固体物理-王雪华课件l9-晶格振动

3 2一维双原子链的振动 一 运动方程及其解 设M m 考虑由P Q两种原子等距相间排列的一维双原子链 只考虑近邻原子间的弹性相互作用 久期方程 简约区 对于不在简约区中的波数q 一定可在简约区中找到唯一一个q 使之满足 为倒格矢 两个色散关系即有两支格波 光学波 声学波 二 声学波和光学波的物理图象 第n个原胞中P Q两种原子的位移之比 R 大于零的实数 反映原胞中P Q两种原子的振幅比 两原子的振动位相差 1 声学波 acousticbranch 即 在 象限 属于同位相型 物理图象 原胞中的两种原子的振动位相基本相同 原胞基本上是作为一个整体振动 而原胞中两种原子基本上无相对振动 q 0时 当q 0时 原胞内两种原子的振动位相完全相同 这与连续介质的弹性波 vq一致 当q 0时 在长波极限下 原胞内两种原子的运动完全一致 振幅和位相均相同 非常类似于声波 故将这种晶格振动称为声学波或声学支 2 光学波 opticalbranch 在 象限之间 属于反位相型 物理图象 原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反 即原胞中的两种原子基本上作相对振动 而原胞的质心基本保持不动 当q 0时 原胞中两种原子振动位相完全相反 离子晶体在某种光波的照射下 光波的电场可以激发这种晶格振动 因此 我们称这种振动为光学波或光学支 对于单声子过程 一级近似 电磁波只与波数相同的格波相互作用 如果它们具有相同的频率 就会发生共振 光波 c0q c0为光速 对于实际晶体 0 在1013 1014Hz 对应于远红外光范围 离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 0 附近的强烈吸收 光学波原子振动模型 声学波原子振动模型 带隙 三 周期性边界条件 周期性边界条件 h 整数 N 晶体链的原胞数 q的分布密度 推广 若每个原胞中有s个原子 一维晶格振动有s个色散关系式 s支格波 其中 1支声学波 s 1 支光学波 晶格振动格波的总数 sN 晶体的自由度数 3 5三维晶格振动 一 三维简单晶格的振动 第 个原子的位矢 回顾 简谐近似 忽略高阶项 保留至二阶项 上式称为简谐近似 在简谐近似下 系统的势能为 取平衡时U0 0 l 和 l 是第l和第l 个原子分别沿 和 方向的位移 力常数 第l个原子的运动方程 这里考虑了晶体中所有原子的相互作用 由晶格的周期性 得 设格波解 其中 久期方程 可以解得 与q的三个关系式 对应于三维情况沿三个方向的振动 即三支声学波 一支纵波 两支横波 推广 对于复式晶格 若每个原胞中有s个原子 由运动方程可以解得3s个 与q的关系式 即色散关系式 对应于3s支格波 其中3支为声学波 一支纵波 两支横波 3 s 1 支为光学波 二 布里渊区 上式对于任意时刻t和任意的格矢都成立 有 对于第j支格波 设有两个波矢和所描述的晶格振动状态完全相同 有 由于 为倒格矢 h为整数 有 由于为任意格矢 即 在空间中 是以倒格矢为周期的周期函数 仍可将波矢限制在简约区或第一布里渊区中 将原点取在简约区的中心 那么 在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系 布里渊区边界面方程 布里渊区的几何作图法 根据晶体结构 作出该晶体的倒易空间点阵 任取一个倒格点为原点 布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面 由近到远作各倒格矢的垂直平分面 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积 即为简约区或第一布里渊区 简约区就是倒易空间中的Wigner Seitz原胞 可以证明 每个布里渊区的体积均相等 都等于第一布里渊区的体积 即倒格子原胞的体积 b 体心立方晶格的倒格子与简约区 面心立方晶格的倒格子与简约区 三 周期性边界条件 设N1 N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数 那么 晶体的总原胞数为 N N1N2N3 周期性边界条件 令 h1 h2 h3 整数 在q空间中 每一个q的取值 状态 所占的空间为 V Nva 晶体体积 在空间中 波矢的分布密度 简约区中波矢的取值总数 晶体的原胞数 简单晶格 每个原胞中只有一个原子 每一个q的取值对应于三个声学波 1个纵波 2个横波 晶格振动格波