数学人教版八年级上册完全平方公式拓展.docx

完全平方公式拓展教学设计涿州市实验中学宋振东1、 全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节选学内容 阅读与思考 杨辉三角 2、 课前准备：印发学案（学生每人一份）；制作ppt课件；制作立体杨辉三角模型。杨辉三角一、教材背景分析1、杨辉三角选自全日制普通初级中学教科书人教版第14章第2节的选学内容-阅读与思考。 教科书将二项式系数规律的探究与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的规律，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，借此对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感。本节内容以完全平方公式为基础，引导学生建立二项式系数与“杨辉三角”之间的直觉，并探索其中的规律，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这一过程有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，发展其数学应用意识。在初中阶段属于选学内容，用以激发学生兴趣，开阔视野。将来的高二数学中，二项式定理与杨辉三角是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。对高中学习微分方程等也具有重要地位，有承前启后作用。2学情分析初二学生已学习完全平方公式，具备了一定的分析、探究问题的能力，恰当的问题引导能建立知识之间的相互关联，从而解决与杨辉三角相关的简单问题。3教学重点与难点重点：探索二项式系数与“杨辉三角”之间的联系；提高合情推理能力。难点：赋值法、数形结合、特殊到一般再到特殊的数学思想方法。二、教学目标1使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律，让学生感受我国古代数学成就和数学美，激发学生的民族自豪感.2通过研究(a+b)n 的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力。3通过体验“发现规律、寻找联系、探究验证、运用迁移、拓展质疑”的学习过程，体验应用数形结合、特殊到一般、赋值法等数学思想解决问题的“再创造”过程。4通过合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。三、教法选择和学法指导教法：问题引导、合作探究。学法：观察(a+b)n 的展开式的规律与“杨辉三角”之间的联系，在探究合作中理解知识，螺旋上升地概括核心知识并渗透重要数学思想。四、教学基本流程设计（一）精准计算，探究规律。 （二）数形偶遇，交相辉映。（三）赋值归纳，探究展示。 （四）反馈升华，跨越联想。（五）悬念小结，深度求索。五、教学过程（一）精准计算，探究规律。（小黑板演示）1、应用公式或多项式乘法法则计算填空，并按字母a进行降幂排列。(a+b)1a+b 第（1）行 (a+b)2a2+（）ab+b2 第（2）行 (a+b)3a3+（）a2b+3（）+b3 第（3）行 (a+b)4a4+（）a3b+（）a2b2+（）ab3+b4 第（4）行 (a+b)5 第（5）行2、把上面等式右面每一项的系数排列成行，找出规律，写出第7、8行数字。1 1 第（1）行 1 2 1 第（2）行 1 3 3 1 第（3）行 1 4 6 4 1 第（4）行 1 5 10 10 5 1 第（5）行 1 6 15 20 15 6 1 第（6）行 第（7）行 第（8）行【设计意图】1、猜想是在对具体事例研究的基础上，通过类比或归纳得出具有普遍性的结论。猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，让学生先研究几个特例，由特殊到一般，学生就可以提炼出合理化猜想的方法，从而提升学生猜想的能力。2、计算(a+b)n 的展开式，降幂排列、整理系数为探究二项展开式系数的规律与“杨辉三角”埋下伏笔。（二）数形偶遇，交相辉映。1、上述三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著详解九章算法一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，法国数学家帕斯卡发现这一三角形是十七世纪的事，比杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。观察上面两图填空：（1）三角形的两条斜边上都是数字都是_，而其余的数都等于它肩上的两个数字_ ；杨辉三角每行都具有_性； 第n行包含_个数。（2）(a+b)n 的展开式共有n+1项，每项的次数_；若按照字母a的降幂排列（也是按b的升幂排列），则各项的系数就是杨辉三角中第_行。2、 请写出(a+b)6(a+b)7(a+b)8【设计意图】通过小组合作交流，探究规律，提升能力。（1）观察发现杨辉三角的规律，并且探究杨辉三角的第n行数字就是(a+b)n 展开式系数，(a+b)n 展开式的系数和杨辉三角都具有对称性和增减性。 （2）培养学生合情推理能力、联想概况和迁移拓展能力；体会应用数形结合、特殊到一般等思想方法解决问题的“再创造”过程。 （三）赋值归纳，探究展示。1、 杨辉三角中第一行数字之和为 ，第二行数字之和为 ； 第三行的和为 ；第四行的和为 ；第n行的数字之和为 。2、 以上是巧合么？把展开式的第四行中a和b都代换成1，左边为 ；右边为 ，右边恰是杨辉三角的第 行。此法为数学中的赋值法。3、杨辉三角从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第二行为121）都是上一行的数与_的乘积。由此可得出115=_；由第_行可写出118=_。这是把a和b看成_得到的。【设计意图】1、引导学生观察分析数据性质，运用特殊到一般思想，进一步培养合情推理。2、体验赋值法在数学中的作用，展开式与杨辉三角相互补充，交相辉映。3、通过分组讨论、自主探究、合作交流，提高学生合作意识。4、由浅入深，方法迁移。（四）反馈升华，跨越联想。1、 能求出(a+b+c)2和(a+b+c)3的值么？画出方案。（借助立体杨辉三角模型演示，把二维平面空间推广到三维立体空间，给学生思维上的拓展）2、 利用赋值法直接写出25-524+1023-1022+52-13、 已知，求值。图9.111111133111133336BCAD 4、小明从家里到学校，（只能从西到东，从南到北走）问有几条路可以走？5、请观察1、1、2、3、5、8、13、21、这列数与杨辉三角有直接的关联么？【设计意图】1、通过学生归纳二项式系数规律与杨辉三角的关联，引导学生验证猜想结论是否正确。2、为了突破用赋值法探究问题的难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析探究问题，将学生思维推向高潮，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受数学知识的串联和呼应。3、用斐波那契数列说明杨辉三角固然神奇，但不是万能钥匙；知识是死的，人是活的，不要拘泥于杨辉三角，不要被所学的知识束缚。（五）悬念小结，深度求索。1、通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？n 穿越。知识学问是跨越地域穿越时空的金钥匙。n 联想和创造力是我们学习的高层次目标。天才是99%的努力加1%的灵感。但是99%的努力的价值有时相当于1%的灵感的价值。n 尊重权威但不盲从权威。知识是死的，人是活的；改变世界！活出真我！2、作业布置（研究性学习）活动主题：杨辉三角中的奥妙.活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告.【设计意图】通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中的数学思想方法。“杨辉三角”还有很多有趣的规律，让学生带着问题走进课堂，带着疑问离开教室，培养学生自主研修的习惯，提高学生探究问题、解决问题的能力。设计研究性学习活动，激发学生创造性的想象和推理，同时教会学生如何开展研究性学习。本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究