【步步高 通用（理）】2014届高三二轮专题突破 专题二 第3讲.doc

平面向量综合复习【高考考情解读】从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等l 主干知识梳理：1 平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2 平面向量的三个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底(3) “爪子定理”：已知直线上三点，点为外一点，若，则；反之，若，则三点共线。3 平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4 平面向量的三个重要公式(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .考点一平面向量的概念及线性运算例1(1)(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_(2)ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，0且|，则向量在上的投影为 ()A. B3 C D3答案(1)(2)A解析(1)如图，()，则1，2，12.(2)由0，得.又O为ABC外接圆的圆心，OBOC，四边形ABOC为菱形，AOBC.由|2，知AOC为等边三角形故在上的投影为|cosACB2cos .例2为内一点，且，则的形状是 （ ）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上皆错例3是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，则的轨迹一定通过的 （ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心例4 设是内部的一点，且，则和的面积之比为 （ ） A. B. C. D.探究提高： (1)在一般向量的线性运算中，学生都记得加法的平行四边形法则和三角形法则，其实做题时应记住的模型是（M是AB的中点）。反之，只要题目中涉及到中点的问题，都应该想到加法；(2)而向量的减法运算中，学生都知道，老师都强调注意方向不能错。其实，向量的减法的一个重要作用是隐消掉了公共点。这点在做题时有着非常重要的作用。（3）运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合练习1.已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m的值为()A2 B3 C4 D5练习2.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，则的值为_答案(1)B(2)6解析(1)0，点M是ABC的重心3，m3.(2)方法一如图，11，|1|2，|1|4，42.6.方法二由，两边同乘，得20，4.4，两边同乘，得4，即34().2.6.方法三以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0)，C(2cos 30，2sin 30)，B(cos 120，sin 120)即A(1,0)，C(3，)，B(，)由得，.6.练习3.设是所在平面内一点，则 （ ） A. B. C. D. 练习4.是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足 ，则的轨迹一定通过的 （ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习5.在所在平面上有三点满足：，则的面积与的面积之比为：练习6.已知O是所在平面内的一点，内角A,B,C所对应的边长分别为，若，则O是的 BA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习7.已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过 CA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习8.已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过 BA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习9.已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,则动点P的轨迹一定通过 DA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心练习10.的外接园的园心为，P是所在平面上的一点，若，则P必过三角形的 ( ) C 外心 内心 重心 垂心练习11.若定点O满足，则O是（ ） D外心 内心 重心 垂心练习12.若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_直角练习13.若对任意，恒成立，则的形状一定是 直角练习14.如图,设为内的两点,且,则的面积与的面积之比为( ) B A. B. C. D. 练习15.已知是内一点,且满足,记、的面积依次为,则等于（）D 练习16.点O为ABC内一点,且存在正数使,设AOB,AOC的面积分别为S1、S2,则S1:S2= （ ） CA.1:2 B.2:3 C.3:2 D.2:1考点二平面向量的数量积求平面向量数量积有下列四种常用方法：1.公式法：利用下面两个公式直接求解：若，则例1（1）已知向量满足，则与的夹角等于 （ ） A. B. C. D.（2）已知向量与的夹角为，且，那么的值为（3）在平行四边形中，则练习1：（1）已知向量，则 ；与的夹角的大小为（2）已知向量， 的夹角为，且，则 ；在方向上的投影等于练习2：（全国高考）已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为 （ ）D A. B. C. D.2.转化法：称模和夹角已知的向量为“好”向量，称互相垂直的向量也为“好”向量，称模和夹角未知或难求的向量为“差”向量。此法的精髓是将“差”向量转化为“好”向量。例1 如图所示，是半圆的直径，是弧的三等分点，是线段的三等分点，若，则的值是 （ ）C A.2 B.5 C.26 D.35例2 （湖北）如图，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。练习1：如图，是平面上三点，向量，在平面上，是线段的垂直平分线上任意向量，且，则练习：在中，已知点是内一点，且满足，则40练习：如图，是其两个三等分点，以为边，向同一个方向作正三角形、，是的三个四等分点，求的值。3.坐标法：如果题目涉及到的图形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形、正方形或有垂直的直线，此类题目适宜于建立坐标系，利用坐标求内积。例1(2012江苏) (1)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_(2)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2答案(1)(2)B解析(1)方法一坐标法以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)故(，0)，(x,2)，(，1)，(x，2)，(，0)(x,2)x.又，x1.(1，2)(，1)(1，2)22.方法二用，表示，是关键设x，则(x1).()(x)x22x，又，2x，x.()2224.(2)方法一由题意知a2b2c21，又ab0，(ac)(bc)abacbcc20，acbcc21，|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32(acbc)1，|abc|1.方法二设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x,1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x,1y)，|abc|1.例2 如图，两条互相垂直的直线交于点，边长为1的正方形的两个顶点分别在上滑动，求的最大值。练习1：如图，扇形的弧的中点为M，动点C,D分别在线段OA,OB上，且OC=BD.若OA=1, ,则的取值范围是_ 练习2：.在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。练习3：若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 练习4：(1)(2013山东)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若A，且，则实数的值为_(2)(2013重庆)在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是()A. B. C. D.答案(1)(2)D解析(1)由知0，即()()(1)A22(1)32940，解得.(2)，()()20，2.，.|1，21122()222(2)22，|，0|2，022，22，即|.4.投影法：利用投影求内积，解题过程既巧妙有简洁，有时出乎我们的意料。例1 如图，圆与直线交于，且，求的值。例2 O为的外心，AB=4,AC=2, 为钝角，M是边BC的中点，则_5_练习1：外接圆的半径为1，圆心为O，且,则=_3_练习2：已知的三边长，P为AB边上任意一点，则的最大值 9 练习3：如图在中，则练习4：已知三角形中，分别表示角的对边长，为的外心，求的值。考点三平面向量三个定理的应用例已知向量考点四平面向量与三角函数的综合应用例已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值 (1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2. 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围解(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)bsin，由正弦定理，可得sin A，A.f(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A).练习1：(1)已知三角形中，分别表示角。若，边上的中线，求的值；(2)若的垂心为，外心为，且满足，若，试求：1 当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量 (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2 根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直3 两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4 平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量知识只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.1 已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且AOC120，设2(R)，则等于()A1 B2 C1 D2答案C解析根据AOC120，可知点C在射线yx(x0)上，设C(a，a)，则有(a，a)(2,0)(，)(2，)，即得a2，a，消去a，得1.2 函数ytan(x)(0x4)的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则()_.答案8解析A点坐标为(2,0)，即(2,0)，由ytan(x)的图象的对称性知A是BC的中点2，()22|28.3 在ABC中，向量m(2cos B,1)，向量n(1sin B，1sin 2B)，且满足|mn|mn|.(1)求角B的大小；(2)求sin Asin C的取值范围解(1)由|mn|mn|，可知mnmn0.然而m(2cos B,1)，n(1sin B，1sin 2B)，所以有mn2cos Bsin 2B1sin 2B2cos B10，得cos B，从而B60.(2)sin Asin Csin Asin(120A)sin Acos Asin(A30)又0A120，则30A30150，sin(A30)1.所以sin Asin C，即sin Asin C的取值范围是(，(推荐时间：60分钟)一、选择题1 下列命题中正确的是()A若ab0，则0B若ab0，则abC若ab，则a在b上的投影为|a|D若ab，则ab(ab)2答案D解析根据平面向量基本定理，必须在a，b不共线的情况下，若ab0，则0；选项B显然错误；若ab，则a在b上的投影为|a|或|a|，平行时分两向量所成的角为0和180两种；abab0，(ab)20.2 (2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析利用向量的相等与共线知识解决表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选择项易知C满足题意3 (2013湖北)已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ()A. B.C. D答案A解析(2,1)，(5,5)，在方向上的投影为.4 (2013福建)在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10答案C解析0，ACBD.四边形ABCD的面积S|25.5 (2013湖南)已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 ()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析ab0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos 1，0c212|c|，c22|c|10，1|c|1.6 若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A. B. C. D.答案C解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比为.二、填空题7 (2013安徽)若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_答案解析由已知条件得a2(a2b)2，即ab|b|2，cosa，b.8 (2013北京)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案4解析以向量a和b的交点为原点建直角坐标系，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，根据cab(1，3)(1,1)(6,2)有61，23，解之得2且，故4.9 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动若xy，其中x、yR，则xy的最大值是_答案解析设AOC，则COB90，cos sin ，即.xycos sin sin.10在ABC中，AB2，AC3，1，则BC_.答案解析1，且AB2，1|cos(B)，|cos B1.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B，即94BC22(1)