高考数学精讲应用问题的题型与方法.doc

应用问题的题型与方法一、复习策略应用问题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题，解答数学应用题，需在理解题意的基础上，把问题转化为相应的数学问题，再根据要求求解1、解应用题的一般思路可表示如下：2、解应用题的一般程序：(1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础(2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关(3)解：求解数学模型，得到数学结论一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程(4)答：将数学结论还原给实际问题的结果3、中学数学中常见应用问题与数学模型(1)优化问题：实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决(2)预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决(3)最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值(4)等量关系问题：建立“方程模型”解决(5)测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决4、解应用问题的一般步骤为：(1)审题：理解题意，把握问题本质；(2)建模：分析题中的数量关系，建立相应数学模型，将应用问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识与方法解决转化了的数学问题；(4)回归：回到应用问题，检验结果的实际意义，给出答案复习中应加强概率、函数、不等式、线性规划以及函数与不等式、函数与数列、数列与不等式等综合问题的训练二、典例剖析（一）函数模型(I)函数模型为正比例函数例1、某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该批服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价降价20%销售这样，仍可获得25%的纯利求这个个体户给这批服装定的新标价与原价之间的函数关系解：设原价为x元，新标价为y元则，化简得(II)函数模型为反比例函数例2、学校请了30个木工，要制作200把椅子和100张课桌，已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为107，问30名工人应当如何分配(一组做课桌，另一组做椅子)，能使完成任务最快解：设x个工人做课桌，则有(30)个工人做椅子，一个工人在单位时间内可制作7a张课桌或10a把椅子，所以制作100张课桌所需的时间为函数，制作200把椅子所需的时间为函数，完成任务所需要的时间为，为求得的最小值，需满足即，解得，考虑到人数，时，时，所以用13个工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快(III)函数模型为一次函数例3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的某市用水收费方法是：水费=基本费超额费该市规定：(1)若每户每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a元；(2)若每户每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；(3)每户每月的损耗费不超过5元()求每户月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系；()该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值月份用水量(立方米)水费(元)一418二526三2.510解：()由题意，每月用水量为x(立方米)，支付费用y(元)，则()，由表知，一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量立方米，将和分别代入的解析式，得由得，从而又三月份用水量为立方米，若，将代入得，得这与矛盾，即三月份用水量立方米没有超过最低限量此时有，代入得综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且说明：(1)分析图表是数学应用的一个重要方面；(2)本题中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想，应好好体会例4、某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量与时间之间近似满足如图所示的曲线(1)写出服药后与之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为早晨7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题得，(2)设第二次服药是在第一次服药后t1小时，则，因而第二次服药应在1100；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有解得t2=9小时，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，解得t3=13.5小时，故第四次服药应在2030(IV)函数模型为二次函数例5、已知某商品的价格上涨，销售的数量就减少，其中为正的常数(1)当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？(2)如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围解：(1)设商品现在定价元，卖出的数量为个由题设：当价格上涨x%时，销售总额为，即，()，取得：，当时，即：该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大(2)二次函数，在上递增，在上递减，适当地涨价能使销售总金额增加，即在内存在一个区间，使函数在此区间上是增函数，所以，解得，即所求的取值范围是例6、某租赁公司拥有汽车100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元()当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？()当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：()当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车()设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得.所以，当x=4050时，最大，最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元. 例7、距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度沿北偏西60角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？解：设小时后行驶到点，行驶到点，则BD20t，过作于，时最小，最小值为，即两船行驶小时相距最近(V)函数模型为指数函数例8、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用表示第天每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在第t天的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式，其中，是湖水污染的初始质量分数(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？解：(1)为常数，有=0，.(2) 设0t1t2，则g(t1)g(t2)=g(0)g(0)=g(0)=g(0)，0，t1t2，.故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)=，t=ln20，故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%. (VI)函数模型为其它函数例9、一批零兼营的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)，按批发价结算，而少于51支则按零售价结算，批发价每购60支比零售60支少付一元现有班长来购铅笔，若给全班每人购一支，需支付元()，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也支付元，问该班有多少学生？解：设全班有人，根据题意设，则铅笔零售价为元，批发价为，则根据题意，有，整理得由函数的定义域，值域得，解得，代入得，该班有50个学生例10、某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产1台需要增加投入25元，销售后，为了对今后的销售提供参考的数据，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：其中x是产品售出的数量，且.(I)若x为年产量，y为利润，求的解析式；(II)当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？解：(I)，产品全部售出；当时，产品只能售出500台，故(II)当（二）数列模型例11、一艘太空飞船飞往地球第一次观测时发现一个正三角形的岛屿(我们记其边长为1)；第二次观测时，发现它并非正三角形，而是每边中央处向外有一正三角形海峡，形成正六边形；第三次观测时，发现原先每一小边的中央处都有一向外突出的海峡(正三角形、如图)，把这个过程无限继续下去，就得到著名的教学模型柯克岛(1)把第k次观测到的岛的面积记为ak，ak有无极限？如果我们把这个极限叫岛的面积，柯克岛的面积是多少？(2)把第k次观测到的岛的海岸线长记为bk，求bk的通项公式，bk有无极限？如果把此极限当作柯克岛的海岸线长，它是多少？(3)以上结果能说明什么问题？解：(1)记 ck为第k次观测时的边数，c13，由于每一边中央突起一个三角形，即每一边变为4条边，故ck1=4ck，从而第k次观测时，柯克岛的边数是ck34k1，(kN)，又以边长为dk，则dk1=dk， dk成等比数列，公比为， d11， dk=()k1， ak1=ak(dk)234k1=ak， an=(anan1)(an1an2)(a2a1)a1=.所以，an的极限存在，且an=. (2)由(1)可知 bkckdk=34k1()k1=3()k1，所以，bn是等比数列，且公比q=1.故bn的极限不存在(3)以上结果说明了一个面积有限的平面区域的周界长度可以是无限的三、解析几何模型例12、有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)()若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？()若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？()解：设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为所以，当时，函数取得最小值答：点P的坐标是()解法一：P至三镇的最远距离为由解得记于是因为在上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答：点P的坐标是解法二：P至三镇的最远距离为由解得记于是函数的图象如图，因此，当y=y时，函数取得最小值.答：点P的坐标是解法三：因为在ABC中，AB=AC=13，且所以ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小答：点P的坐标是 高考中的最值问题的解题策略一、复习策略1、函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等2、求几类重要函数的最值方法；(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；(2)：均值不等式法和单调性加以选择；(3)多元函数：数形结合或转化为一元函数3、三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解4、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，二次函数的最值)5、不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x)m恒成立，即m；f(x)m恒成立，即m6、参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，解题的关键是不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等二、典例剖析问题1：函数的最值问题例1、(07江苏卷)已知二次函数的导数为，对于任意实数，都有，则的最小值为（）A3BC2D解：，依题意，有：，可得，121212，故选(C)例2、如下图(1)所示，定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数A，都有A成立，则称函数在D上有下界，其中A称为函数的下界. (提示：图(1)、(2)中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零) （1）（2）()试判断函数在(0，)上是否有下界？并说明理由；()又如具有上右图(2)特征的函数称为在D上有上界请你类比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断()中的函数在(， 0)上是否有上界？并说明理由；()已知某质点的运动方程为，要使在上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=为下界的函数，求实数a的取值范围分析：利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，从而可以确定函数的下界或上界；或用重要不等式求最值解：()解法1：，由得，x2，当时，函数在(0，2)上是减函数；当时，函数在(2，)上是增函数；是函数在区间(0，)上的最小值点，对任意，都有，即在区间(0，)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，函数在(0，)上有下界.解法2：当且仅当即x2时“=”成立对任意，都有，即在区间(0，)上存在常数A=32，使得对任意都有成立，函数在(0，)上有下界()类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数B，都有B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.设则，由()知，对任意，都有，函数为奇函数，即存在常数B=32，对任意，都有，函数在(，0)上有上界()质点在上的每一时刻的瞬时速度依题意得对任意有对任意恒成立令，函数在0，）上为减函数.问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解例3、(05年上海)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，PAPF(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值分析：将d用点M的坐标表示出来，然后求其最小值解：(1)由已知可得点A(6，0)，F(4，0)设点P(x，y)，则=x6，y，=x4，y，由已知可得，则2x29x18=0，解得x=或x=6由于0，只能=，于是=点P的坐标是(，)(2) 直线AP的方程是xy6=0设点M(m，0)，则M到直线AP的距离是于是=，又6m6，解得m=2椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有，由于6x6，当=时，d取得最小值例4、(05年辽宁)如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中()将十字形的面积表示为的函数；()为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？分析：将十字型面积S用变量表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S的最大值()解：设S为十字形的面积，则()解法一：其中当最大所以，当最大. S的最大值为解法二：因为所以令S=0，即可解得，所以，当时，S最大，S的最大值为 例5、已知点A(1，0)，B(1，1)和抛物线，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图(I)若POM的面积为，求向量与的夹角；(II)试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.分析：可先设出M与P点的坐标，再利用斜率相等求出的值，利用向量的数量积求出夹角第二问中可用重要不等式求出最值解：(I)设点、M、A三点共线，设POM=，则由此可得tan=1. 又令，则.O到PQ的距离：，即当且仅当t=16时取最大值，且最大值为故存在最大值，且最大值为问题3：最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值例6、(06年江苏卷)请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如下图所示)试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析：将帐蓬的体积用x表示(即建立目标函数)，然后求其最大值解：设OO1为，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，(单位：)故底面正六边形的面积为：=，(单位：)帐篷的体积为：(单位：)求导得令，解得(不合题意，舍去)，当时，为增函数；当时，为减函数当时，最大答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 例7、(05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：)为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99，有两种方案可供选择方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中是该物体初次清洗后的清洁度(1)分别求出方案甲以及时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小(2)若采用方案乙，当为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响点拨与提示：（1）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，于是，利用均值不等式求最值方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有，解得x19，由c0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：，解得y=4a，故z=4a3，即两种方案的用水量分别为19与4a3，因为当1a 3时，xz4(4a)0，即xz故方案乙的用水量较少(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似(I)得，(*)于是当a为定值时，当且仅当时等号成立，此时(不合题意，舍去)或将代入(*)得，故时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量为当1a3时，故T(a)是增函数(也可用二次函数的单调性来判断)，这说明随着a的值的增加，最少总用水量增加问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题f(x)m恒成立，即m；f(x)m恒成立，即m例8、已知函数f(x)=()当时，求的最大值;() 设，是图象上不同两点的连线的斜率，是否存在实数，使得恒成立?若存在，求的取值范围;若不存在，请说明理由分析：利用导数求出函数的单调性，再比较其极大值与端点值的大小求出的最大值解：()当2时，由=0得x1=显然1x1，x22，又=当xx2时，0，单调递增；当x2x2时，0，单调递减，max=(x2)=()答：存在符合条件解：因为=不妨设任意不同两点，其中则由知：11又，故故存在符合条件解法二：据题意在图象上总可以找一点，使以P为切点的切线平行于图象上任意两点的连线，即存在故存在符合条件问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力在历年高考中占有较稳定的比重解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等 例9、设直线过点P(0，3)且和椭圆顺次交于A、B两点，求的取值范围分析：=要求的取值范围，一是构造所求变量关于某个参数(自然的想到“直线AB的斜率k”)的函数关系式(或方程)，通过求函数的值域来达到目的二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称式问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称式：由此出发，可得到下面的两种解法解法1：当直线垂直于x轴时，可求得；当l与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑的情形当时，所以=由，解得，所以，即解法2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得(*)则，令，则，在(*)中，由判别式可得，从而有，所以，解得结合得综上，点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法例10、在直角坐标平面中，过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为；如此下去，即过点作函数的切线，其切点为；过点作函数的切线，其切点为(1)探索与，与的关系，说明你的理由，并求，的值；(2)求数列通项公式；(3)是否存在正实数，使得对于任意的自然数，不等式恒成立？若存在，求出这样的实数的取值范围；若不存在，则说明理由分析：利用导数先找出切线方程，从而可以确定数列与，与的关系，再分奇数项与偶数项来求出数列的通项，在第三问中可用错位相消法求出不等式左端的和，再证明其单调性来求解解：(1)，切线的方程为，又切线过点，且，又，切线的方程为，而切线过点，且，(2)由(1) 可知，即，数列为等比数列，且首项为4，即而，故数列通项公式为(3)令，两式相减得 ，数列递增又当时，而，对于任意的正整数和任意的实数不等式恒成立等价于，而，所以有，解得或 (舍)故存在这样的正实数，其取值范围为 函数与方程思想一、复习策略函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法，即用运动变化的思想观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究其内在的联系，使问题获解应用函数思想解题的基础是：常见函数的单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等；熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征；应用函数思想解题的关键是：善于观察题目的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含条件，从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的，则可以把解析式看成一个等式，然后通过方程的讨论从而使问题获解许多问题中含有常量、变量和参量，可以通过适当方式，运用方程的观点去观察、深入分析问题的结构特点，抓住某一个关键变量，构造出这种等式来处理两种思想方法是相辅相成的，有关方程、不等式、最值等问题，利用函数、方程观点加以分析，常可以使问题“明朗化”，从而易于找到适当解题途径历年的高考试题中，每年都有一些设问新颖的函数与方程题目，而且占有相当的比重，一些常见的解题规律和方法在这里得到比较充分的体现二、典例剖析题型一根据等式的特点，构建方程例1设是方程的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是（）A相离B相切C相交D随的值而变化分析：判断直线与圆的位置关系，即判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系解：由题意，得，即，因此和都在直线上，原点到该直线的距离，过的直线与单位圆相切点评：本题的关键之处在于求出过两点的直线方程，这里是从方程的形式中观察出的，灵活运用函数与方程的思想，通过“设而不求”而得出的例2对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2(b1)x(b1)(a0)（1）若a=1，b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx对称，求b的最小值解：（1）当a=1，b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1，x2=3故当a=1，b=2时，f(x)的两个不动点为1，3（2）f(x)=ax2(b1)x(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2(b1)x(b1)，即ax2bx(b1)=0恒有两相异实根=b24ab4a0(bR)恒成立于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1，x1)，B(x2，x2)又A、B关于y=kx对称k=1. 设AB的中点为M(x，y)x1，x2是方程ax2bx(b1)=0的两个根x=y=，又点M在直线上有，即a0，2a2当且仅当2a=即a=(0，1)时取等号，故b，得b的最小值.例3对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：f(x)在D内单调递增或单调递减；存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数（1）求闭函数符合条件的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为1，1（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数（3）若是闭函数，则存在区间a，b，在区间a，b上，函数f(x)的值域为a，b，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根设f(x)=x2(2k1)xk22.法一：当时有解得当有此时不等式组无解综上所述，法二：只需满足方程x2(2k1)xk220有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题题型二函数与方程思想在数列中的应用例4已知等差数列的公差，对任意都有，函数（1）求证：对任意，函数的图象过一定点（2）若，函数f(x)与x轴的一个交点为（），且，求数列的通项公式（3）在（2）的条件下，求分析：函数f(x)的图象过一定点，可运用等差数列的性质进行论证；后一问中可运用根与系数的特点进行求解解：（1）为等差数列，故，故必是方程的一个根，即方程均有一个相同的根为1故函数f(x)过一定点（1，0）（2）方程的两根为与有，故，（3），故点评：数列综合题往往和函数、方程、不等式相结合，以数列为载体，利用函数性质研究数列与方程，或以数列为载体，利用方程为工具去研究相关函数或数列的性质题型三函数与方程思想在不等式中的应用例5设abc，且abc=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：分析：由于弦长l是与a，b，c有关的变量，若能建立的表达式，那么结论相当于确定该函数的值域为了确定函数的值域，需要解决好三个问题：一是求出变量l关于a，b，c的解析式；二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数；三是需要确定这个一元函数的定义域证明：，且从而故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得可见，是的二次函数由及，得，解得在上是减函数，即点评：应用函数与方程思想处理不等式问题，关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论，弄清函数、方程及不等式的内在联系，树立相互转化的观点例6已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x)， g2(x)=fg1(x)， g3(x)=fg2(x)，gn(x)=fgn1(x)，（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nN，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（，0），对于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0，g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2时，gn(x)0试问是否存在区间B（AB），对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(kN)成立，则gk1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k1时，命题成立.对一切nN，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x06x02=x0，x0=0或x0=稳定不动点为0和.(3)解：f(x)0，得6x6x20x0或x1.gn(x)0fgn1(x)0gn1(x)0或gn1(x)1要使一切nN，n2，都有gn(x)0，必须有g1(x)0或g1(x)1.由g1(x)06x6x20x0或x1由g1(x)06x6x21故对于区间()和(1，)内的任意实数x，只要n2，nN，都有gn(x)0题型四函数与方程思想在三角函数中的应用例7已知函数f(x)=x2(m1)xm(mR)(1)若tanA，tanB是方程f(x)4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5；(2)对任意实数，恒有f(2cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m分析：利用一元二次方程的韦达定理、二次函数在区间上的最值的求法，三角函数的值域进行求解解题时要深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列列式要周到，不遗漏（1）证明：f(x)4=0即x2(m1)xm4=0依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，ABtan(AB)0，即m5(2)证明：f(x)=(x1)(xm)，又1cos1，12cos3，恒有f(2cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0，mx但xmax=3，mxmax=3(3)解：f(sin)=sin2(m1)sinm=，且2，当sin=1时，f(sin)有最大值8即1(m1)m=8，m=3点评：在解答过程中，第(1)问中易漏掉0和tan(AB)0，第(2)问中如何保证f(x)在1，3上恒小于等于零为关键题型五函数与方程思想在解析几何中的应用例8给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点.（1）设l的斜率为1，求与的夹角的大小；（2）设，若，求l在y轴上的截距的变化范围.解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得设则有所以夹角的大小为（2）由题设得即 由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为当时，l在y轴上的截距为设，可知在4，9上是递减的，（或用导数，证明是减函数）直线l在y轴上截距的变化范围为点评：不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系；对于直线和曲线交点问题，经常要转化为方程问题，用方程的理论加以解决例9直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围分析：b的变化是由于k的变化而引起的，即对于k的任一确定的值，b有确定的值与之对应，因此b是k的函数，本题即为求这个函数的值域解：由消去y，得（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根所以解得设，则由三点共线，得出设，则在上为减函数，且，或，或点评：根据函数的思想建立b与k的函数关系，根据方程的思想，运用二次方程的理论具体求出b的表达式，是解此题的两个关键问题不少解析几何问题，其中某些元素处于运动变化之中，存在着相互联系、相互制约的量，它们之间往往构成函数关系；对于直线和曲线交点问题，经常要转化为方程问题，用方程的理论加以解决题型六函数与方程思想在立体几何中的应用例10如图，已知面，于D，（1）令，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？分析：（1）为寻求与x的关系，首先可以将转化为（2）由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得解：（1）面，于D，为在面上的射影，即即的最大值为，等号当且仅当时取得（2）令，解得：，与交集非空满足条件的点Q存在点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键题型七函数与方程思想在实际问题中的应用例11某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是（）AWNBWN，故选A点评：函数的图象是函数的方程思想中的重要的手段，有时运用图象解题可以使人耳目一新的感觉，可以使解题过程简单优美化归与转化思想在解题中的应用一、复习策略化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中转化有等价转化与不等价转化等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化7、函数与方程的转化二、典例剖析例1函数极限的值为（）.ABCD分析：依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.解：由导数的定义可知故选C点评：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数在处的导数例2数列中，则_.解：通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，点评：利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.例3（2005年湖北卷）以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）ABCD分析：以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决解析：以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有2855种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有(2855126)种取法，以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为，选(A)点评：当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面