第一章 导数及其应用.doc

第一章 导数及其应用(一)课标要求1导数及其应用(1)导数概念及其几何意义通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵(参见选修1-1案例中的例2、例3)。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。(2)导数的运算能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3,y=1/x,y=的导数。能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的导数。会使用导数公式表。(3)导数在研究函数中的应用结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系(参见选修1-1案例中的例4)；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。(4)生活中的优化问题举例。例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。(参见选修1-1案例中的例5)(5)定积分与微积分基本定理通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义。(参见例1)(6)数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。(参见第91页)(二)教学内容及课时安排(约24课时)(1)导数概念及其几何意义(2)导数的运算(3)导数在研究函数中的应用(4)生活中的优化问题举例。(5)定积分与微积分基本定理(6)数学文化1.1.1变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度二新课讲授(一)问题提出问题1：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=r3如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为hto (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)-r(1)0.16(dm)气球的平均膨胀率为0.16(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2:高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：0t0.5和1t2的平均速度在0t0.5这段时间里，；在1t2这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态(二)平均变化率概念:1上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2若设x=x2-x1,f=f(x2)-f(x1)(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样f=y=f(x2)-f(x1)3则平均变化率为=思考：观察函数f(x)的图象平均变化率=表示什么?x= x2-x1y =f(x2)-f(x1)x1x2Oyy=f(x)f(x1)f(x2)x直线AB的斜率三典例分析例1已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则解：-2+y=-(-1+x)2+(-1+x)，=3-x例2求y=x2在x=x0附近的平均变化率。解：y=(x0+x)2-x02，所以=2x0+x所以y=x2在x=x0附近的平均变化率为2x0+x四课堂练习1质点运动规律为s=t2+3，则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1，1)和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六教后反思：1.1.2导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念教学过程：一创设情景(一)平均变化率(二)探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？hto 探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，所以，虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t=2时的瞬时速度是多少？考察t=2附近的情况：t0时，在2，2+t这段时间内=-4.9t-13.1=-4.9t-13.1当t=-0.01时，=-13.051当t=0.01时，=-13.051当t=-0.001时，=-13.0951当t=0.001时，=-13.0951当t=-0.0001时，=-13.09951当t=0.0001时，=-13.09951当t=-0.00001时，=-13.099951当t=0.00001时，=-13.099951当t=-0.000001时，=-13.0999951当t=0.000001时，=-13.0999951思考：当t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1从物理的角度看，时间|t|间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s为了表述方便，我们用表示“当t=2，t趋近于0时，平均速度趋近于定值-13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数y=f(x)在x=x0出的导数，记作f(x)或y|x=x0，即说明：(1)导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率(2)x=x-x0，当时，所以三典例分析例1(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求f=y=f(1+x)-f(1)=6x+(x)2再求=6+x再求解：法一定义法(略)法二：(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：例2(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度(单位：)为，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)根据导数定义，所以同理可得:f(6)=5 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h 的速率上升注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况四课堂练习1质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度为2求曲线y=f(x)=x3在x=1时的导数3例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念六教后反思：1.1.3导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景(一)平均变化率、割线的斜率(二)瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x)的几何意义是什么呢？二新课讲授(一)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4)沿着图3.1-2曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率为多少？容易知道，割线PPn的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即说明：(1)设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.(2)曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.(二)导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0)处的切线的斜率，即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.(二)导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，即:注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数(三)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系。(1)函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2)函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。三典例分析例1:(1)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.(2)求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：(1),所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y=0(2)因为所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y-3=6(x-1)即6x-y-3=0(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：例2(课本例2)如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10，根据图像，请描述、比较曲线h(x)在t0、t1、t2附近的变化情况解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况(1)当t=t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降(2)当t=t0时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在t=t1附近曲线下降，即函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t1附近单调递减(3)当t=t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在t=t2附近曲线下降，即函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10在t=t2附近单调递减从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢例3(课本例3)如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间(单位：min)变化的图象根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值作t=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：所以f(0.8)1.4下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.8药物浓度瞬时变化率f(t) 0.40-0.7-1.4四课堂练习1求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2求曲线y=在点(4,2)处的切线五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六教后反思：1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=的导数公式；2掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数教学重点：四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=的导数公式及应用教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=的导数公式教学过程：一创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数二新课讲授1函数y=f(x)=c的导数根据导数定义，因为所以函数导数表示函数y=c图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为0若y=c表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态2函数y=f(x)=x的导数因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为1若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动3函数的导数因为所以函数导数y=2x表示函数y=x2图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数增加得越来越快若y=x2表示路程关于时间的函数，则y=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x4函数的导数因为所以函数导数5函数的导数因为所以函数导数(2)推广：若y=f(x)=xn(xQ+)，则f(x)=nxn-1三课堂练习1课本P13探究12课本P13探究2四回顾总结函数导数y=cy=0y=x y=0y=x2y=0y=y=0y=y=0y=f(x)=xn(xQ+)y=0五教后反思：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1熟练掌握基本初等函数的导数公式；2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一创设情景五种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=、y=的导数公式及应用函数导数y=cy=x y=x2y=y=y=f(x)=xn(xQ+)二新课讲授(一)基本初等函数的导数公式表函数导数(二)导数的运算法则导数运算法则123(2)推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)三典例分析例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)=p0(1+5%)t，其中p0为t=0时的物价假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)？解：根据基本初等函数导数公式表，有所以(元/年)因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数(1) (2)； (3)；(4)； (5) (6)；(7)解：(1)，。(2)(3)(4)，。(5)(6)，。(7)。点评求导数是在定义域内实行的求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心例3日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用(单位：元)为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)(2)解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数(1)因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨(2)因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快四课堂练习1课本P92练习2已知曲线C：y3x42x39x24，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；67(y12x8)五回顾总结(1)基本初等函数的导数公式表(2)导数的运算法则六教后反思：1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确一创设情景(一)基本初等函数的导数公式表函数导数(二)导数的运算法则导数运算法则123(2)推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)二新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积若，则三典例分析例1(课本例4)求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)(其中均为常数)解：(1)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有=。(2)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有=。(3)函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有=。例2求的导数解：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果例3求的导数解：，本题练习商的导数和复合函数的导数求导数后要予以化简整理例4求ysin4xcos4x的导数解法一ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2cos2x1sin22x1(1cos4x)cos4xysin4x解法二y(sin4x)(cos4x)4sin3x(sinx)4cos3x(cosx)4sin3xcosx4cos3x(sinx)4sinxcosx(sin2xcos2x)2sin2xcos2xsin4x解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步例5曲线yx(x1)(2x)有两条平行于直线yx的切线，求此二切线之间的距离解yx3x22xy3x22x2令y1即3x22x10，解得x或x1于是切点为P(1，2)，Q(，)，过点P的切线方程为，y2x1即xy10显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为四课堂练习1求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；(2);(3)2.求的导数五回顾总结六教后反思：1.3.1函数的单调性与导数(2课时)教学目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系；2能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用二新课讲授1问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：(1)特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数3求解函数单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例1已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状解：当时，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间(1)；(2)(3)；(4)解：(1)因为，所以，因此，在R上单调递增，如图3.3-5(1)所示(2)因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图3.3-5(2)所示(3)因为，所以，因此，函数在单调递减，如图3.3-5(3)所示(4)因为，所以当，即时，函数；当，即时，函数；函数的图像如图3.3-5(4)所示 注：(3)、(4)生练例3如图3.3-6，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像分析：以容器(2)为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快反映在图像上，(A)符合上述变化情况同理可知其它三种容器的情况解：思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，在或内的图像“平缓”例4求证：函数在区间内是减函数证明：因为当即时，所以函数在区间内是减函数说明：证明可导函数在内的单调性步骤：(1)求导函数；(2)判断在内的符号；(3)做出结论：为增函数，为减函数例5已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间. 解：y=(x+)=11x2=令0.解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(，1)和(1，+).令0，解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1，0)和(0，1)四课堂练习1求下列函数的单调区间1.f(x)=2x36x2+7 2.f(x)=+2x 3.f(x)=sinx,x 4.y=xlnx2课本练习五回顾总结(1)函数的单调性与导数的关系(2)求解函数单调区间(3)证明可导函数在内的单调性六教后反思：1.3.2函数的极值与导数(2课时)教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大附近函数的图像，如图3.3-9可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增(，)后减(，)这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二新课讲授1问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数相应地，从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数相应地，2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率在处，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减说明：(1)特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数3求解函数单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例1(课本例4)求的极值解：因为，所以。下面分两种情况讨论：(1)当0,即，或时；(2)当()函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5.求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、巩固练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6(2)y=x327x(1)解：y=(x27x+6)=2x7令y=0，解得x=.当x变化时，y，y的变化情况如下表.0+极小值当x=时，y有极小值，且y极小值=.(2)解：y=(x327x)=3x227=3(x+3)(x3)令y=0，解得x1=3，x2=3.当x变化时，y，y的变化情况如下表.-3(-3,3)3+00+极大值54极小值-54当x=3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时，y有极小值，且y极小值=54五、教学反思：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)教学目标：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点(包括端点)处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学过程：一创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果是函数的极大(小)值点，那么在点附近找不到比更大(小)的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果是函数的最大(小)值，那么不小(大)于函数在相应区间上的所有函数值二新课讲授观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象图中与是极小值，是极大值函数在上的最大值是，最小值是1结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值说明：如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续(可以不给学生讲)给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值如函数在内连续，但没有最大值与最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(可以不给学生讲)2“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值三典例分析例1(课本例5)求在的最大值与最小值解：由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，因此，函数在的最大值是4，最小值是上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证例2求函数在区间上的最大值与最小值解：先求导数，得令0即解得导数的正负以及，如下表x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y/000y1345413从上表知，当x=2时，函数有最大值13，当x=1时，函数有最小值4例3已知,(0,+).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：(1)在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数；(2)的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.解：设g(x)=f(x)在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数g(x)在(0，1)上是减函数，在1，+)上是增函数.解得经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.四课堂练习1下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x)()A.等于0 B.大于0 C.小于0D.以上都有可能3函数y=，在-1，1上的最小值为()A.0B.2 C.1D.4求函数在区间上的最大值与最小值5课本练习五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4利用导数求函数的最值方法六教后反思：1.4生活中的优化问题举例(2课时)教学目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程：一创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题解决数学模型建立数学模型作答利用导数解决优化问题的基本思路：三典例分析例1海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为S(x)=(x+4)(+2)-128=2x+8,x0。求导数，得。令，解得舍去)。于是宽为。当时，0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。例2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售