角度是函数 从函数的角度认识指数函数 对数函数的规律 对数函数 底数大于 1 多项式函数 例如 y x2 指数函数 底数大于 1 这三类函数都是随着自变量的增加而 增加 但是 它们增长的速度是不同的 对数函数最慢 多项式函数快一些 指数函数最快 在实际中 我们常常分别称 为 对数增长 多项式增长 指数增长 这些是刻画增长的最基本的模式 4 三角函数 周期现象是现实世界最基本的现象之一 三角函数是刻画周期现象最基本的模型 三角函数包括正弦函数 余弦函数 正 切函数等等 很多现实生活中的周期现象都可以用这些三角函数表示 三角函数也是最基本的周期函数 通过三角函数可 以帮助我们更好地理解周期函数 三角函数也都是好的函数 具有任意阶导数 三角函数的代数和可以用来表示更多的函 数 包括那些好的和不好的函数 如 某些不连续的函数 构成三角级数的理论 它是数学中分析学的基本内容 它还 是重要的一个数学分支 调和分析 小波分析的基础 小波分析是图像压缩技术的基础 具有极为广泛的应用 综上所述 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数都是最基本的初等函数 高中数学的最重要的任务之一就是要把这些 基本初等函数模型留在学生脑子里 这些模型是思考其他函数问题的基础 对于上述基本初等函数模型 我们希望学生在脑子里留下三方面的东西 背景 从函数模型的实际背景的角度把握函数 图像 从几何直观的角度把握函数 基本变化 从代数的角度把握函数的变化情况 如 指数函数 底数大于 1 变化之所以快是因为指数运算将和变为积 对数函数 底数大于 1 变化之所以慢是因为对数运算将积变为和 对于函数的教学 教师应该有一个全面的设计 思考一下 高一上学期做什么 下学期做什么 高二上学期做什么 高 三下学期做什么 通过函数的教学 要使函数在学生头脑中扎下根 4 函数与其他内容的联系 函数作为高中数学的一条主线 贯穿于整个高中数学课程中 特别是在方程 不等式 线性规划 算法 随机变量等内容 中都突出的体现了函数思想 1 函数与方程 用函数的观点看待方程 可以把方程的根看成函数与 x 轴交点的横坐标 即零点的横坐标 因此 解方程 f x 0 就是求 函数 y f x 的零点的横坐标 从而 方程可看作函数的局部性质 求方程的根就变成了思考函数图形与 x 轴的交点问题 函数图形与 x 轴的交点是函数的局部性质 如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质 这是解决方程问题的基本思 想 具体来说 如果函数 y f x 连续 且 y f x 在区间 a b 两端点的值异号 即 f a f b 0 那么函数图像会从 a f a 点出发一定会穿过 x 轴到达 b f b 点 即方程 f x 0 在区间 a b 内有解 原因就是由于函数不间断 如果 函数有这一性质我们就可以运用二分法求出方程的近似解 例如 判断方程 x2 x 6 0 的根的存在性 我们可以考察函数 f x x2 x 6 其图像为抛物线 如图 容易看出 f 0 6 0 f 4 6 0 f 4 14 0 由于函数 f x 的图像是连续曲线 因此点 B 0 6 与点 C 4 6 之间的那部分曲线必然穿过 x 轴 即在区间 0 4 内必 有一点 x1 使 f x1 0 同样 在区间 4 0 内也必有一点 x2 使 f x2 0 所以 方程 x2 x 6 0 有两个实根 我们 可以用学过的解方程的方法来验证这个结论 二分法本质上就是用函数的整体性质 函数在闭区间连续 且端点函数值异号 去寻求函数图像与 x 轴的交点 除了 二分法外 在数学分析中 还有一些用整体性质讨论方程近似求解的方法 这些方法都是从整体看待局部 例如 切线法 如果一个函数 y f x 在闭区间有一阶导数 则可用切线法求方程 f x 0 的解 又如 割线法 如果一个函数 y f x 在 闭区间有二阶导数 则可用割线法求方程 f x 0 的解 在 计算方法 中可以证明 切线法比二分法快 割线法比切线 法快 这是因为 割线法比切线法要求函数具有更好的性质 切线法比二分法要求函数具有更好的性质 有了近似逼近求方程解的思想 解方程的视野界开阔了 微积分的作用也就体现出来了 在初中 解方程的思路只局限在 用恒等变形来解方程 时间和精力主要花在恒等变形上 2 函数与数列 数列是特殊的函数 它的定义域一般是指非负的正整数集 有时也可以为自然数集 或者自然数集的子集 自然数是离散 的 因此 数列通常称为离散函数 离散函数是相对于定义域为实数或者实数的区间上的函数而言的 数列作为离散函数 在数学中有着自己的重要地位 在高中和大学 我们所遇到的大部分函数都是 好函数 好函数 不仅是连续的 而 且是可导的 像幂函数 指数函数 对数函数 三角函数等都是好函数 它们具有任意阶导数 数列在研究这些连续函数 中发挥着重要作用 在高中阶段 主要讨论一些特殊的数列 等差 等比数列的性质 等差数列 等比数列都是基本的数学模型 在我们日 常经济生活中许多经济问题都可以归结为等差数列 等比数列模型 例如 存贷款 教育储蓄 分期付款 商家返卷等等 问题 都可以用等差数列 等比数列来刻画 等差数列是线性函数的离散化 而等比数列是指数函数的离散化 3 函数与不等式 函数 y f x 的图像把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域 一部分区域是使函数值等于 0 即 一部分区域是使函数值 大于 0 即 一部分区域是使函数值小于 0 即 用函数的观点看 就是确定使函数图像 y f x 在轴上方或下方的的区 域 这样 我们首先确定函数图像与 x 轴的交点 方程 f x 0 的解 再根据函数的图像来求解不等式 例如 解一元二次不等式 首先分析函数的图像与轴有三种关系 不相交 有一个交点 有两个交点 如果再考虑函数的 图像 抛物线 的开口方向 就有六种情况 开口向上的三种情况和开口向下的三种情况 对于每一种情况 我们都能根 据函数图象确定出的范围 的范围可能是一个区间 也可能是两个区间的并 也可能只有一个点或是空集 因此 解一 元二次不等式的问题就归结为以下算法 第一步 确定函数图象的开口方向 根据的符号判断 第二步 确定函数图象与轴的关系 根据判别式 判断 第三步 确定的范围 用函数的观点来讨论不等式的问题 无论是对于理解函数的思想 还是解不等式的有关问题 都是非常有益的 有助于更 好的理解这些知识本身和解决有关问题 4 函数与线性规划 线性规划问题是最优化问题的一部分 从函数的观点看 首先 要确定目标函数 用目标函数来刻画 好 坏 或 大 小 等 在这里 目标函数实际上是二元函数 在具体问题中 学生是不难接受这个概念 接着 需要确定目标函数的可 行域 由约束条件确定目标函数的定义域 用平面区域图形可以非常清晰地表达可行域 目标函数的定义域 的特征 可行域的边界是由 直线围成的区域 其边界上定点的个数是有限的 最后 讨论目标函数在可行域 由约束条件确定 的定义域 内的最值问题 为此 认识目标函数的变化趋势 使用等高线 其上函数值相等的平面上的直线 可以直观地 给出了目标函数的变化趋势 解线性规划问题 可归结为以下算法 第一步 确定目标函数 第二步 确定目标函数的可行域 第三步 确定目标函数在可行域内的最值 例 1 某医院用甲 乙两种原料为手术后的病人配营养餐 甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和 10 单位铁质 售价 3 元 乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质 售价 2 元 若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质 试问 应如何使用甲 乙两种原料 才能既满足营养 又使费用最省 解 首先 确定目标函数 设甲 乙两种原料分别用 10 x g 和 10y g 病人需要使用的费用为 z 3x 2y 然后 确定目标函数的可行域 定义域 病人每餐至少需要 35 单位蛋白质 可表示为 5x 7y35 同理 对铁质的要求可以表示为 10 x 4y40 这样 问题成为求目标函数在可行域 有约束条件确定 上的最小值 或者说 在约束条件下 求目标函数 z 3x 2y 的最小值 最后 求目标函数在可行域上的最小值 做出可行域 如图 令 z 0 作直线 l0 3x 2y 0 由图形可知 把直线 l0平移至点 A 时 z 取最小值 由 得 A 即需甲种原料 g 乙种原料 3 30 g 时 费用最省 5 函数与算法 在算法中 最基本和重要的结构之一是循环结构 循环结构是理解算法的一个难点 难在对于循环变量的理解 循环结构 是通过给循环变量赋值来实现循环的 给循环变量每赋一次值 就执行一次循环 循环变量使得循环体得以 循环 循 环变量控制了循环的 开始 和 结束 是刻画循环结构的关键 用函数来刻画循环变量 把循环变量看作 运算次 数 的函数 循环结构中的循环变量分为两种形式 一种循环变量的值可以取 运算次数 以此来控制循环次数 例如 从 1000 个数中选出最大数的算法 首先 选择一 个数 然后 任选一个数与之比较 留下大的数 这算作一次运算 再进行重复 循环变量的值可以取 运算次数 运算次数 达到 999 次 算法就可以结束 另一种循环变量的值可以取 运算结果 是控制结果精确度的变量 例如用二分法求方程 f x 0 在区间 0 1 上的一个 近似解的算法 区间 0 1 是有解区域 每作一次运算 就得到缩小的新有解区域 循环变量的值可以取为有解区域的长 度 也可以称为精确度 那么 在这个算法过程中 循环变量达到要求的精确度 算法就可以结束 循环变量体现了函数的思想 因为 循环 的过程是依赖于循环变量取值的变化而一步步实现的 这种依赖关系体现了函 数的思想 在算法设计中 选择适当的循环变量是得到好算法的关键 总之 在高中课程中 函数与方程 数列 不等式 线性规划 算法 导数及其应用 包括概率统计中的随机变量等 以 及选修系列 3 4 中的大部分专题内容 都与函数有着密切的联系 用函数 映射 的思想去理解这些内容 是非常重要 的一个出发点 反过来 通过这些内容的学习 可以加深对于函数思想的认识 实际上 在整个高中数学课程中 都需要 不断地体会 理解 函数思想 给我们带来的 好处 3 2 几何主线 1 几何的教育功能 我们常常听到这样的一些词 空间想象能力 几何直观 能力 把握图形能力 几何洞察能力 等等 这些词都是一些 数学家提出来的 空间想象能力 是我国著名数学家华罗庚提出的 几何直观 能力是本世纪最著名的数学家希尔伯 特提出的 他写了一本重要的著作 直观几何 把握图形能力 是著名数学家 本世纪最有影响的数学教育家弗赖登 塔尔提出的 几何洞察能力 是由著名华人数学家项武义提出的 我们没有能考证这些词是否是由他们最早提出的 这些词的内涵可能有些不同 我们感到这些词的基本含义是相同的 这些能力不仅对数学研究是极为重要的 基本的 对 于数学教育 对于数学课程的设计同样是重要的 基本的 培养几何直观能力不仅仅是几何课程的任务 而且是整个数学 课程的基本任务 因此 几何是贯穿于整个高中数学课程中的主线之一 在其他的数学内容学习中 也要强调通过直观 通过图形来认识相关内容的数学本质 高中数学课程中 几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力 这两种能力对于学生思维的发展和对数 学本质的理解都是非常重要的 在高中数学课程中 几何是 图 文 并茂的内容 它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来 几何思想 主要体现在几何直观能力 即把握图形的能力 几何直观能力主要包括空间想象力 直观洞察力 用图形语言来思考问题 的能力 借助几何这个载体 可以培养学生的逻辑推理能力 但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的 在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统 也是共识 但是 如何运用几何思想 把握图形的能力去学习其 它的数学内容 却没有引起足够的重视 在实验区听课时 最令我们感到遗憾的是 教师不太喜欢 画图 讲解析几何 时也不画图 事实上 几何学能够给我们提供一种直观的形象 通过对图形的把握 可以发展空间想象能力 这种能力是非常重要的 无论是数学本身 数学学习本身 还是在其他方面 都是一种基本能力 搞艺术的人就经常说 这种空间想象能力与他们 艺术上的想象能力 艺术创作能力是一种殊途同归的感觉 英国著名数学家 M 阿蒂亚曾说过 几何是数学中这样的一个部分 其中视觉思维占主导地位 而代数则是数学中有序思 维占主导地位的部分 这种区分也许用另外一对词更好 即 洞察 与 严格 两者在真正的数学研究中起着本质的作 用 即 几何是直观逻辑 代数是有序逻辑 这表明 几何学不只是一个数学分支 而且是一种思维方式 这种思维方式 渗透到数学的所有分支 因此 培养学生的几何直观能力 把握图形的能力应成为高中学习几何的主要目的 我们知道 逻辑推理是数学的基本思维形式 在中学阶段 几何是培养学生推理论证能力的重要载体 但是 这里我们要 说的是 我们还应该认识到几何更本质的作用 这就是上面我们所说的 应当重视培养学生的几何直观能力 包括空间想 象力 直观洞察力 用图形的语言来思考问题的能力等 在高中数学课程中 我们更加关注通过对整体图形的把握去培养和发展空间想象能力 关注在空间想象能力培养中人的认 识规律 并概括了人们认识和探索几何图形的位置关系和有关性质的规律 建议通过 直观感知 操作确认 思辩论证 度量计算 等学习过程 培养和发展空间想象能力 这对几何课程的学习应该是有帮助的 例如 在立体几何的学习中 建议从对空间几何体的整体观察入手 认识整体图形 再以长方体为载体 直观认识空间点 线 面的位置关系 抽象出 有关概念 并用数学语言表述有关性质与判定 事实上 相关研究表明 个体的认识是先从对整体的认识开始的 大家知 道 在立体几何的学习中 异面直线和异面直线之间的距离是比较难理解的两个概念 如果先讲平行平面 那么 异面直 线就是两个平行平面中的两条不平行的直线 而异面直线之间的距离问题 也会因为平行平面间距离的确定性而变得容易 理解了 这也体现了整体把握图形的优越性 2 中学几何研究的对象 中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的 最基本的几何图形是点 线 面 由线可围成平面图形 由面可围成几何 体 中学几何研究的图形可分为两类 一类是直边或直面图形 例如 直线 由直线围成的三角形 由平面围成的四面体 长方体等 另一类是曲边或曲面图形 例如 圆 球等 在中学几何中 基本几何图形点 线 面之间的位置关系主要有 平行 垂直 包含 如点在直线上 线在平面内 线与线 面与面重合等 由基本图形围成的平面图形之间的关系主要 有全等 相似 位似等 图形的度量主要有夹角 长度 面积 体积等 3 几何研究图形的方法 中学几何研究图形的方法主要有 综合几何的方法 解析法 向量几何的方法 函数的方法等 综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质 即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质 这种方法的基本 特点就是把复杂的图形转化为简单的图形 把空间的图形转化为平面图形 例如 把两条线段相等问题转化为两个三角形 全等关系或一个三角形内两边的相等关系 空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直 如 三垂线定理 利用 三视图研究空间几何体等 在综合几何方法中 平移 旋转 对称等是研究综图形性质的基本方法 解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质 用解析几何方法研究图形 首先要建立坐标系 建立起 点 与 数对 之间的一一对应关系 然后是建立几何图形与方程之间的联系 再通过用代数的方法研究方程来实现研究几何图 形性质的目的 值得注意的是 同一个几何图形 由于建立坐标系时坐标原点的选择不同 在不同坐标系下方程的代数表 现形式是不同的 用解析几何方法研究图形时 常常需要通过代数的方法把表示几何图形的方程化成标准形式 解析几何 方法很好地体现了数学中的数形结合的思想 可以用代数的方法讨论几何的问题 也可以用几何图形表示代数的性质 向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量问题 用向量及其运算可以表示几何图形 例如 用向量表示点 用两个不共线向量的线性组合表示平面 用向量的数量积表示由一个点和一个法向量确定的平面等 用向 量的运算可以研究几何图形的位置关系和度量 例如 利用向量的数乘运算 数量积运算可以刻画线线 线面 面面的平 行与垂直关系 利用向量的数量积运算可以度量角度 长度 面积 体积等 用向量法研究几何图形有时比解析几何方法 中的坐标法更具有优越性 这是因为 向量是自由向量 不需要选择原点 这就使得向量方法更加灵活 方便 例如 求 两条异面直线的距离 用向量方法就比较简单 只要求出这两条异面直线的公垂线的方向向量 再在这两条直线上分别任 意取一个点 由这两个点确定的向量在公垂线的方向向量上的投影的长度就是两异面直线间的距离 函数的方法就是利用函数的性质 比如 单调性 来研究图形的性质 也就是说 用函数来表示几何图形 再利用函数的 性质来研究几何图形的性质 这种方法与解析几何方法是一致的 4 几何内容的设计 几何课程的设计分为两部分 一部分是将 把握图形 的能力作为指导思想 贯穿在整个数学课程的始终 另一部分是设 计了相应的几何内容 把握图形 的能力 几何直观能力 几何 图形 洞察力 空间想象力等等 这些说法在很大程度上具有同样的含义 把握图形 的能力或几何直观能力是利用图形生动形象地描述数学问题 直观地反映和揭示思考 讨论问题的思路 揭 示丰富多彩的数学思想 几何直观在几何课程本身的学习中发挥着不可替代的作用 并且贯穿在整个数学学习中 在数学 的研究中起巨大的威力也是不可替代的 将 把握图形 的能力 几何直观能力作为指导思想 贯穿在整个高中数学课程 的始终 是设计几何课程的基本思想 例如 在函数有关内容的学习中 强调函数图形的作用是贯穿始终的 要求把对函数思想的认识 函数性质的理解 函数 的应用与函数图形的掌握有机地联系起来 又如 讨论统计问题时 描述和表示数据是反映统计规律的重要手段 图形和图表是直观 生动呈现统计规律的基本方式 在高中数学课程中 介绍了直方图 扇形土 茎叶图 等等 实际上 并不限于这些图形 我们还可以选择其它的图形 选择的原则就是根据具体问题 直观地反映统计数据的规律 一目了然 在讨论线性规划问题时 有两个关键环节 一个是对可行域 目标函数的定义域 的理解 另一个是认识目标函数的变化 趋势 平面区域图形非常清晰地表达了可行域 目标函数的定义域 的特征 等高线直观地给出了目标函数的变化趋势 框图 包括算法框图 虽然不是几何研究的对象 但是 它利用最简单的图形直观地反映了完成一项工作的逻辑关系和顺 序 这正是几何给我们的一种帮助 我们可以举出很多这样的实例 它们属于其它的数学领域 但是在研究的过程中 几何思想 发挥了重要作用 实际上 越抽象的数学 越需要直观图形的支持 在高层次的思考中 抽象思维 和 形象思维 是密不可分的 形象思维 在数学上的体现就是 用图形说话 用图形描述问题 用图形讨论问题 这是一种基本的数学素质 培养 把握图形 能力 几何直观能力是数学课程的基本目标之一 高中数学课程中的几何内容是分层设计的 大体上包括三大部分 一部分在必修课程中 一部分在选修 1 2 课程中 一 部分在选修 3 4 的课程中 必修课程的几何内容由三块内容组成 立体几何初步 解析几何初步 平面向量 立体几何初步 解析几何初步安排在必 修课程数学 2 中 平面向量安排在必修课程数学 4 中 选修 1 2 课程的几何内容也由三块内容组成 圆锥曲线与方程 空间向量与立体几何 圆锥曲线与方程分别安排在选修 1 1 和选修 2 1 中 空间向量与立体几何安排在选修 2 1 中 在选 修 3 4 课程中 也设置了几何的专题内容 立体几何初步 主要是通过直观图 三视图 认识空间的基本几何图形 柱 锥 球 台等 并以长方体为载体 认识 点 线 面的基本关系和基本性质 其重点是定性地理解图形的性质 位置关系 帮助学生建立起空间想象能力 几何直 观能力 一些严格的论证和定量的分析图形放在选修 2 中 以长方体为载体认识点线面的位置关系 有助于帮助学生通过 具体的模型过渡到抽象定义 从自然语言过渡到数学语言 逐步习惯用图形的语言进行表达和思考 多角度地认识图形 从整体到局部 从局部到整体 从外到里 从里到外 特别是从整体到局部 长方体是非常好的载体 不严格地说 高中 立体几何的内容都可以体现在长方体中 解析几何初步 的重点是帮助学生理解解析几何的基本思想 数形结合的思想 坐标系 是解析几何基本思想的主 要组成部分 直角坐标系 是在数轴的基础上形成的概念 它可以帮助我们用 数对 表示平面上的点 建立起 点 与 数对 之间的一一对应关系 形成一座代数与几何之间的桥梁 解析几何的另一个主要思想是建立方程与曲线之间的 联系 在解析几何初步中 主要是以直线与圆为载体 帮助学生理解 在直角坐标系中 每一条直线可以用形如 ax by c 的方程 或其他形式的方程 表示 满足方程 ax by c 的解组成的图像是一条直线 对于圆也有同样的性质 这些内容可 以帮助学生初步形成如下的观念 可以用 方程 表示 曲线 反之 曲线 是 方程 的图像 在此基础上 可以 用代数的方法讨论几何的问题 反之 代数的性质可以用几何图形表示 在思考解析几何问题时 这是相辅相成 不可偏 废的两个方面 在选修 1 2 中 都延续了解析几何的内容 设计了 圆锥曲线与方程 圆锥曲线一直是中学课程一个重要内容 有两 个重要的物理背景支持着圆锥曲线的地位 一个背景是 在我们生活的宇宙中 许多物体的运动轨迹可以用圆锥曲线 近 似的用圆锥曲线表示 另一个背景是光学 大部分光学仪器都是利用圆锥曲线 面 的性质制作的 这些都是圆锥曲线成 为中学数学中基础知识的理由 在数学上 研究圆锥曲线有两种方法 综合几何的方法和解析几何的方法 高中数学课程 选修 1 2 中选择解析几何的方法 在选修 4 的 几何证明选讲 中 运用了综合几何的方法 圆锥曲线 圆锥曲面 又 称作二次曲线 圆锥曲面 它是体现解析几何本质的最好载体 二次曲线的代数表示是二元二次方程 如何利用方程的 系数确定曲线的形状 揭示这个规律成为数学的经典内容 在大学数学系的课程中 以这个内容 圆锥曲面 为核心的解 析几何是最基础的课程 高中数学课程中的圆锥曲线部分主要介绍了三类圆锥曲线的标准方程 强调从几何性质到建立方 程的过程 例如 从几何来说 椭圆是到两个定点距离之和为定长的点的集合 从直角坐标系的选择 到椭圆标准方程的 建立 从对标准方程的分析 到得出椭圆一系列的几何性质等 较全面地展示了解析几何研究问题的过程 在高中阶段 对圆锥曲线的讨论是初步的 主要目的是进一步理解解析几何的思想 向量是几何的一个基本内容 它既可以看作是代数的内容 也可以看作几何的内容 需要说明的是 很多内容究竟是属于 代数还是属于几何 仅仅是看我们强调的方面 向量是几何对象 这一点常常容易被忽视 向量可以用来表示空间中的点 线 面 如果以坐标系的原点为起点 向量就与空间中的点建立了一一对应关系 一点和一个非零向量可以唯一确定一条 直线 它通过这个点且与给定向量平行 同样 一个点和一个非零向量 可以唯一确定一个平面 它过这个点且与给定向 量垂直 在高维空间中 这种表示十分有用 用向量还可以表示曲线 曲面 因此 向量可以描述 刻画和替代几何中的 基本研究对象 点 线 面 从这方面来看 它是几何研究的对象 向量是几何研究对象 这一认识很重要 在立 体几何中 可用向量来讨论空间中点 线 面之间的位置关系 判断线线 线面 面面的平行与垂直 通过向量的运算来 度量几何体 计算长度 角度 面积等 因此 向量是连接几何和代数的一座天然 桥梁 它进一步地体现了解析几何 的思想 是体会数形结合思想的重要载体 在以后的学习中 这座 桥 会发挥出更大的作用 有人认为 中学数学中引入向量 用向量来处理几何问题 是因为用向量比用综合法简单 容易 这种看法是不全面的 虽然有许多问题 用向量处理确实比用综合法简单 但也可以找到用综合法处理比用向量法更简单的问题 向量之所以被 引入到中学 这是因为向量在数学中占有重要的地位 向量作为一个既有方向又有大小的量 在数学中是一个最基本的概 念 而且 它有着丰富的物理背景 在现代数学的发展中起着不可替代的作用 二维向量与其运算构成了非常重要的 线 性空间 的模型 是代数 几何 泛函分析等基础学科研究的基本内容 在选修 2 中 设计了空间向量与立体几何的内容 希望在 理工和经济 方面发展的学生需要学习这部分内容 这部分内 容的定位是 定量地 思考立体几何问题 定量 包含两个含义 一方面 严格地讨论基本图形的位置关系 即反映点 与点 直线与直线 直线与平面 平面与平面等的位置关系 另一方面 从距离 角度去定量地讨论基本图形的关系 我 们知道 讨论立体几何问题有两种基本思路 一个是综合法 一个是向量法 在这里强调使用向量的方法 是因为这种方 法将来应用的面更广一些 这是高中数学课程的一个变化 综合几何的方法也是很重要的 在 几何证明选讲 专题中 能更好地体现综合几何方法的意义 在选修 1 2 的几何内容中 突出了利用解析几何的思想讨论几何问题 这样 在高中阶段 学生就初步地了解了讨论几 何问题的两种方法 综合法和解析法 选修 3 课程有两个专题与几何有直接的关系 它们是 球面几何 与 欧拉公式与闭曲面分类 选修 4 中 与几何有直 接关系的有以下专题 几何证明选讲 坐标系与参数方程 矩阵与变换 统筹与图论初步 等 在其它一 些专题中 例如 在 对称与群 中 对称性主要是通过图形展示的 正如前面反复强调的 几何直观 空间想象 把握 图形 运用图形语言等等 都是贯穿在整个数学课程中的基本思想 3 3 运算主线 对数学最朴实的理解是 数学就是 算 即 运算 运算 包括两方面 一个是 运算的对象 一个是 运算的 规律 数 字母 代数式 指数 对数 三角函数 向量 等等都是运算对象 结合律 a a 0 即加一项 减一项 交换律 各种 分配律 等等都是运算规律 运算 几乎渗透到数学的每一 个角落 运算是贯穿数学的基本脉络 是贯穿数学课程的主线 在高中数学课程中 发挥着不可替代的作用 1 对运算的认识 运算是数学学习的一个基本内容 运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索 从小学开始 学生所接触的运算对象 在不断地扩展 从整数到分数 从正数到负数 从有理数到实数 复数 从数到字母 到多项式等 数的运算 字母 多 项式运算 向量运算 函数 映射 变换运算 矩阵运算等 都是数学中的基本运算 从数的运算到字母运算 是运算的一次跳跃 数的运算可以用来刻画具体问题中的数量关系 解决一个一个有关数量关系 的具体问题 而字母运算则可以刻画蕴涵规律的一类问题 解决一类问题 例如 a b c a b c 就刻画了数运算的一 个基本规律 结合律 同时 字母运算也是表达函数关系 刻画普遍规律的工具 从数运算进入字母运算 是学生数学 学习中的一次质变 学生对运算的理解也会产生一个跳跃 从数的运算 到向量运算 是认识运算的又一次跳跃 运算是一类映射 在代数中 最常见的运算这样的映射 A A A 它是二元映射 实数的加法和乘法运算就是二元映射 但是 并不是二元映射都是运算 实际上 大部分二元 映射不是运算 只有满足运算规律的二元映射才可以成为运算 即代数运算 数的运算 多项式运算都是 A A A 型的代 数运算 例如 就加法运算来说 它们满足结合律 由 0 元 a a 0 还满足分配律 在初中阶段 所有的代数内容都 离不开运算 例如 代数基本公式 因式分解 方程 不等式 函数 等等 向量是可以 算 的 向量的加法 减法运 算的特征是两个向量通过加法 减法运算得到第三个向量 也满足结合律 由 0 元 a a 0 同时满足分配律 所以 向量的加法 减法运算是属于 A A A 型的代数运算 向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个 向量 它满足一系列运算规则 例如 结合律 ab a b 分配律 a 等等 所以 数与向量的数乘夜是一种运 算 是属于 A B B 型的代数运算 向量的数量积的特征是两个向量通过数量积运算得到一个数 同样 它也满足一系列 运算规律 例如 分配律 等等 所以向量的数量积也是一种运算 即属于 A A B 型的代数运算 向量运算不 同于数的运算 它涵盖了三种类型的代数运算 与数的运算相比 向量运算扩充了运算的对象 向量运算更加清晰地展现 了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能 同时 向量运算具有与数运算不同的一些运算律 这对于学生进一步 理解其它数学运算 发展学生的运算能力具有基础作用 因此 从数的运算到向量运算 是学生数学学习中的又一次质变 学生对运算的理解也会更上一层楼 指数运算 对数运算 三角运算 导函数运算等 从形式上看 它们都是 A A 型的映射 但是 它们满足一些运算规律 例如 指数满足 等规律 通常把具有运算规律的映射称为 算子 也有称之为一元运算 例如 求函数的导函数也是 一种运算 它满足两个函数和的导函数等于先求导再求和 这是运算的规律 当然 它还满足其他的规律 这是对运算的 认识是又一次飞跃 在以后的学习中 运算对象还要进一步拓展 上述种种运算的学习 为学生今后进一步学习其它数学运算 体会数学运算 的意义以及运算在建构数学系统中的作用 奠定了基础 运算是贯穿于整个数学课程的主线之一 用这种思想认识高中的数学对提高数学素养 提高解决问题的能力是非常有用的 义务教育阶段数学课程中的运算主要是数的运算和代数式的运算 高中阶段的运算除了数的运算和代数式的运算外 还有 向量运算 指数运算 导函数运算等函数运算以及矩阵运算等 2 运算的作用 1 运算与推理 运算本身是代数研究的重要内容 项武义教授认为代数问题就是运用运算和运算法则解决的问题 这样概括是有道理的 在某种意义说 在中学阶段 解方程问题 解不等式问题 一些函数性质的研究 等等 都是代数问题 代数问题的基本 特点是不仅要证明在什么条件下 解 存在 而且 要把 解 具体地构造出来 这是一种构造性的证明 运算和运算律 是构成代数推理的基本要素 例如 讨论二元一次方程组时 不仅要证明在什么条件下二元一次方程组无解 有解 而且 还会把 解 具体地构造出来 又如 利用向量证明问题时 可以把要证明的问题结果 算 出来 在运算过程中 每一步运算所依据是运算规律 运算规律的作用类似于几何证明中的公理 它是代数推理的前提和基本依 据 运算过程本身就是代数推理的过程 因此 运算与推理有着密切的联系 可以说 运算也是一种推理 运算可以 证 明问题 这是高中数学学习需要 留给学生 的最重要的思想 因此 运算的学习对于培养学生的逻辑推理能力同样具 有重要作用 2 运算与算法 在一定意义下 算法是通过计算机解决问题的 算法由计算机实现 构成算法的基本要素是运算 计算机能完成的运算主 要包括 算术运算 逻辑运算 与 或 非等 关系运算 等 函数运 算 等等 因此 运算是算法的基本要素 算法的设计要以运算和运算律为依据 使用各种运算和运算规律对于理解算法 选择算法 优化算法具有重要作用 算法与证明的关系 我们参考算法的论述 3 运算与恒等变形 在解决数学问题的过程中 需要进行有各种各样的恒等变形 把复杂问题变成简单问题 例如 在解决一元二次方程时 我们通过配方方法 实现了降幂的目的 把一元二次方程变成一元一次方程 配方就是通过恒等变形完成的 这些恒等变 形是通过反复利用运算规律实现的 又如 在三角函数等内容的学习中 无论是证明 还是求解 都是在运用各种三角函 数基本运算法则进行恒等变形 通过恒等变形把我们不会解的问题变成我们会解的问题 因此 运算和运算法则的学习 对于理解恒等变形的原理 提高恒等变形的能力是非常重要的 3 运算内容的设计 在高中数学课程中 主要有几部分内容集中的介绍了运算 指数运算 对数运算 三角函数运算 向量运算 包括平面向 量和空间向量 复数运算 导数运算 等等 高中数学课程在必修数学 4 和选修 2 1 中安排了平面向量与空间向量的内容 在选修 1 2 和选修 2 2 中安排了数系扩充与 复数引入的内容 在必修课程的指数函数 对数函数 三角函数中也安排了有关的运算 在选修 1 2 课程的导数及其应 用中还有安排了导函数运算的内容 向量进入中学 这是中学课程的一个重大的变化 向量是一个重要的运算对象 向量的加法 向量的减法是向量自身的运 算 向量的数乘是两种运算对象的运算 向量与向量的数量积是一种新的运算形式 它们蕴含着一些运算的规律 从代数 上来说 向量极大的丰富了运算规律 使得我们对运算的认识提高到一个新的水平 V R 构成了代数的新的 运算模型 它是线性空间最生动的范例 V R 构成了代数与拓扑密切联系的模型 它是泛函分析中线性 赋范空间最生动的范例 还要特别指出的是 尽管向量的内涵很丰富 但是 作为数学研究对象来说 它还是简单 易懂 并且容易掌握的 用向量解决几何问题 充分体现了运算的作用 运算在研究其他数学问题中也发