初三综合题讲座.doc

初三综合题复习 2011年3月综合问题中知识的覆盖面较大，解决综合题需要学生在认真阅读题目的基础上，理解理解题意，把握题目中的知识内容、方法和思想，然后把握本质，理解题目实质的基础上作出回答这类试题考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等因此，在平时的复习中应注重积累，既要进一步将数学知识融会贯通，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识所以，解决综合题问题，要落实：基本知识要记牢，基本技能要过关，基本方法要熟练，基本思想要领略，基本能力得提升。复习建议：1、 培养学生认真审题的习惯，提高学生数学阅读能力2、 夯实基础，注重积累，深化提高3、 进行题组训练，梯度练习，使学生对问题的认识逐步深化4、 对综合题的知识点进行拆分，化繁为简、化难为易5、 注意解题反思，提炼方法，总结经验6、 帮助并鼓励学生树立信心，心理上要藐视综合题一、 以代数为主的综合题1 (08中考23题)已知：关于的一元二次方程12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，【点评】 本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、用函数的观点看不等式等知识。对考生要求较高。本题考点：一元二次方程根的判别式、代数式的大小比较、一次函数、用函数的观点看不等式。难度系数：第问：0.65；第问：0.5；第问：0.45易忽视点：第问中。2（09中考23题）. 已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 点评：本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、整数根、二次函数、二次函数图像的变换（图像的平移、图像的翻折），一次函数与抛物线的交点问题。3(2010中考23题)已知反比例函数的图象经过点（1） 试确定此反比例函数的解析式；（2） 点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转30得到线段，判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3） 已知点 也在此反比例函数的图象上（其中 ），过点作轴的垂线，交轴于点 若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值点评：本题是一道代数综合题，综合了反比例函数、图像的变换（图像的旋转变换），通过整体代换计算代数式的值等问题。说明：三道题的特征都是代数综合题，不同程度的对代数式、方程、函数、不等式等知识进行了综合考查，代数式是研究方程、函数、不等式的基础，对于对代数式、方程、函数、不等式等知识的研究是解决代数问题的主要内容。结合去年的模拟考试题目来看，代数综合题的前两问还是注重基础知识、基本技能的考查，代数综合的方向受知识素材和课标、考试说明的限制很难拓展，所以，代数综合题的前两问对相对稳定的基础知识和基本技能的考点进行了相对多的考查。比如考查到含有字母系数的函数和方程涉及到对二次项系数的分类讨论、一元二次方程根的情况（数目相等或不等）和二次函数图像与x轴公共点的个数等知识点；第三问往往注重知识之间的结合的考查。而大多都是把一元二次方程和二次函数结合、函数与不等式的结合、几种函数的结合等等，命题形式多数或者方程进函数出，或者函数进方程（不等式）出，强调数与形的结合（变化中的最值、满足条件的几何对象【点、等腰三角形、梯形、平行四边形】探究其存在性等等）。1、 数与形结合的代数综合题（一元二次方程和二次函数结合）整数根+数形结合（整数根的判断可以通过两个途径解决：一是直接根据字母系数的范围直接确定，二是通过根的判别式是完全平方式或对根进行部分分式变形或设参数进行确定），数形结合使得定性分析与定量分析相结合显得很重要。4（2010海淀一模23）关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.（1）求的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.5（2010昌平一模23）已知抛物线，其中是常数 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若，且抛物线与轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式6（2010西城一模23）已知关于x的方程（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称求这个二次函数的解析式；已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1y2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点（5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1y3y2均成立求二次函数y3ax2bxc的解析式.2、 探究型代数综合题，这种题型属于研究性学习问题，它不单纯考查课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或者“新规定”，发现总结新规律新结论的成分及过程，可以突出地考查学生的学习能力以及发现和创新能力。见大兴一模24题7（2010东城一模23）. 已知抛物线C1：的图象如图所示，把C1的图象沿轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3（1）求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2的图象；（2）若直线与抛物线有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线与抛物线C1相切，求的值；（3）结合图象回答，当直线与图象C3 有两个交点时，的取值范围3、几种函数的综合题目8（2010石景山一模23）已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数（1）求的值；（2）求的值；（3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值另见密云一模23题。4、方程、函数、不等式的转化9利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的横坐标就是该方程的解 （2）已知函数的图象（如图所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）10、对于抛物线 .（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； xy （3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在x的范围内只有一解，则t的取值范围是 二、与几何相关的综合题以几何为主的综合题是以探究型问题为主，通过设置由“特殊到一般” 或“由一般到特殊”的活动情境，从中归纳或类比总结出新规律，重在考查学生合情推理的能力。注意理解通法。复习建议：1、解决以几何内容为主的综合题，要通过数量有限的题目的练习、分析和讲解，来提高学生的分析问题、解决问题的能力，适宜以点带面、“以问题带方法”或设计专题题组的方法，在选择典型问题加以分析的基础上讲题目讲深、讲透，也可以将问题变化或类比，力求充分让学生体会数学思想和数学方法在解决问题中的灵活的，综合的应用。2、可以将一道综合题拆分成若干个小问题，将一个复杂图形拆分成若干个基本图形，这样，一方面帮助学生提高分析问题的能力，另一方面也可提高学生处理综合题的自信。3、轴对称、平移和旋转变换在考试说明中都有C级的要求，要关注。解决与几何相关的综合题，要注重平时授课时对基础知识、基本技能、基本几何图形、典型数学模型、数学思想方法及解题规律的积累。一些综合题是不需要大讲特讲的，讲过的题该不会的还是不会，究其原因是学生的基础积累太少，知识之间不能链接，所以，综合能力的考查还是对基础的进一步考查。近几年，在综合题目中图形变换的分量逐步增大，图形变换在初等几何中占有重要地位，也是新课程标准特别加强的内容，从北京近几年的考题中所占比例和所在的位置就可以看出。所以在教学中一定要让学生用几何变换观点去重新审视全等形和部分相似图形的构成。例如我们构造全等常用的辅助线：比如做平行线或垂线、截长补短、倍长与中点有关的线段等，它们的实质就是对图像的平移、旋转、轴对称变换。下面针对在复习中的一些做法与大家进行交流：【与轴对称变换相关的综合题】：（一）求最值问题：1、线段和最小值问题基本模型归类：两定点一动点一动点两定点两定点两动点 一平移一对称11（2010延庆模拟22）几何模型：条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点问题：在直线上确定一点，使的值最小方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）模型应用：（1） 如图1，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称连结交于，则的最小值是_；（2） 如图2，的半径为2，点在上，是 上一动点，则的最小值是_；ABPlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1P（3）如图3，是内一点，分别是上的动点，则周长的最小值是_12、如图，在直角坐标系中有四个点；A(-6,3),B(-2,5),C(0,m),D(n,0),当四边形ABCD周长最短时求m,n的值13、（2006年北京市中考题）已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。14.已知：抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），B（3，0），且经过C（2，-3），与y轴交于点D， （1）求此抛物线的解析式及顶点F的坐标；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物于E点，求线段PE长度的最大值；（3）在（1）的条件下，在x轴上是否存在两个点G、H（G在H的左侧），且GH=2，使得线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小；如果存在，求出G、的坐标；如果不存在，说明理由。2、线段差值最大问题 15、(2009年北京市模拟题)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C. （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（1） 若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出 的取值范围.（二）图形翻折问题12题图ABCDEFMN16（2010延庆一模12）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上 一点（不与点，重合），压平后得到折痕设，当时，则 若（为整数），则 （用含的式子表示）17、（2010房山一模24） 如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KMAD于M(1) 当E为AB中点时，求的值；(2) 若, 则的值等于 ； (3) 若（为正整数），则的值等于 （用含的式子表示）18、（2010平谷二模25）如图，矩形纸片中，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的点为E，折痕的一端G点在边BC上（BGGC），另一端F落在矩形的边上，（1）请你在备用图中画出满足条件的图形；（2）求出折痕的长（三）含具备轴对称元素条件题目19、含角平分线条件设置题组1、已知：中AD是BAC的角平分线，AC+CD=AB,试探求B和C的数量关系20、已知：中AD是BAC的角平分线，点P是线段AD上的动点，试探求AB-AC与 PB-PC的大小关系21如图，在四边形中，AC平分BAD，求AC的长22、如图，已知CD为ABC的中线，CDA和CDB的平分线分别交AC、BC于点E、F,试判断AE+BF与EF的大小关系23（1）已知：如图1，中，平分，点为 中点，交的延长线于，猜想：= （直接写出结论，不需证明）.（2）已知：如图2，中，平分，点为 中点，交的延长线于，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由图1 图223如图（1），凸四边形，如果点满足，且，则称点为四边形的一个半等角点（1）在图（2）正方形内画一个半等角点，且满足；（2）在图（3）四边形中画出一个半等角点，保留画图痕迹（不需写出画法）24（2010北京市中考25）问题：已知中，点是内的一点，且，探究与度数的比值 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1） 当时，依问题中的条件补全右图观察图形，与的数量关系为 ；当推出时，可进一步可推出的度数为 ；可得到与度数的比值为 （2） 当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明【与旋转变换相关的综合题】：是几何三大变换之一，通过旋转，有利于把分散的几何条件集中在一起，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解.或亦可以把集中条件分散。一般地说,当题目出现“共点等线”(即有相同的端点和相等线段)的条件时可考虑以该端点为旋转中心进行旋转变换：另外旋转变换也是几何图形的全等的再应用，将全等图形以动态的形式展现给学生，注重学生操作能力，动手能力，是新课程改革的新特点。旋转变换 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角，旋转前后图形的全等性应用： 求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等如图，已知是等腰直角三角形，点是的中点作正方形，使点分别在和上，连接（1）试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由（3）若，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值ACBFDEG图25-2ACBFDEG图25-125（2008中考25题）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【点评】 本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的。本题考点：菱形的性质、全等三角形、三角函数难度系数：第问：4；第问：3.5；第问：426（2009年北京中考24题）. 在中，过点C作CECD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.27（2010朝阳二模）如图，边长为2的正方形ABCO中，点F为x轴上一点，CF=1，过点B作BF的垂线，交y轴于点E （1）求过点E、B、F的抛物线的解析式；（2）将EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交y轴正半轴于点M，另一边交x轴于点N，设BM与（1）中抛物线的另一个交点为点G，且点G的横坐标为，EM与NO有怎样的数量关系？请说明你的结论 （3）点P在（1）中的抛物线上，且PE与y轴所成锐角的正切值为，求点P的坐标需要说明的是利用旋转解题在等边三角形、等腰直角三角形和正方形中运用较多。 共点等长特征：28已知：ADBC,ABE和CDF为等腰直角三角形，AD=2，BC=5,求四边形AEDF的面积。1、 基本图形特点：等腰，D是BC的中点，EDF是直角 。结论：BE2+CF2=EF2；两组全等的三角形；等面积转化；EDF是等腰直角三角形等。29已知ABC中，AB=AC=3,BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）； （2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系式,并写出自变量的取值范围； （3）若,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=，两块三角板重叠部分的面积为，求出的函数关系，并写出自变量的取值范围 二倍角条件旋转问题： 基本图形： .30、已知正方形ABCD的边长为1，P、Q为AB、AD上的点，QCP=450,求证：DQ+PB=QP31、 已知正方形ABCD的边长为1，P、Q为AB、AD上的点，APQ的周长为2，求PCQ32（2010大兴模拟25）. 如图17、18是两个相似比为：的等腰直角DMN和ABC，将这两个三角形如图19放置，DMN的斜边MN与ABC的一直角边AC重合. 在图19中，绕点旋转DMN，使两直角边DM、DN分别与交于点，如图20. 求证：； 在图19中，绕点旋转DMN，使它的斜边CM、直角边的延长线分别与交于点，如图21，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 如图22，在正方形中，分别是边上的点且满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于点. 线段、恰能构成三角形. 请指出线段、所构成的三角形的形状，并给出证明.33（2010东城一模23）已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想34（本小题7分）如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF（1）若四边形ABCD为正方形，当EAF=45时，有EF=DFBE请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，ABC=ADC=90，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，ABC与ADC互补，当EAF=BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周长（直接写出结果即可）35已知正方形ABCD和等腰Rt按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG 、CG.(1) 探索EG、CG的数量关系，并说明理由；（2）将图1中绕B点顺时针旋转得图2，连结DF,取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图1中绕B点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结DF，取DF的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；挖掘旋转变换中隐性图形：36如图1，在ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点，.（1）求证：AD=AE； （2）如图2，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF. 求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EFDP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFP坐标系中的旋转变换：基本图形：37 点为抛物线(为常数，)上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点.（1