有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵PPT幻灯片课件

第三章单元类型及单元刚度矩阵 一 形状函数类型及其特征1 Langrange型形状函数2 Hermite型形状函数二 一维单元及其单元刚度阵1 杆单元2 三次梁单元三 二维单元及其单元刚度阵1 三角形单元2 矩形单元四 三维单元及其单元刚度阵1 六面体单元2 四面体单元3 曲线等参元 1 第三章单元类型及单元刚度矩阵 有限元法的基本原理是将结构划分成单元 在单元内用较简单的函数描述单元位移 即 这是对单元位移u x 的近似 在前面两章的介绍中 我们讲过 是用单元的节点位移来描述单元内点位移 这里所用的变量qi 是节点位移的一种推广 即一组广义坐标 或称广义节点位移 包括节点位移和节点位移导数 Ni为形状函数 根据单元广义节点位移的不同 形状函数分两类 Langrange和Hermite型 2 1 Langrange型形状函数 这时节点广义位移为节点位移 不含节点位移导数 它与单元的几何形状 单元节点分布和节点数有关 所以 该类形状函数在单元几何形状 节点分布和节点数一定时也随之确定 2 Hermite型形状函数 其节点广义位移包含节点位移和节点位移导数 一 形状函数类型及其特征 3 在第二章中 曾经讨论过单元内点位移函数假设适应满足的4项原则 包含单元的刚体位移 包含单元的常应变状态 保证不偏惠各坐标轴 保证单元内位移连续 体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性 一 形状函数类型及其特征 4 要保证位移函数的几何不变性 位移函数多项式的各项应根据帕斯卡三角形来选择 二维单元的帕斯卡三角形 一 形状函数类型及其特征 5 三维的帕斯卡三角形 一 形状函数类型及其特征 6 形状函数应该满足以下条件 1 2 3 保证所定义位移函数在相邻单元之间的连续 4 保证所定义位移函数反映常应变状态 一 形状函数类型及其特征 工程实际中有一种结构 特征为 存在一个长维 但相对而言又不像平面应变那样 长短比略小 且载荷可以为任意 比较典型的是井架 塔架等框架结构 这类结构可用有限元中的一维单元来离散 根据问题的不同 一维单元又可分为杆单元和梁单元 7 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元杆单元受轴向力 在单元端点处无弯矩和扭矩作用 将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆 根据单元形状函数的阶次 又可分为一次杆单元和二次杆单元 一次杆单元单元有两个节点 如图所示 编号为i j 采用局部坐标 记 并取i为x坐标的原点 则有 8 根据形状函数的定义 我们知道 形状函数是描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系 对于上述问题 已知节点位移为ui uj 而要求节点间任一内点的位移 显然可以根据线性插值来计算 二点一次拉氏插值 即 1 杆单元 一次杆单元 二 一维单元及其单元刚度阵 9 代入 有 令 得 所以单元内点位移为 单元应变 1 杆单元 一次杆单元 二 一维单元及其单元刚度阵 10 所以 几何矩阵为 单元应力为 弹性矩阵 单元刚度矩阵通式为 二 一维单元及其单元刚度阵 代入 得 这是一次杆单元的单刚阵 它对称 对角线元素大于零且奇异 1 杆单元 一次杆单元 11 当上述单元用于描述仅受扭转变形的杆件时 其单刚阵类似于一次杆单元的单刚阵 为 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 一次杆单元 12 二次杆单元单元有三个节点 如图所示 端点编号为i j 三个节点依次为1 3 2 单元位移可以根据抛物线插值 亦称三点两次拉氏插值 获得 即 同样令 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 13 令 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 二次杆单元 14 所以单元内点位移为 单元应变 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 二次杆单元 几何矩阵为 15 单元应力为 单元刚度矩阵 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 二次杆单元 元素的计算 可以直接应用 16 元素的计算 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 二次杆单元 17 元素的计算 二 一维单元及其单元刚度阵 1 杆单元 二次杆单元 其余元素利用对称性可求得 18 2 三次梁单元 梁单元如图所示 仅考虑节点在xoy平面内的位移为v 这时一个单元有四个自由度 形状函数为三次多项式 即使用三次Hermite插值多项式 二 一维单元及其单元刚度阵 19 2 三次梁单元 二 一维单元及其单元刚度阵 Hermite位移插值多项式 20 2 三次梁单元 其中 二 一维单元及其单元刚度阵 21 2 三次梁单元 根据平面梁弯曲变形公式 忽略剪切变形 其中 二 一维单元及其单元刚度阵 22 2 三次梁单元 二 一维单元及其单元刚度阵 同样令 23 2 三次梁单元 单元应力为 单元刚度矩阵 引入 二 一维单元及其单元刚度阵 24 2 三次梁单元 单元刚度矩阵 元素的计算 二 一维单元及其单元刚度阵 25 2 三次梁单元 二 一维单元及其单元刚度阵 元素的计算 26 2 三次梁单元 二 一维单元及其单元刚度阵 元素的计算 27 2 三次梁单元 二 一维单元及其单元刚度阵 元素的计算 其余元素利用对称性可求的 28 二维单元用于分析和解决平面问题和轴对称为题 在第二章中已详细介绍过 而且是在直角坐标中推导的 在下面这一节中 我们将介绍两种平面单元 即三角形单元和四边形单元 包括一次和二次三角形单元以及一次四边形单元 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 三角形单元按其位移的阶数分为一 二 三次单元 一次三角形单元 第二章详细介绍过这种单元 其形状函数是坐标的一次多项式 推导采用直角坐标 对于高次三角形单元 这类坐标不方便 特此引入面积坐标 29 1 三角形单元 一次三角形单元 三 二维单元及其单元刚度阵 面积坐标 如图所示 在三角形单元A1A2A3中 有任意一点P x y 连接PA1 PA2 PA3 得到三个小三角形 PA2A3 PA3A1 PA1A2 记面积比为 称 1 2 3为P点的面积坐标 30 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标 由于 1 2 3 1 因此该三个坐标不独立 其负号的规定为 分子分母对应的三角形顶点编号转向相同时为正 反之为负 由于三角形A1A2A3的顶点编号一般规定为逆时针 因此 子三角形顶点编号为逆时针时面积坐标为正 反之为负 31 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标 三角形中一些特殊点的面积坐标 顶点 边中点 形心 32 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 三角形三个顶点在直角坐标系中的坐标为 xi yi 则 A1A2A3的面积为 类似地三个小三角形的面积依次为 33 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 34 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 其中 35 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 同理 36 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 其中 令 i 1 2 3 i j k按1 2 3轮转 37 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 则 于是有 38 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 对于单元的三个角点 应有 A1点 A2点 39 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 A3点 重写上述三式 40 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 面积坐标与直角坐标的关系 所以有 于是有 41 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 形状函数 根据形状函数的定义 i 1时 对于A1 A2 A3点 i 1 2 3 所以 42 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 形状函数 同理 i 2 3时 对于A1 A2 A3点 所以 43 于是 单元应变 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 位移函数 44 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 其中为几何矩阵 单元应变 45 利用复合函数求偏导数的公式 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 几何矩阵 46 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 可得 平面应力问题的应力为 单元刚度矩阵 几何矩阵 47 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 一次三角形单元 单元刚阵 二次三角形单元 二次三角形单元 如图所示 单元共六个节点 12个自由度 三个角节点 三个边中点 48 三 二维单元及其单刚阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 i 1 2 6 节点面积坐标 49 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 50 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 同样 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 51 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 同样 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 52 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 同样 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 53 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 同样 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 54 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 形状函数 形状函数分量 同样 对于A1 A2 A3 A4 A5 A6点 55 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 位移函数 其中为几何矩阵 单元应变 56 三 二维单元及其单元刚度阵 几何矩阵 1 三角形单元 二次三角形单元 57 三 二维单元及其单元刚度阵 几何矩阵 平面应力问题的应力为 1 三角形单元 二次三角形单元 j k根据i 4 5 6依次按1 2 3轮转 58 三 二维单元及其单元刚度阵 1 三角形单元 二次三角形单元 注意使用积分公式 单元刚度矩阵 59 2 矩形单元 三 二维单元及其单元刚度阵 矩形单元如图所示 共四个节点 每个节点两个自由度 单元共8个节点位移 为计算方便 引入新的变量 令 一次矩形单元 60 2 矩形单元 一次矩形单元 三 二维单元及其单元刚度阵 其中 四个角点新坐标 61 三 二维单元及其单元刚度阵 形状函数 利用形状函数的性质 可得 验证 2 矩形单元 一次矩形单元 62 三 二维单元及其单元刚度阵 位移函数 其中为几何矩阵 单元应变 2 矩形单元 一次矩形单元 63 三 二维单元及其单元刚度阵 其中 几何矩阵 2 矩形单元 一次矩形单元 64 三 二维单元及其单元刚度阵 几何矩阵 2 矩形单元 一次矩形单元 65 三 二维单元及其单元刚度阵 平面应力问题的应力为 单元刚度矩阵 2 矩形单元 一次矩形单元 66 三 二维单元及其单元刚度阵 其中 对于平面应变问题 2 矩形单元 一次矩形单元 67 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 一次矩形单元 68 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 令 69 八个节点新坐标 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 70 形状函数 利用形状函数的性质 可得 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 71 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 位移函数 其中为几何矩阵 单元应变 72 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 几何矩阵 73 平面应力问题的应力为 单元刚度矩阵 三 二维单元及其单元刚度阵 2 矩形单元 二次矩形单元 74 工程中的一切问题都对应着空间三维问题 都可以用三维单元来构成其总体结构 本课程介绍三维单元及其单刚阵 包括六面体 四面体和曲线等参单元 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元如图所示 共8个节点 每个节点的位移参数是u v w 在进行单元分析时 同矩形单元一样 常用局部坐标表示 其原点位于六面体形心 坐标方向同x y z一致 其相互关系为 75 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 令 76 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 形状函数 八个角点新坐标 77 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 位移函数 验证 78 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元应变 其中为几何矩阵 79 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 几何矩阵 80 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 几何矩阵 81 三维问题的应力为 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 弹性矩阵 82 单元刚度矩阵 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 83 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元刚度矩阵 为3x3的块方阵 i j 1 2 8 且 84 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元刚度矩阵 85 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元刚度矩阵 86 四 三维单元及其单元刚度阵 1 六面体单元 单元刚度矩阵 87 四 三维单元及其单元刚度阵 2 四面体单元 工程实际中的结构往往比较复杂 仅用形状规则的单元难于较好的近似结构的几何边界 下面介绍多用于过度单元的4面体4节点三维单元 采用体积坐标 单元内任意一点P的位置由4个比值来确定 88 2 四面体单元 V是四面体的体积 四 三维单元及其单元刚度阵 89 四 三维单元及其单元刚度阵 2 四面体单元 其中 90 四 三维单元及其单元刚度阵 2 四面体单元 其中 91 四 三维单元及其单元刚度阵 2 四面体单元 形状函数 从而可以推的位移函数 单元应变 几何矩阵 弹性矩阵 刚度矩阵 积分中用到 92 四 三维单元及其单元刚度阵 3 曲边等参单元 前面介绍的几种单元几何形状规则 便于进行运算 但难以适应工程实际的需要 工程实际中零部件的外形基本上都比较复杂 曲边等参单元可以解决这个矛盾 这种单元可以用曲边单元划分实际结构 而按直边单元进行计算 中间用坐标变换来转换之 把 x y z 转换成 坐标变换 用平面单元来说明 子单元是任意四边形 母单元是正方形 93 四 三维单元及其单元刚度阵 3 曲边等参单元 坐标变换 94 四 三维单元及其单元刚度阵 3 曲边等参单元 坐