2009年高考数学二轮复习专题讲座4——三角函数(修改).doc

南京市2009届高三数学教师寒假培训资料三角函数二轮复习一、考试要求与2008年的考纲比较，考点与能级要求基本没有变化内容要求ABC1基本初等函数(三角函数)、三角恒等变换三角函数的有关概念同角三角函数的基本关系式正弦、余弦的诱导公式正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数的图象和性质两角和(差)的正弦、余弦和正切二倍角的正弦、余弦和正切积化和差、和差化积、半角公式2解三角形正弦定理、余弦定理及其应用二、命题走向近几年高考以基础知识、基本方法为主，降低了对三角恒等变形的考查要求，难度较小，位置靠前，重点突出三、考试要求1理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式3了解周期函数与最小正周期的意义了解奇函数、偶函数的意义4掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式5能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明6了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画形如yAsin(x)(A0，0，02)的函数的简图，理解A，的物理意义7掌握正弦定理、余弦定理，并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题四、复习目标：1清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性2会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期3会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性，解决一些问题4会用三角恒等变换公式化简三角函数式(1)三角函数同角关系，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”(2)三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限(3)三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”(4)角的变形主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换(5)会求：sin15，cos15，sin75，cos75的值(6)三角式变形主要有：三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化)解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函数、看特征”，基本的技巧有：角的线性组合，公式变形使用，化切为弦，用倍角公式将高次降次注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征“正余弦三个量sinxcosx，sinxcosx的内在联系”5清楚三角形中的三角函数(1)内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方(2)正弦定理：2R(R为三角形外接圆的半径)注意：已知三角形两边及一角，若运用正弦定理解三角形，可能有两解(3)余弦定理：a2b2c22bccosA，cosA1等，常选用余弦定理判定三角形的形状(4)面积公式：SahaabsinC五、高考考点分析高考中三角部分所占分值在20分左右，主要以填空题和解答题的形式出现主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用如辅助角公式、切化弦等第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题如分段函数值，求复合函数值域等六、基本题型与策略：基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主例1 计算：tan2010_说明：利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30，或直接利用正切函数的周期性化为tan30例2 若cos0，且sin20，则角的终边所在象限是_象限说明：利用正弦的倍角公式化为cos0，sin0例3 设asin，bcos，ctan，则a，b，c的大小关系是_说明：利用诱导公式化为asin，bcos，ctan 例4 (1)函数f(x)sin(x)1的最小正周期为_；(2)若函数f(x)cos(wx)(w0)的最小正周期为，则w_说明：直接利用周期公式课本只给出了函数yAsin(x)(A0，w0，02)的周期公式例5 函数f(x)sin(2x)1在区间0，上的单调增区间为_；说明：将2x看作一个变量t，求出t的范围，结合t2x是x单调增函数，求ysint的单调增区间与t的值域的交集基本策略：(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变，符号看象限”；判定一个角的位置，要用这个角的两个三角函数值的符号来判定；(3)比较几个三角函数值的大小，常常化为锐角的同名三角函数值比较大小，或化为同一个锐角的三角函数值比较大小，找一个中间量，如的三角函数值；(4)利用周期公式求函数的最小正周期时，要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期；(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，求值、研究性质例6 计算：tan70ocos10osin10otan70o2cos40o_说明：提取tan70o，利用辅助角公式例7 若sin()，则cos(2)_说明：设，则，从而22利用倍角公式例8 函数f(x)sin(x)1的奇偶性为_；说明：f(x)cosx1基本策略：(1)切化弦，和差公式的逆应用；(2)已知组合角的三角函数值，求另一个组合角的三角函数值，常常用对用已知值的角线性表示未知值的角；(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别，一般先化简，再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质例9 (1)已知tan()2，求的值(2)已知tan()()求tan的值；()求的值说明：(1)由tan()2，求出tan，从而cos3sin又cos2sin21，得sin2，从而2sincoscos26sin29sin215sin2例10 已知6sin2sincos2cos20，求sin(2)的值说明：cos2sin或cossin因为，所以sin0，cos0，所以cos2sin又cos2sin21，得sin2，从而sin(2)sin2cos2sincos(12sin2)sin2例11 函数f(x)sin2(x)sin2(x)的最小正周期是_，奇偶性是_说明：f(x)sin2(x)sin2(x)cos2(x)sin2(x)cos2(x)cos2x例12 求函数ysin4x2sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间说明：先化简，ysin4xcos4x2sinxcosx(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sinxcosxsin2xcos2x2sin(2x)，在分别求最小正周期、最小值以及在0，上的单调递增区间基本策略：(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系，是“明线”，而“弦”的平方关系是“暗线”，利用这两个关系，可以求出单角“弦”的平方，从而求出倍角的“弦”；(2)利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式yAsin(x)k(w0，02)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法其中，对于函数f(x)sin(x)(w0，02)的单调性，要用整体化的观点，将x看作是一个角的大小，结合ysinx的单调区间和x关于x的单调性进行判断基本题型四：三角函数的图像变换与解析式例13 把函数ysinx，xR的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是_说明：sinxsin(x)sin(x)例14 将函数ysin(2x)的图象按向量a(m，0)(其中|m|)平移后所得的图象关于点(，0)中心对称，则m_说明：ysin(2x)ysin2(xm)sin(2x2m)令2()2mk，kZ，得m(k)，kZ由于|m|，所以k0，从而m方法二：函数ysin(2x)的周期是，图象的一个对称中心为(，0)，从而m1yxO例15 若函数f(x)sin(x)(w0，02)的图象(部分)如图所示，则_，_说明：方法一 由图知T4()2，所以1，从而2k，kZ，解得2k，kZ因为02，所以方法二 由图知T4()2，所以1，所以f(x)的图像可以看作是sinx的图像向右移了个单位，即向左移了个单位，因为02，所以基本策略：根据函数的图像先确定振幅A，再确定周期T利用周期求出角速度，最后利用峰(谷)点的坐标求出的值一般不用平衡点(零点)来确定三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f(x)的形式，再分别按照f(x)f(xa)，f(x)f(x)，f(x)f(x)k，f(x)Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用例16 (1)在ABC中，“A30”是“sinA”的_条件(2)在ABC中，已知BC12，A60o，B45o，则AC_说明：(1)必要不充分条件；(2)利用正弦定理，先求出AC，再利用正弦定理或余弦定理求出例17 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosBbcosAc()求tanAcotB的值；()求tan(AB)的最大值说明：利用正弦定理转化为三角函数的等式AODBC例18 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）AODBCHAODBC说明 例19 (07海南宁夏)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得CDs，BCD，CDB，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB说明 先在BCD中求出BC，再在ABC中求出AB基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件基本题型六：三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用例20 已知向量a(cosx，sinx)，b(cosx，sinx)，且x0，()求ab及|ab|；()若f(l)ab2|ab|的最小值是，求的值说明 ()abcosxcosxsinxsinxcos2x，x0，因为ab(cosxcosx，sinxsinx)，所以|ab|2|cosx|2cosx，x0，()f(l)ab2|ab|cos2x4cosx2cos2x4cosx12(cosx)2221因为x0，所以cosx0，1，以下分类讨论基本策略：先根据向量的运算建立目标函数，转化为三角函数式，或基本初等函数对三角函数的复合函数，综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题基本题型七：三角函数性质的一般化例21 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0，6)内解的个数的最小值是_说明 因为f(2)0 f(23)0 f(1)0，所以f(x)0在区间(0，3)内至少有2个解，在区间(0，6)内至少有4个解例22 已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0，6)内解的个数的最小值是_说明 由f(2)0 f(5)0由f(x)是奇函数f(0)0f(3)f(0)0，又f(4)f(1)f(13)f(2)f(2)0，f(1.5)f(1.53)f(1.5)f(1.5)，所以 f(1.5)0，f(4.5)f(1.5)0，综上，1，2，3，4，5，1.5，4.5都是f(x)0的解基本策略：以三角函数为模型，抽象出：如果一个定义在R上的函数f(x)满足f(ax)f(ax)，且f(bx)f(bx)，其中ab，那么这个函数一定是周期函数七、复习重点：1三角公式：诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式2三角函数的图象和性质：对称性、单调性、周期性和图象的变换3解三角形：以三角形为载体，求三角函数的值，求三角形的内角或边，综合运用三角、平面向量、数列及函数、导数等知识八、二轮复习建议在复习过程中，应注重1三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性2三角知识的操作性，落实化简、求值、解三角形等重点内容的程式化操作3三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系4三角知识的形象性，体现数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性