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高等数学竞赛试题2答案一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？（ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 2. 设 ， 则是间断点的函数是（ B ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 （ C ）(A) 1； (B) ； (C) ； (D) .4. 设连续，当时，与为等价无穷小，令，, 则当时，的 （ D ）(A) 高阶无穷小；(B) 低阶无穷小；(C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.5. 设在点的某邻域内连续，且满足 则在点处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.6. 设在连续，且导函数的图形如图所示，则有 （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设有连续的一阶导数，则 （ B ）(A) ；(B) ； (C) ； (D) 0 .8. 设任意项级数 条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为，则与（ B ） (A) 两者都收敛； (B) 两者都发散；(C)一个收敛一个发散；(D) 以上三种情况都可能发生.二、设在区间连续，, 试解答下列问题：（1）用表示；（2）求；（3）求证：；（4）设在内的最大值和最小值分别是,求证：. 解（1）（2）（3）（4）三、求曲线 所围成的平面图形的面积.解1去掉绝对值曲线为：解2令.四、设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 解1S的方程为补两平面 ；解2五、设幂级数 , 当时，且;（1）求幂级数的和函数；（2）求和函数的极值.解（1）令，求得（2）由.六、设函数可微，, 且满足 求 . 解 ，对y积分得代入，七、如图所示，设河宽为，一条船从岸边一点出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ，河流中水的流速为常数 ，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2
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