【教学设计】《数列的概念与简单表示法》（人教）.docx

数列的概念与简单表示法 教学目标1、知识与技能（1）理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。2、过程与方法（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。3、情感态度与价值观（1）通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验。理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 教学重难点【教学重点】数列及其有关概念，通项公式及其应用。【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。 教学过程（一）新课导入 传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！到底有多少麦粒呢？你认为国王有能力满足上述要求吗？每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，总共有63个格子：得数为：18446744073709551615传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字。上图中各三角形表示的数排列有规律吗？由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数。下图中各正方形分别表示哪些数？这些数与相应正方形的序号有什么关系？因为这些数能够表示成正方形，故称为正方形数。生活离不开数字，在特定背景下研究数字的排列或变化规律，也就成为一个数学问题，我们将对此作些了解和学习。（二）新课讲授上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：三角形数：1，3，6，10，正方形数：1，4，9，16，25，1，2，3，4的倒数排列成的一列数：高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： -1的1次幂，2次幂，3次幂，排列成一列数： 无穷多个1排列成的一列数： 它们共同特点是什么？ 1、 都是一列数；2、 都有一定的顺序。1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。辨析数列的概念:(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ 数列的有序性(2) 数列中的数可以重复吗？(3) 数列与集合有什么区别？集合特点：无序性、互异性、确定性，数列特点：有序性、可重复性、确定性。2、数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第n项， 3、数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列；常数列：各项都相等的数列。数列的一般形式：，或简记为，数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。注意： an表示第n项， an表示一个数列 探究下面是用列举法给出的数列，请你根据题目要求补充完整。(1)数列：1,3,5,7,9，用公式法表示：an 2n-1 ；用列表法表示：n 1 2 3 4 5 an 1 3 5 7 9 用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：(2)数列：1，用公式法表示：an 。用列表法表示：n12345an1用图像法表示为(在下面坐标系中绘出)：（三）例题探究例1根据数列的通项公式，分别写出数列的前5项与第2 012项。(1)ancos ；(2)bn。例2根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，3,5，7,9，；(2)，2，8，；(3)9,99,999,9 999，；(4)0,1,0,1，。解(1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，考虑(1)n1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)，nN*。(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以，它的一个通项公式为an，nN*。(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN*。(4)an或an (nN*)或an (nN*)。小结：据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳。跟踪训练1写出下列数列的一个通项公式：(1)2，4，6，8，；(2)0.9,0.99,0.999,0.999 9，；(3)，。答案：(1)an2n；(2)an10。1n；(3)an。例3已知数列an的通项公式an。(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项。解(1)a10。 (2)令，化简得：8n233n350，解得n5。当n5时，a5。不是该数列中的项。小结：判断某数列是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项。例4在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项。解a12，a23，a33a22a133225，a43a32a235239，a53a42a3392517，a63a52a43172933。小结：已知数列递推公式求数列通项时，依次将项数n的值代入即可。跟踪训练2已知数列an中，a11，a2，(nN*，n3)，求a3，a4。解由a11，a2且，知当n3时，312，a3。4，a4。例5已知数列an的通项公式为an。求证：数列an为递增数列。证明：an1，an1an。由nN*，得an1an0，即an1an。数列an为递增数列。小结：数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研究数列的单调性。（四）课堂检测1下列叙述正确的是(D)A数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B数列0,1,2,3，可以表示为nC数列0,1,0,1，是常数列D数列是递增数列2观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，_3_，。3已知下列数列：(1)2 000,2 004,2 008,2 012；(2)0，；(3)1，；(4)1，；(5)1,0，1，sin ，；(6)6,6,6,6,6,6。其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_，周期数列是_。(将合理的序号填在横线上)解析：(1)是有穷递增数列； (2)是无穷递增数列(因为1)； (3)是无穷递减数列； (4)是摆动数列，也是无穷数列； (5)是摆动数列，是无穷数列，也是周期数列，最小正周期为4； (6)是常数列，是有穷数列。答案：(1)(6)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(6) (4)(5)(5)4数列1,3,6,10,15，的递推公式是(B)Aan1ann，nN*Banan1n，nN*，n2Can1an(n1)，nN*，n2Danan1(n1)，nN*，n25数列an中，an2n229n3，则此数列中最大项的值是 (B)A107 B108 C108 D109（五）课堂总结1an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式。而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系。2数列的表示方法：图像法；列表法；通项公式法；递推公式法。3由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的