第五章 第二节

第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列4与等差数列各项的和有关的性质(1)若an是等差数列，则也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的.(2)若an是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2n，则S偶S奇nd，.若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.(4)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()答案：(1)(2)(3)(4)2在等差数列中，若a24，a42，则a6()A1B0C1 D6解析：选B为等差数列，2a4a2a6，a62a4a22240.3(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3C3 D8解析：选A设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，则d2，所以an前6项的和S661(2)24.4已知数列是等差数列，且a11，a44，则a10()A BC. D.解析：选A设等差数列的公差为d，由题意可知，3d，解得d，所以9d，所以a10.5已知等差数列an的公差d0，且a3a9a10a8，若an0，则n_.解析：因为a3a9a10a8，所以a12da18da19d(a17d)，解得a14d，所以an4d(n1)d(n5)d，令(n5)d0(d0)，可解得n5.答案：56在等差数列an中，an0，a7a44，Sn为数列an的前n项和，则S19_.解析：设等差数列an的公差为d，由a7a44，得a16d(a13d)4，即a19d8，所以a108，因此S1919a10198152.答案：152考什么怎么考等差数列的基本运算是高考中的常考内容，多出现在选择题、填空题和解答题的第(1)问中，属于基础题.1若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7()A12B13C14 D15解析：选B设等差数列an的公差为d，由S5，得25，解得a47，所以732d，解得d2，所以a7a43d73213.2(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2C4 D8解析：选C设等差数列an的公差为d，则由得即解得d4.3(2018福州质检)设等差数列an的公差d0，且a2d，若ak是a6与ak6的等比中项，则k()A5 B6C9 D11解析：选C因为ak是a6与ak6的等比中项，所以aa6ak6.又等差数列an的公差d0，且a2d，所以a2(k2)d2(a24d)a2(k4)d，所以(k3)23(k3)，解得k9，或k0(舍去)，故选C.4设Sn为等差数列an的前n项和，若a128，S99，则S16_.解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.答案：72怎样快解准解1等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题易错提醒在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷2等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式Snna1d；若已知通项公式，则使用公式Sn，同时注意与性质“a1ana2an1a3an2”的结合使用等差数列的判定与证明是高考中常见题型，其基本方法是等差数列的定义，即证明an1an是一个与n无关的常数，既有选择题、填空题也有解答题，但以解答题为主，难度不大.典题领悟(2018贵州适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式思维路径(1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n1,2可解得(2)证明是等差数列，其关键应推出为常数，对所给条件进行必要的变形即可解：(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)证明：由已知nan1(n1)an2n22n，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.解题师说等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n2)，anan1(n2，nN*)为同一常数an是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an1anan2(n3，nN*)成立an是等差数列通项公式法anpnq(p，q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证SnAn2Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列注意用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解比如，对于满足anan11(n3)的数列an而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a2a1是否等于1.冲关演练1(2018陕西质检)已知数列an的前n项和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，则S7等于()A13B49C35 D63解析：选B由Snan2bn(a，bR)可知数列an是等差数列，所以S749.2已知数列an中，a12，an2(n2，nN*)，设bn(nN*)求证：数列bn是等差数列证明：an2(n2)，an12.bn1bn1，bn是首项为b11，公差为1的等差数列等差数列的性质在高考中也是常考内容.灵活应用由定义推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的.常以选择题、填空题的形式出现.,公差不为零的等差数列，其前n项和的最值在高考中时常出现，题型既有选择题、填空题也有解答题，难度不大.典题领悟1在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15BS16CS15或S16 DS17解析：选Aa129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时，Sn取得最大值2(2018石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，且f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为 ()A200 B100C50 D0学审题由函数的对称性及单调性知f(x)在(，1)上也单调；结合函数的性质知a50a512.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)在(1，)上单调，所以f(x)在(，1)上也单调，且数列an是公差不为0的等差数列又f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100.解题师说1应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果an为等差数列，mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)因此，若出现amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am(amnamn)转化为求amn，amn或amnamn的值(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，mN*)等2求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.3理清等差数列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为Snna1d可变形为Snn2n，令A，Ba1，则SnAn2Bn.当A0，即d0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数yAx2Bx的图象上，即为抛物线yAx2Bx上一群孤立的点利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题冲关演练1(2018岳阳模拟)在等差数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8()A95 B100C135 D80解析：选B由等差数列的性质可知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8构成新的等差数列，于是a7a8(a1a2)(41)(a3a4)(a1a2)40320100.2设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A6 B7C12 D13解析：选C因为a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.3设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn324(n6)，则数列an的项数为_解析：由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又Sn324，18n324，n18.答案：18(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1(2018兰州诊断考试)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，a8a1028，则S9()A36B72C144 D288解析：选B法一：a8a102a116d28，a12，d，S99272.法二：a8a102a928，a914，S972.2(2018安徽两校阶段性测试)若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是()A20 B36C24 D72解析：选C由a2S34及a3S512，得解得a4S78a124d24.3(2018西安质检)已知数列an满足a115，且3an13an2.若akak10，则正整数k()A21 B22C23 D24解析：选C由3an13an2an1anan是等差数列，则ann.akak10，0，k0，a4a70，则Sn0B若Sn0，则an0C若an0，则Sn是单调递增数列D若Sn是单调递增数列，则an0解析：选D由等差数列的性质可得：nN*，an0，则Sn0，反之也成立an0，d0，则Sn是单调递增数列因此A、B、C正确对于D，Sn是单调递增数列，则d0，而an0不一定成立4在等差数列an中，a17，公差为d，前 n项和为Sn ，当且仅当n8 时Sn 取得最大值，则d 的取值范围为_解析：由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d0)，则解得或(舍去)，an12(n1)2n1，Snn2，nN*.(2)由(1)知，bn1bn，bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)(n2)，bn.当n1时，b11也符合上式，bn(nN*)C级重难题目自主选做已知数列an满足，an1an4n3(nN*)(1)若数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项和Sn.解：(1)法一：数列an是等差数列，ana1(n1)d，an1a1nd.由an1an4n3，得a1nda1(n1)d4n3，2dn(2a1d)4n3，即2d4,2a1d3，解得d2，a1.法二：在等差数列an中，由an1an4n3，得an2an14(n1)34n1，2dan2an4n1(4n3)4，d2.又a1a22a1d2a121，a1.(2)由题意知，当n为奇数时，Sna1a2a3ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)2424(n1)3.当n为偶数时，Sna1a2a3an(a1a2)(a3a4)(an1an)19(4n7).综上，Sn(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1(2018兰州诊断考试)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，a8a1028，则S9()A36B72C144 D288解析：选B法一：a8a102a116d28，a12，d，S99272.法二：a8a102a928，a914，S972.2(2018湖南五市十校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan3，a4a523，则S8()A72 B88C92 D98解析：选C法一：由Sn1Snan3，得an1an3，故数列an是公差为3的等差数列，又a4a5232a17d2a121，a11，S88a1d92.法二：由Sn1Snan3，得an1an3，故数列an是公差为3的等差数列，S892.3(2018东北四市高考模拟)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A9 B15C18 D30解析：选C由an1an2可得数列an是等差数列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.4.(2018安徽江南十校模拟)九章算术是我国古代的数学名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，E所得为()A.钱 B.钱C.钱 D.钱解析：选A由题意，设A所得为a4d，B所得为a3d，C所得为a2d，D所得为ad，E所得为a，则解得a，故E所得为钱5(2018云南11校跨区调研)在数列an中，a13，an1，则a4()A. B1C. D.解析：选A依题意得，故数列是以为首项、为公差的等差数列，则，an，a4.6(2016北京高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.解析：a3a52a4，a40.a16，a4a13d，d2.S66a1d66306.答案：67在等差数列an中，公差d，前100项的和S10045，则a1a3a5a99_.解析：因为S100(a1a100)45，所以a1a100，a1a99a1a100d，则a1a3a5a99(a1a99)10.答案：108.(2018广东深圳中学月考)已知数列an为等差数列，a37，a1a710，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n_.解析：设等差数列an的公差为d，由题意得故da4a32，ana3(n3)d72(n3)132n.令an0，得n0，当n1时，2a1aa1，解得a11.当n2时，有2Sn1aan1，所以2an2Sn2Sn1aaanan1，所以aaanan1，即(anan1)(anan1)anan1，因为anan10，所以anan11(n2)故数列an是首项为1，公差为1的等差数列(2)由(1)可知ann，设cnanbn，则cnn(n5)n25n2，因为nN*，当n2或n3时，anbn的最大项的值为6.B级拔高题目稳做准做1.设an是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()AdS5D当n6或n7时Sn取得最大值解析：选C由S5S6，得a1a2a3a4a50.同理由S7S8，得a80.又S6S7，a1a2a6a1a2a6a7，a70，B正确；da7a6S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，知C选项错误；S5S8，结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确选C.2.若数列an满足1，且a15，则数列an的前200项中，能被5整除的项数为()A90 B80C60 D40解析：选B数列an满足1，即1，又1，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，n，an2n23n，列表如下：项12345678910an的个位数5474509290每10项中有4项能被5整除，数列an的前200项中，能被5整除的项数为80，故选B.3.设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m_.解析：因为等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，数列的公差d1，amam1Sm