高考数学 11.10 圆锥曲线的综合应用复习课件 理.ppt

11 10圆锥曲线的综合应用 1 已知 r 则不论 取何值 曲线c x2 x y 1 0恒过定点 a 0 1 b 1 1 c 1 0 d 1 1 d 解析 由 x2 x y 1 0 得 x2 y x 1 0 依题设x2 y 0 x 1 0 即x 1 y 1 可知不论 取何值 曲线c过定点 1 1 2 若点a的坐标为 3 2 f为抛物线y2 2x的焦点 点p在抛物线上移动 为使 pa pf 取最小值 p点的坐标为 a 3 3 b 2 2 c d 0 0 解析 如图 根据抛物线的定义可知 pf 等于点p到准线l的距离 pq 则当a p q 三点共线时 pa pf 最小 此时 可求得p 2 2 b 3 抛物线y2 12x与直线3x y 5 0的最近距离为 a b c d 解析 解法1 代数法 抛物线上的点到直线的距离故选b b 解法2 几何法 设与3x y 5 0平行的抛物线的切线方程为3x y t 0 代入抛物线方程得y2 4y 4t 0 16 16t 0 所以t 1 从而切线方程为3x y 1 0 直线3x y 5 0与3x y 1 0之间的距离即为所求最近距离 为 4 双曲线x2 y2 4上一点p x0 y0 在双曲线的一条渐近线上的射影为q 已知o为坐标原点 则 poq的面积为定值 1 解析 如图 双曲线x2 y2 4的两条渐近线为y x 即x y 0 设p在另一条渐近线上的射影为r 则所以 1 基本概念在圆锥曲线中 还有一类曲线系方程 对其参数取不同值时 曲线本身的性质不变 或形态发生某些变化 但其某些固有的共同性质始终保持着 这就是我们所指的定值问题 而当某参数取不同值时 某几何量达到最大或最小 这就是我们指的最值问题 曲线遵循某种条件时 参数有相应的允许取值范围 即我们指的参变数取值范围问题 2 基本求法解析几何中的最值和定值问题是以圆锥曲线与直线为载体 以函数 不等式 导数等知识为背景 综合解决实际问题 其常用方法有两种 1 代数法 引入参变量 通过圆锥曲线的性质 及曲线与曲线的交点理论 韦达定理 方程思想等 用变量表示 计算 最值与定值问题 再用函数思想 不等式方法得到最值 定值 2 几何法 若问题的条件和结论能明显的体现几何特征 利用图形性质来解决最值与定值问题 在圆锥曲线中经常遇到求范围问题 这类问题在题目中往往没有给出不等关系 需要我们去寻找 对于圆锥曲线的参数的取值范围问题 解法通常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时 可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式 如双曲线的范围 直线与圆锥曲线相交时 0等 通过解不等式 组 求得参数的取值范围 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时 则可先建立目标函数 进而转化为求解函数的值域 考点1 定点 定值问题例题1 已知a 1 0 b 1 0 p是平面上一动点 且满足 pa ba pb ab 1 求点p的轨迹c的方程 解析 1 设p x y 则pa 1 x y pb 1 x y ab 2 0 ba 2 0 因为 pa ba pb ab 所以即y2 4x 所以点p的轨迹c的方程为y2 4x 2 已知点m m 2 在曲线c上 过点m作直线l1 l2与c交于d e两点 且l1 l2的斜率k1 k2满足k1k2 2 求证 直线de过定点 并求此定点 解析 证明 由 1 知m 1 2 设d所以 整理得 y1 2 y2 2 8 所以 由 知所以直线de的方程为整理得4x y1 y2 y y1y2 0 即即 x 1 k y 2 0 所以直线de过定点 1 2 点评 与圆锥曲线有关的定点问题的探求一般途径是恰当引入参变量 将题设转化为坐标关系式 然后通过分析参变量取符合题设条件的任何一个值时 坐标关系式恒成立的条件 而获得定点坐标 拓展训练 如图 f1 3 0 f2 3 0 是双曲线c的两焦点 其一条渐近线方程为 a1 a2是双曲线c的两个顶点 点p是双曲线c右支上异于a2的一动点 直线a1p a2p交直线分别于m n两点 1 求双曲线c的方程 解析 1 由已知 又c2 a2 b2 所以所求双曲线c的方程为 2 求证 f1m f2n是定值 证明 设p的坐标为 x0 y0 m n的纵坐标分别为y1 y2 因为a1 2 0 a2 2 0 所以a1p x0 2 y0 a2p x0 2 y0 a1m y1 a2n y2 因为a1p与a1m共线 所以同理因为所以 为定值 考点2 最值与范围问题例题2 设f1 f2分别是椭圆的左 右焦点 1 若p是该椭圆上的一个动点 求pf1 pf2的取值范围 解析 1 由方程易知所以设p x y 则pf1 pf2 因为x 2 2 所以0 x2 故pf1 pf2 2 1 2 设过定点m 0 2 的直线l与椭圆交于不同的两点a b 且 aob为锐角 其中o为坐标原点 求直线l的斜率k的取值范围 解析 显然直线x 0不满足题设条件 可设直线l y kx 2 a x1 y1 b x2 y2 联立方程组y kx 2消去y整理得 所以由解得或 又0 0 得oa ob 0 所以oa ob x1x2 y1y2 0 又y1y2 kx1 2 kx2 2 k2x1x2 2k x1 x2 4所以即k2 4 结合 知 k的取值范围是 点评 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考题中的常考问题 解决此类问题 一般有两个思路 1 构造关于所求量的不等式 通过解不等式来获得问题的解 如本题第 2 问 2 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来获得问题的解 如本题第 1 问 在解题的过程中 一定要深刻挖掘题目中的隐含条件 如判别式大于零等 拓展训练 已知f1 f2为椭圆x2 1的两个焦点 ab是过焦点f1的一条动弦 求 abf2面积的最大值 点评 圆锥曲线中的最值问题常用代数法 即用函数思想列出目标函数 然后转化为函数求最值问题 常用配方法 单调性 求导数方法 体现了数形结合 转化与化归的思想 考点3 圆锥曲线综合问题例题3 若椭圆 a b 0 与直线x y 1 0相交于p q两点 且op oq 0 o为坐标原点 1 求证 等于定值 解析 1 证明 由b2x2 a2y2 a2b2x y 1 0 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 由 0 a2b2 a2 b2 1 0 因为a b 0 所以a2 b2 1 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2是 的两根 所以 由op oq 0得 x1x2 y1y2 0 即2x1x2 x1 x2 1 0 将 代入 得 a2 b2 2a2b2 所以为定值 2 若椭圆离心率时 求椭圆长轴长的取值范围 解析 由 1 a2 b2 2a2b2得2 e2 2a2 1 e2 所以又所以长轴 点评 本题综合考查直线与椭圆的位置关系及定值问题和取值范围问题 考查运算能力 思维能力及综合分析问题的能力 抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后 沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 今有抛物线y2 2px p 0 一光源在点处 由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点p 折射后又射向抛物线上的点q 再折射后 又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出 途中遇到直线l 2x 4y 17 0上的点n 再折射后又射回点m 1 设p q两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 证明 y1y2 p2 解析 证明 由抛物线的光学性质及题意知 光线pq必过抛物线的焦点设直线pq的方程为 由 式得将其代入抛物线的方程y2 2px中 整理得由韦达定理得y1y2 p2 当直线pq的倾斜角为90 时 将代入抛物线方程得y p 同样得到y1y2 p2 2 求抛物线的方程 解析 设光线qn经直线l反射后又射向m点 所以直线mn与直线qn关于直线l对称 设点关于l的对称点为m x y 则 解得直线qn的方程为y 1 q点的纵坐标为y2 1 由题设p点的纵坐标为y1 4 由 1 知y1y2 p2 则4 1 p2 得p 2 故所求抛物线的方程为y2 4x 3 试判断在抛物线上是否存在一点 使该点与点m关于pn所在的直线对称 若存在 请求出此点的坐标 若不存在 请说明理由 解析 将y 4代入y2 4x得x 4 故p点的坐标为 4 4 将y 1代入直线l的方程2x 4y 17 0 得故n点的坐标为 由p n两点坐标得直线pn的方程为2x y 12 0 设m点关于直线np的对称点m1 x1 y1 则 解得即m1的坐标是抛物线方程y2 4x的解 故抛物线上存在一点与点m关于直线pn对称 点评 本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目 考查了学生理解问题 分析问题 解决问题的能力 对称问题是直线方程的一个重要应用 对称问题常有 点关于直线对称 直线关于直线对称 圆锥曲线关于直线对称 圆锥曲线关于点对称问题 但解题方法是一样的 1 若探究直线或曲线过定点 则直线或曲线的表示一定含有参变数 即直线系或曲线系 可将其方程变式为f x y g x y 0 其中 为参变数 由f x y 0g x y 0确定定点坐标 2 在几何问题中 有些几何量与参变数无关 即定值问题 这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值 然后将问题转化为代数式的推导 论证定值符合一般情形 3 解析几何中的最值问题 或数形结合 利用几何性质求得最值 或依题设条件列出所求最值关于某个变量的目标函数 然后应用代数方法求得最值 已知双曲线过p 1 1 能否作一条直线l