高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4.ppt

第二章平面向量2 1平面向量的实际背景及基本概念 一 向量的概念和表示方法1 向量的两个要素 和 2 向量的表示 1 表示工具 有向线段 有向线段的三个要素 大小 方向 起点 方向 长度 大小 方向 2 表示方法 思考 有向线段就是向量 向量就是有向线段吗 提示 有向线段只是一个几何图形 是向量的直观表示 因此 有向线段与向量是完全不同的两个概念 二 向量的长度 或称模 与特殊向量1 向量的长度定义 向量的 2 向量的长度表示 向量的长度记作 向量a的长度记作 大小 a 3 特殊向量 思考 零向量的方向是什么 两个单位向量的方向相同吗 提示 零向量的方向是任意的 两个单位向量的方向不一定相同 长度为0 长度等于1个单位 三 向量的关系1 相等向量 相等 相同 a b 长度相等 指向一致 2 平行向量 也叫共线向量 相同或相反 a b 任一向量 判断 正确的打 错误的打 1 向量与向量是相等向量 2 与实数类似 对于两个向量a b有 a b a b a b三种关系 3 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线一定平行 提示 1 错误 向量与向量的方向相反不是相等向量 2 错误 向量不能比较大小 3 错误 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线平行或重合 答案 1 2 3 知识点拨 1 向量与数量的联系和区别 2 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量就是相等的向量 2 有向线段是表示向量的工具 它有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不同的有向线段 3 0和0的区别0是向量 既有大小 又有方向 其大小是0 方向是任意的 0是一个数量 只有大小 没有方向 4 对共线向量或平行向量的理解 1 共线向量与平行向量是同一概念的不同名称 其要求是几个非零向量的方向相同或相反 并规定零向量与任意向量平行 表示共线向量的有向线段所在的直线可以平行 也可以重合 所以 共线 平行 的含义不同于平面几何中 共线 平行 的含义 2 共线向量有四种情况 方向相同且模相等 方向相同且模不等 方向相反且模相等 方向相反且模不等 这样 也就找到了共线向量与相等向量的关系 即共线向量不一定是相等向量 而相等向量一定是共线向量 类型一向量的概念及零向量 单位向量 典型例题 1 下列各量中是向量的是 a 时间b 速度c 面积d 长度 2 下列说法中正确的个数是 1 零向量是没有方向的 2 零向量的长度为0 3 零向量的方向是任意的 4 单位向量的模都相等a 0b 1c 2d 33 已知边长为3的等边三角形abc bc边上的中线向量的模是 解题探究 1 向量的定义是什么 2 零向量和单位向量的定义是什么 零向量的方向是怎么规定的 3 等边三角形的每一个内角是多少度 其某条边上的中线与这条边有什么关系 探究提示 1 既有大小又有方向的量是向量 2 长度为0的向量是零向量 长度为1的向量是单位向量 零向量的方向是任意的 3 等边三角形的每一个内角是60 其某条边上的中线与这条边垂直 解析 1 选b 速度是既有大小又有方向的量 是向量 而时间 面积 长度是只有大小的量 是数量 2 选d 由零向量的方向是任意的 知 1 错误 3 正确 由零向量的定义知 2 正确 由单位向量的模是1 知 4 正确 3 如图所示 因为 abc是等边三角形 d是bc的中点 所以ad bc 在rt adb中 ab 3 adb 90 abd 60 所以答案 拓展提升 1 判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素 1 有大小 2 有方向 两个条件缺一不可 2 解答与零向量和单位向量有关问题时要注意的问题 1 零向量的方向是任意的 所有的零向量都相等 2 单位向量不一定相等 易忽略向量的方向 变式训练 把平面上一切单位向量的始点放在同一点 那么这些向量的终点所构成的图形是 a 一条线段b 一段圆弧c 圆上一群孤立点d 一个单位圆 解析 选d 因为单位向量的长度都是1 所以把平面上一切单位向量的始点放在同一点 那么这些向量的终点所构成的图形是一个单位圆 类型二相等向量与共线向量 典型例题 1 给出下列说法 1 若a与b同向 且 a b 则a b 2 若a b 则a b 3 若a b 则a b 4 若a b 则 a b 5 若a b 则a与b不是共线向量 其中正确说法的序号是 2 如图 d e f分别是 abc各边上的中点 四边形bcmf是平行四边形 请分别写出 1 与模相等且共线的向量 2 与相等的向量 解题探究 1 相等向量和共线向量是如何定义的 它们之间有什么关系 两个向量能比较大小吗 2 平行四边形的对边有哪些性质 表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系 探究提示 1 长度相等且方向相同的向量是相等向量 方向相同或相反的向量是共线向量 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定是相等向量 两个向量不能比较大小 2 平行四边形的对边平行且相等 表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合 解析 1 1 错误 因为两个向量不能比较大小 2 错误 若a b 则a与b的方向不一定相同 模也不一定相等 故无法得到a b 3 正确 若a b 则a与b的方向相同 故a b 4 正确 若a b 则a与b模相等 即 a b 5 错误 若a b 则a与b有可能模不相等但方向相同 所以有可能是共线向量 答案 3 4 2 1 因为bcmf是平行四边形 所以cm bf 因为d e分别是bc ac的中点 所以bf de 又因为f是ab的中点 所以与向量模相等且共线的向量有 2 由 1 的分析可知 与向量相等的向量有 互动探究 试在题2中写出与向量相等的向量 解析 与向量相等的向量有 拓展提升 1 在平面图形中找出相等向量和平行向量的关键关键是根据平面图形的几何性质寻找线线的平行关系和线段之间的长度相等关系 2 向量平行与直线平行的关系两条直线平行时 直线上的有向线段平行 从而有向线段所表示的两个向量平行 两个向量平行时 表示向量的有向线段所在的直线不一定平行 可能重合 类型三向量的几何表示及应用 典型例题 1 已知b c是线段ad的两个三等分点 分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 个互不相等的非零向量 2 某人从a点出发向东走了5米到达b点 然后改变方向按东北方向走了10米到达c点 到达c点后又改变方向向西走了10米到达d点 1 作出向量 2 求的模 解题探究 1 向量与是相等向量吗 可以从哪两个角度列出满足题意的向量 2 用有向线段表示向量时 向量的两个要素是如何表达出来的 探究提示 1 向量与是不相等的向量 可以从向量的大小和方向两个角度列出满足题意的向量 2 用有向线段表示向量时 用有向线段的长度表示向量的长度 用有向线段的方向表示向量的方向 解析 1 设线段ad的长度是3 则长度为1的向量有共2个互不相等的非零向量 长度为2的向量有共2个互不相等的非零向量 长度为3的向量有共2个互不相等的非零向量 综上知 最多可以写出6个互不相等的非零向量 答案 6 2 1 作出向量如图所示 2 由题意得 bcd是直角三角形 其中 bdc 90 bc 10米 cd 10米 所以bd 10米 abd是直角三角形 其中 abd 90 ab 5米 bd 10米 所以 米 所以米 拓展提升 1 向量的两种表示方法 1 几何表示法 先确定向量的起点 再确定向量的方向 最后根据向量的长度确定向量的终点 2 字母表示法 为了便于运算可用字母a b c表示 为了联系平面几何中的图形性质 可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量 如等 2 两种向量表示方法的作用 1 用几何表示法表示向量 便于用几何研究向量运算 为用向量处理几何问题打下了基础 2 用字母表示法表示向量 便于向量的运算 变式训练 在如图所示的坐标纸中每个小正方形的边长为1 用直尺和圆规画出下列向量 1 3 点a在点o正东方向 2 3 点b在点o正西方向 3 点c在点o东北方向 4 2 点d在点o西南方向 解题指南 解答本题一方面要注意向量的长度 另一方面要注意向量的方向 解析 如图所示 易错误区 对向量有关概念理解不准致误 典例 给出下列六种叙述 1 两个向量相等 则它们的起点相同 终点相同 2 若 a b 则a b 3 若则四边形abcd是平行四边形 4 平行四边形abcd中 一定有 5 若m n n k 则m k 6 若a b b c 则a c 其中正确的有 填所有正确说法的序号 解析 1 错误 两个向量相等 它们的起点和终点都不一定相同 2 错误 若 a b 则a与b方向未必相同 故a与b不一定相等 3 错误 若则a b c d四个点有可能在同一条直线上 所以四边形abcd不一定是平行四边形 4 正确 平行四边形abcd中 ab dc ab dc且有向线段与方向相同 所以 5 正确 若m n n k 则m k都与n长度相等且方向相同 所以m k 6 错误 若a b b c b 0则a与c不一定平行 答案 4 5 误区警示 防范措施 1 正确理解向量的有关概念解答向量的有关问题时 要紧扣向量的定义 从向量的大小和方向两个角度分析问题 如本例 1 2 4 5 判断两个向量相等 就要判断方向和长度两个方面是否都相同 2 明确向量共线和平行与平面几何中的 共线 平行 的区别共线向量和平行向量是同一概念 都是指方向相同或相反的向量 理解时要注意与平面几何中的 共线 平行 的区别 如本例中 3 的判断 a b c d四个点有可能共线 3 重视零向量的特殊性要特别注意零向量与任意向量平行 如本例对 6 的判断若忽视这一点就会出现错误 类题试解 给出下列五种叙述 1 向量与是共线向量 则a b c d四点必在一直线上 2 单位向量都相等 3 若一个向量的模为0 则该向量的方向不确定 4 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 5 已知非零向量a b 若非零向量c a 则c b 其中正确的有 填所有正确的序号 解析 1 错误 向量与是共线向量 则a b c d四点在一直线上或ab cd 2 错误 单位向量模都相等 但是方向不一定相同 3 正确 若一个向量的模为0 则该向量是零向量 其方向不确定 是任意的 4 错误 共线的向量 若起点不同 则终点有可能相同 5 正确 已知非零向量a b 若非零向量c a 则b c与a方向相同或相反 所以b与c方向相同或相反 答案 3 5 1 下列各量中不是向量的是 a 浮力b 风速c 位移d 密度 解析 选d 浮力 风速 位移既有大小又有方向 是向量 而密度只有大小 是数量 2 正n边形有n条边 它们对应的向量依次为a1 a2 a3 an 则这n个向量 a 都相等b 都共线c 都不共线d 模都相等 解析 选d 正n边形n条边相等 故这n个向量的模相等 故选d 3 若a为任一非零向量 b为单位向量 下列各式 1 a b 2 a b 3 a 0 4 b 1 5 若a0是与a同向的单位向量 则a0 b 其中正确的是 解析 因为a是任一非零向量 所以 a 0 故 3 正确 a 与1的大小关系不定 故 1 错误 a的方向与b的方向关系无法确定 故 2 5 错误 b是单位向量 故 b 1 4 错误 答案 3 4 设在平面上给定了一个四边形abcd