高等数学常量与变量教学课件PPT.ppt

1 1 2 1常量与变量 在某过程中始终保持一个数值的量称为常量 注意 常量与变量是相对 过程 而言的 通常用字母a b c等表示常量 而不断改变数值的量称为变量 常量与变量的表示方法 用字母x y t等表示变量 2 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素 定义域与对应法则 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 3 定义 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数 否则叫多值函数 4 例1求y arcsin的定义域和值域 解 函数的定义域为 得定义域为x 0且 解 5 例3设f x 的定义域 0 1 求 1 f x a f x a a 0 的定义域 2 f lnx 的定义域 解 1 则 若a 1 2 定义域为空集 若a 1 2 定义域为 a 1 a 2 0 lnx 1 1 x e为定义域 x应取在a x 1 a 而a 1 a 6 1 符号函数 几个特殊的函数举例 7 2 取整函数y x x 表示不超过的最大整数 阶梯曲线 8 3 狄利克雷函数 9 4 取最值函数 10 11 o 1 函数的有界性 例y sin2x y cosx在 上均为有界函数 y x y x2在 上无界 1 2 3函数的特性 12 2 函数的单调性 例 y x y ex在 内单调增加 13 14 3 函数的奇偶性 偶函数 15 奇函数 16 例1判断函数的奇偶性 解 f x 是奇函数 例2设f x 在r上定义 证明f x 可分解为一个奇函数与一个偶函数的和 证明 设 显然g x 是偶函数 h x 是奇函数 而 故命题的证 17 4 函数的周期性 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 在 无穷 多个正周期中若存在一个最小数 此最小数称为最小正周期 18 一个周期函数有无穷多个周期 如y sinx 2 4 均为周期 一般函数的周期均指最小正周期 但并非所有周期函数都存在最小正周期 如 f x c 例设c0 x f x c f x 证明f x 为周期函数 证明 f x 2c f x c c f x c f x f x 为周期为2c的函数 事实上 对任何y 都有f x y f x 注意 19 直接函数与反函数的图形关于直线对称 习惯上 反函数x y 写成y x 1 2 4反函数 20 例1 例2证明若函数y f x 是奇函数且存在反函数x f 1 y 则反函数也是奇函数 证明 的反函数是 反函数是奇函数 21 例3 解 单值函数 有界函数 偶函数 周期函数 无最小正周期 不是单调函数 22 思考 23 思考题解答 设 则 故 24 1 2 5复合函数初等函数 1 复合函数 定义 设函数y f u 的定义域为df 函数u x 的值域为w u u x x d df 则称函数y f x 为x的复合函数 代入法 25 注 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 26 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 27 例1 解 28 综上所述 29 1 2 6基本初等函数 1 幂函数 30 2 指数函数 31 3 对数函数 32 4 三角函数 正弦函数 33 余弦函数 34 正切函数 35 余切函数 36 正割函数 37 余割函数 38 5 反三角函数 39 40 41 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 42 双曲函数与反双曲函数 奇函数 偶函数 1 双曲函数 43 奇函数 有界函数 44 双曲函数常用公式 45 2 反双曲函数 奇函数 46 47 奇函数 48 小结 函数的分类 函数 初等函数