13.4 最短路径问题.doc

13.4 课题学习最短路径问题教学设计教学时间2016.11.3授课班级初二（2）班授课人席国英课题13.4 课题学习 最短路径问题课时第一课时课型新课教学内容解析内容利用轴对称研究某些最短路径问题内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题中的最短路径问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题.基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学目标解析目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.目标解析目标的具体要求是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象成数学中的“点”“线”，把实际问题中的最短路径问题抽象成数学中的线段和最小问题；能利用轴对称将直线上的点与同侧两点所连线段和最小问题转化成直线上的点与异侧两点所连线段和最小问题，即“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理说明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.学生学情分析 最短路径问题本质上就是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚不足，特别是面对具有实际问题背景的最值问题，更会感到陌生. 解答“当点A,B在直线l的同侧时，如何在l上找C,使得AC与CB的和最小”需要将其转化为“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.在说明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），说明所连线段和大于所求线段和，这里可以利用“三角形任意两边和大于第三边”来说明，也可以直观展示给学生.这种思路和方法，一些学生想不到.教学过程中，首先让学生思考“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”为学生搭建“脚手架”.在说明“最短”时，适当点拨学生，学生要体会到“任意”的作用. 因此，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，如何说明“最短”教学重点难点教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.教学难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的方法:利用轴对称性质,作任意已知点的对称点,连接对称点和已知点,得到一条线段,利用两点之间线段最短来解决.教学准备多媒体课件 教学方法自主学习，合作探究课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图一、创设情景 引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”. （板书）课题 问题情境：学生思考,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究 合作交流 建构新知1、建构数学模型问题1 :点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找点一个点C，使得AC +CB最小？ .A .B2、将实际问题抽象为数学问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？提问1：你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 活动:思考画图，将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.提问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为 数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”3、尝试解决数学问题 问题2：如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 提问:如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？师生活动:学生独立思考,画图分析,小组交流,互相补充作法:(1)作点B 关于直线l的对称点B; (2)连接AB,与直线 l相交于点C,则点C 即为所求. .B .A C B思考：还有别的作法吗？说明:“最短” 提问：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 证明:如图,在直线 l上任取一点C(与点C 不重合),连接AC,BC,BC.由轴对称的性质知, BC =BC,BC=BC.AC +BC= AC +BC = AB,AC+BC= AC+BC.在ACB中,AC+BCAB,当只有在C点位置时,AC+BC最短.活动：学生思考，教师动画演示，学生观察.师生共同分析由三角 形任意两边之和大于第三边说明.同时体会“任取一点”的作用.3、 方法提炼 提问：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什 么解决问题的？ 1、将实际问题抽象为数学问题 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 2、利用轴对称的性质将点在直线同侧转化为点在直线两侧 3、应用“两点之间线段最短”这个事实解决问题 活动：教师引导，学生回答并互相补充三、课堂练习1、如图，在正方形ABCD 中，点E是CD的中点，在 AC上作出点N，使得DNEN 最小？ 2、如图，在等边ABC中，BD 是中线，F是BC的中点，试在BD上作 出点E，使得EF+CE的值最小 3、如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径 从生活中问题和问题情景出发，引入课题，激发学生学习兴趣和探究欲望.通过解决直线异侧两点的数学问题，为学生下面探究问题搭建台阶。 让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.学生进一步体会到作法的正确性，提高逻辑思维. 学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验. 通过练习让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.课堂 小 结1、知识点：1）两点之间，线段最短2）垂直平分线上的点到两端的的距离相等2、思想方法：转化思想 1）将实际问题抽象为数学问题， 将路程最短问题抽象为线段和最小问题 2）应用轴对称性质将直线同侧两点转化为异侧两点问题引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值作业设计1、如图，在等腰直角ABC中， 点D是斜边AB的中点，在AC上作出点E，使得DEB周长最小？ 2.已知如图