高考数学 11.6 双曲线复习课件 理.ppt

11 6双曲线 d a a 28b 14 8c 14 8d 8 1 双曲线的定义平面内到两定点f1 f2的距离之差的绝对值为常数2a 且 的点的轨迹叫双曲线 有 mf1 mf2 2a 在定义中 当2a f1f2 时表示两条射线 当时 不表示任何图形 0 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程 1 焦点在x轴上的双曲线 其中 焦点坐标为f1 c 0 f2 c 0 2 焦点在y轴上的双曲线 a 0 b 0 其中c2 a2 b2 焦点坐标为f1 0 c f2 0 c c2 a2 b2 3 双曲线 a 0 b 0 的几何性质 1 范围 y r 2 对称性 对称轴x 0 y 0 对称中心 0 0 一般规律 双曲线有两条对称轴 它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线 x a 3 顶点 a1 a 0 a2 a 0 实轴长 虚轴长 一般规律 双曲线都有两个顶点 顶点是曲线与它本身的对称轴的交点 4 离心率 双曲线的离心率在 1 内 离心率确定了双曲线的形状 a1a2 2a b1b2 2b e 1 5 渐近线 双曲线的两条渐近线方程为 双曲线的两条渐近线方程为 双曲线有两条渐近线 它们的交点就是双曲线的中心 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 有公共渐近线的两条双曲线可能是 a 共轭双曲线 b 放大的双曲线 c 共轭放大或放大后共轭的双曲线 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时 只要令双曲线的标准方程中的 1 为 0 就得到两条渐近线方程 即方程就是双曲线的两条渐近线方程 考点1 双曲线的定义及应用例题1 如果双曲线上一点p到双曲线右焦点的距离是10 那么点p到左焦点的距离为 a 6b 14c 6或14d 2或18 c 解析 因为 pf1 pf2 2a 4 pf2 10 所以 pf1 6或14 故选c 点评 本小题主要是应用双曲线的第一定义求解问题 拓展训练 已知动圆m与圆c1 x 5 2 y2 49和圆c2 x 5 2 y2 1都外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析 设动圆半径为r 则 mc1 r 7 mc2 r 1 则 mc1 mc2 6 可知动点m的轨迹是以c1 c2为焦点的双曲线的右支 其方程为 x 0 例题2 根据下列条件 分别求出双曲线的标准方程 1 与双曲线有共同的渐近线 且过点解析 1 方法1 由双曲线的方程得a 3 b 4 所以渐近线方程为 考点2求双曲线的标准方程 当x 3时 所以所求的双曲线的焦点在x轴上 设所求双曲线的方程为由题意 得所以所求双曲线的方程为 解得 方法2 双曲线的渐近线方程为所以设所求双曲线的方程为将点代入得故所求双曲线的方程为即 2 与双曲线有公共焦点 且过点解法1 设所求双曲线的方程为由题意易求得又双曲线过点所以因为所以a2 12 b2 8 故所求双曲线的方程为 方法2 设所求双曲线的方程为将点代入得k 4 所以所求双曲线的方程为 待定系数法求双曲线方程最常用的设法 1 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为 t 0 2 若双曲线的渐近线方程为则双曲线方程可设为 t 0 3 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为 b2 k a2 点评 4 过两个已知点的双曲线方程可设为 mnb 0 共焦点的双曲线方程可设为 b2 k a2 合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解题过程 提高解题速度 已知点p 0 6 与双曲线 a 0 b 0 的两个焦点的连线互相垂直 且与两个顶点连线的夹角为求双曲线的方程 解析 设f1 f2为双曲线的两个焦点 依题意 它的焦点在x轴上 拓展训练 因为pf1 pf2 且 op 6 所以2c f1f2 2 op 12 所以c 6 又p与两顶点连线的夹角为所以所以b2 c2 a2 24 故所求双曲线的方程为 考点3 双曲线的几何性质例题3 如图 f1和f2分别是双曲线 a 0 b 0 的两个焦点 a和b是以o为圆心 以 of1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 f2ab是等边三角形 则双曲线的离心率为 a b c d 解析 连接af1 由题意得 f1af2 90 af2f1 30 f1f2 2c af1 c af2 c 2a af2 af1 c c 则双曲线的离心率为故选d 点评 本题的关键是将平面几何的性质转化为双曲线的特征量之间的关系 已知f1 f2为双曲线 a 0 b 0 的焦点 过f2作垂直于x轴的直线交双曲线于点p 且 pf1f2 30 则双曲线的渐近线方程为 拓展训练 解析 方法1 设f2 c 0 c 0 p c y0 则解得所以在rt pf1f2中 pf1f2 30 所以 f1f2 pf2 即又c2 a2 b2 故有b2 2a2 所以故所求双曲线的渐近线方程为 方法2 pf1 2 pf2 由双曲线的定义可知 pf1 pf2 2a 得 pf2 2a 因为 pf2 所以所以b2 2a2 所以故双曲线的渐近线方程为 考点4 双曲线的综合应用例题4 已知双曲线c 0 l 1 的右焦点为b 过点b作直线交双曲线c的右支于m n两点 试确定l的取值范围 使 0 其中点o为坐标原点 分析 联立直线方程与双曲线方程 寻找交点坐标的关系 点评 直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法 但要注意联立后得到一元二次方程的二次项系数能否为零 拓展训练 已知椭圆c1的方程为双曲线c2的左 右焦点分别是c1的左 右顶点 而c2的左 右顶点分别是c1的左 右焦点 1 求双曲线c2的方程 解析 1 设双曲线c2的方程为 a 0 b 0 则a2 4 1 3 c2 4 再由a2 b2 c2 得b2 1 故c2的方程为 2 若直线l y kx 2与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b 且oa ob 2 其中o为原点 求k的取值范围 解析 将代入得 1 3k2 x2 6kx 9 0 由直线l与双曲线c2交于不同的两点 得1 3k2 0 6k 2 36 1 3k2 36 1 k2 0 所以且k2 1 设a x1 y1 b x2 y2 则 所以x1x2 y1y2 oa ob x1 y1 x2 y2 x1x2 kx1 2 kx2 2 k2 1 x1x2 2k x1 x2 2 又因为oa ob 2 得x1x2 y1y2 2 所以即解得 综合 得k的取值范围为 1 a b c有关系式c2 a2 b2成立 且a 0 b 0 c 0 其中a与b的大小关系 可以为a b ab 2 双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 六点 两个焦点 两个顶点 两个虚轴的端点 四线 两条对称轴 两条渐近线 两形 中心 焦点以及虚轴端点构成的三角形 双曲线上一点和两焦点构成的三角形 研究它们之间的相互联系 3 椭圆是封闭性曲线 而双曲线是开放性的 又双曲线有两支 故在应用时要注意在哪一支上 4 根据方程判定焦点的位置时 注意与椭圆的差异性 5 求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置 若不确定焦点的位置时 需进行讨论 或可直接设双曲线的方程为ax2 by2 1 ab 0 6 与双曲线共渐近线的双