（试题 试卷 真题）专题33 直线（线段）平移 【教师版】

专题33 直线（线段）平移【母题来源】2013年甘肃天水第25题（12分）【母题原题】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）。又点D在直线y=xm上，x23x=xm，即x24x+m=0。抛物线与直线只有一个公共点，=164m=0，解得：m=4。此时x1=x2=2，y=x23x=2。D点的坐标为（2，2）。（3）直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），点A关于直线OB的对称点A的坐标是（0，3）。根据轴对称性质和三线合一性质得出ABO=ABO，设直线AB的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直线AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即点N在直线AB上。设点N（n，），又点N在抛物线y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去）。N点的坐标为（）。如图，将NOB沿x轴翻折，得到N1OB1，则N1（），B1（4，4）。O、D、B1都在直线y=x上。由勾股定理，得OD=，OB1=，P1ODNOB，NOBN1OB1，P1ODN1OB1。点P1的坐标为（）。将OP1D沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点P2（）。综上所述，点P的坐标是（）或（）。【命题意图】本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点。本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题。1.【2013年江苏扬州10分】如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点B。（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0m3试比较线段MN与PQ的大小。【答案】解：（1）当x=0时，y=8；当y=0时，x22x8=0，解得，x1=4，x2=8。A（0，8），B（4，0）。设一次函数解析式为y=kx+b，将A（0，8），B（4，0）分别代入解析式得，解得，。一次函数解析式为y=2x8。2.【2013年江苏泰州10分】如图，在平面直角坐标系中直线y=x2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）。（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式。【答案】解：（1）将B坐标代入直线y=x2中得：m2=2，解得：m=4，B（4，2），即BE=4，OE=2。设反比例解析式为，将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，反比例解析式为。（2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b），对于直线y=x2，令x=0求出y=2，得到OA=2，过C作CDy轴，过B作BEy轴，将C坐标代入反比例解析式得：a（a+b）=8，。联立，解得：b=7。平移后直线解析式为y=x+7。3.【2013年湖南益阳10分】阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xpx1=x2xp，得，同理，所以AB的中点坐标为由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为。注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立。解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C。（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离。（3）如图，过点C作CGAB于G，过点A作AHPC于H，则H点的坐标为（，）。又直线l与l之间的距离等于点C到l的距离CG，直线l与l之间的距离为。4.【2013年福建晋江13分】如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B设直线l的运动时间为t秒（1）填空：当t=1时，P的半径为 2 ，OA= 2 ，OB= 2 ；（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由【答案】解：（1）；2；2。（2）符合条件的点C有3个，分别为C1（t，3t）、C2（t，t）、C3（t，t）。（3）DAC是等腰直角三角形。理由如下：当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC，由（2）可知，点C的坐标为（t，3t），由点P坐标为（t，t），点A坐标为（2t，0），点B坐标为（0，2t），可知OA=OB=2t，OAB是等腰直角三角形。又PO=PB，进而可得OPB也是等腰直角三角形，则POB=PBO=45。AOB=90，AB为P的直径。A、P、B三点共线。又BCOP，CBE=POB=45。ABC=180CBEPBO=90。AC为Q的直径。DADC。CDE+ADO=90。过点C作CEy轴于点E，则有DCE+CDE=90，ADO=DCE。RtDCERtADO，即，解得OD=t或OD=2t。依题意，点D与点B不重合，舍去OD=2t，只取OD=t。，即相似比为1，此时两个三角形全等，则DC=AD。DAC是等腰直角三角形。当点C在第二象限时，如图3，同上可证DAC也是等腰直角三角形。综上所述，当点C在直线y=x上方时，DAC必为等腰直角三角形。正确作出图形，找到线段CD与AD之间的关联，这就是RtDCERtADO，通过计算可知其相似比为1，即两个三角形全等，从而得到CD=AD，DAC为等腰直角三角形。本问符合条件的点C有2个，因此存在两种情形，分别如答图2和答图3所示。5.【2013年甘肃天水12分】如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）。（3）直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），点A关于直线OB的对称点A的坐标是（0，3）。根据轴对称性质和三线合一性质得出ABO=ABO，设直线AB的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），4k2+3=4，解得：k2=。直线AB的解析式是y=。NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即点N在直线AB上。设点N（n，），又点N在抛物线y=x23x上，=n23n，解得：n1=，n2=4（不合题意，舍去