三角函数恒等变换教案(1).doc

三角函数恒等变换教案(1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点 1.教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： cos?cos?cos?sin?sin?；cos?cos?cos?sin?sin? 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. ?sin?cos?cos?cos?cos?sin?sin? ?2?2?2?2? ?sin?cos?cos?sin? sin?sin?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?sin? 让 学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） tan? sin?sin?cos?cos?sin? ? cos?cos?cos?sin?sin? 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan?注意：? ? 2 ?k?,? tan?tan? 1?tan?tan? ? 2 ?k?,? ? 2 ?k?(k?z) 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？ tan?tan? tan?tan?tan?tan? ? 1?tan?tan?1?tan?tan? ?k?,? 注意：? ? 2 ?k?,? ? 2 ? 2 ?k?(k?z) （二）例题讲解 例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值： 27iss2o4c2s7onc24is（1）、n ? s2oc07so02ni07sis；（2）、0 ? ；（3）、 1n51a?t 1n51a?t 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、 ? ? ? ? ? ? ? 1 ；2 27so07n02iisssoc020709soc0?（2）、0； ? （3）、 151na?tn54at51nat151na?t151n54at ? ?1 5 ?n4a5t51? 0n6at?335 ? cos(?)?，求tan?tan?的值.例2已知cos(?)?， 例3 xx 解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？ 1? x ?x?2cosxx? sin30cosx?cos30sinx?30?x? 思考：?正、余弦分别等于和 1 2 的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.作业： 32?1? 1、已知tan?,tan?求的值（）?,tan? 5 ? 4? 4 ? 4? 22 2、已知0? 值 ? 4 ? 3?3?3?5 求sin?的,cos?,sin?， 4?4?5?4?13 二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， sin?sin?cos?cos?sin?； cos?cos?cos?sin?sin?； tan? tan?tan? 1?tan?tan? 我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中?看成?即可），（二）公式推导： sin2?sin?sin?cos?cos?sin?2sin?cos?； cos2?cos?cos?cos?sin?sin?cos2?sin2?； 思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2?cos2?sin2?1?sin2?sin2?1?2sin2?； cos2?cos2?sin2?cos2?(1?cos2?)?2cos2?1 tan2?tan? tan?tan?2tan? ? 1?tan?tan?1?tan2? 注意：2? ? 2 ?k?,? ? 2 ?k?k?z? （三）例题讲解例4、已知sin2? ? ? 4 2 5? ,?,求sin4?,cos4?,tan4?的值1342 解：由?,得?2? 2 512 ?又因为sin2? ?,cos2?1313? 于是sin4?2sin2?cos2?2? 5?12?120 ；? 13?13?169 2 120 sin4?120?5?119 ；tan4?cos4?1?2sin22?1?2? cos4?119?13?169 169 ? 例5、已知tan2?,求tan?的值解：tan2? 2tan?12 ?tan?6tan?1?0 ，由此得2 1?tan?3 13 解得tan?2 tan?2 （四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2 2 2 ? 2 ?1和cos?1?2sin2 解：我们可以通过二倍角cos?2cos2因为cos?1?2sin2因为cos?2cos2 ? 2 ? 2 ? 2 来做此题 ? 2 ，可以得到sin2 ? 2 ? 1?cos? ；21?cos? 2 ? 2 ?1，可以得到cos2 ? 2 ? 又因为tan2 ? ?1?cos?1?cos?cos2 2 sin2 ? 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点例7、求证： sin?sin?（）、sin?cos?；?2 1 （）、sin?sin?2sin ? 2 cos ? 2 证明：（）因为sin?和sin?是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手 sin?sin?cos?cos?sin?；sin?sin?cos?cos?sin? 两式相加得2sin?cos?sin?sin?； sin?sin?即sin?cos?；?2 1 （）由（）得sin?sin?2sin?cos?；设?,?， 那么? ? 2 ,? ? 2 ? 2cos 把?,?的值代入式中得sin?sin?2sin ? 2 思考：在例证明中用到哪些数学思想？ 证明中用到换元思想，（）式是积化和差的形式，（）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式例8 、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值 解：y?sinx x这种形式我们在前面见过， ?1?y?sinx?x?2?sinxx?2sinx?，?2?3? 所以，所求的周期T? 2? ? ?2?，最大值为，最小值为?2 点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 y?Asin?x?的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式 中的作用 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用总结：1 公式的变形 （1）升幂公式：1cos22cos21cos22sin2 （3）正切公式变形：tan+tantan(+)（1tantan）tantantan()（1tantan)（4）万能公式（用tan表示其他三角函数值） 2 插入辅助角公式 3 熟悉形式的变形（如何变形） 1sinxcosx1sinx1cosxtanxcotx1tan1 tan 1tan1tan 若A、B是锐角，A+B，则（1tanA）(1+tanB)=2 4 4在三角形中的结论（如何证明）A+B+C 若：ABC= 22tanAtanBtanC=tanAtanBtanCABBCCA tantantantantan1222222 9求值问题 （1）已知角求值题如：sin555（2）已知值求值问题常用拼角、凑角 335 如：1）已知若cos()，) 454133 又 34 2）已知sin+sin=,cos+cos=,求cos()的值。 55（3）已知值求角问题 必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。11 如：已知tan=,tan=,且都是锐角，求证：2 7341.（xx全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100? 2.已知0?x? ? 2 ，化简： x? lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)?lg(1?sin2x). 22 解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?03.（xx天津文）（17）（本小题满分12分） 在?ABC中， ACcosB ?。ABcosC （）证明B=C： 1? （）若cosA=-，求sin?4B?的值。 3 ? 3? 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分. （）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得 sinBcosB =.于是sinCcosC sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为?B?C?，从而B-C=0.所以B=C. （）解：由A+B+C=?和（）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=. 又0 =从而 sin4B=2sin2Bcos2B= ? ? .3 13 7，cos4B=cos22B?sin22B?. 99 所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin 3 3 ? 3 ? 4.（xx湖北理）16（本小题满分12分）已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x? 3 3 ? 1 214 （）求函数f(x)的最小正周期； （）求函数h（x）=f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 5.（xx江苏，15）设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)（1）若a与b?2c垂直，求tan(?)的值；（2）求|b?c|的最大值; （3）若tan?tan?16，求证：ab. 分析本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能 力 。 6.（xx安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1,sinB=.（I）求sinA的值； (II)设 ?ABC的面积. 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运 1 3 算求解能力。 ?B，（）由C?A?，且C?A?A?， sniAsni?(11sin2A?(1?sinB)?，又sinA? 0，sinA? 233 ? 2?4B2?BB(cos)422 C B2 ， ACBC ?（）如图，由正弦定理得 sinBsinA AB BC? ACsinA ? sinB 3 ?sinC?sin(A?B)?sinAcosB? cosAsinB ? 1 ? 33333 1 2 12 ?3 S?ABC?AC?BC?sinC?7.（xx湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos?2sin?),b?(1,2).（）若a/b，求tan?的值；（）若|a|?|b|,0?,求?的值。解：（）因为a/b，所以2sin?cos?2sin?,于是4sin?cos?，故tan?. （）由|a|?|b|知，sin2?(cos?2sin?)2?5,所以1?2sin2?4sin2?5. 从而?2sin2?2(1?cos2?)?4，即sin2?cos2?1， 于是sin(2?)?4 1 4 ? ?9?又由0?知，?2?， 4445?7? ，或2?.4444 3? 因此?，或?. 42 所以2? ? ? 8.（xx天津卷理）在ABC中， AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值： ? (II)求sin?2A?的值 ? 4? 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。 （）解：在ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2 sinA 5 ABBC ? sinCsinA AB2?AC2?BD225 ? 2AB?AC5 （）解：在ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是sinA=从而 ?cos2A? 5 sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3 55 4 4 4 所以sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?= ? 2 10 ? ? 9.（xx安徽）已知0?，?为f(x)?cos?2x?的最小正周期， ? 2cos2?