全国高考数学复习立体几何中的向量方法第二课时求空间角与距离习题理.docx

第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量求异面直线所成的角3利用向量求直线与平面所成的角2利用向量求二面角1,3,4利用向量求距离4综合应用51. (2016山东菏泽市高三上学期期末)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别为BC,PC的中点.(1)判断AE与PD是否垂直,并说明理由;(2)若PA=2,求二面角EAFC的余弦值.解:(1)垂直.证明:由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC,又BCAD,所以AEAD,因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD.又PD平面PAD,所以AEPD.(2) 由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,1),所以=(,0,0),=(,1).设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则因此取z1=-1,则m=(0,2,-1).因为BDAC,BDPA,PAAC=A,所以BD平面AFC,故为平面AFC的法向量,又=(-,3,0),所以cos=.因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.2. (2016山东日照市高三3月模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO平面ABB1A1.(1)证明:BCAB1;(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明:由题意tan ABD=,tan AB1B=,又0ABD,AB1B,所以ABD=AB1B,所以AB1B+BAB1=ABD+BAB1=,所以AOB=,所以AB1BD.又CO平面ABB1A1,所以AB1CO,因为BD与CO交于点O,所以AB1平面CBD,又BC平面CBD,所以AB1BC.(2)解:如图,以O为坐标原点,分别以OD,OB1,OC所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),D(,0,0),=(-,0),=(0,),=(,0,-),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则z=-1,x=,所以平面ABC的一个法向量n=(,1,-1).设直线D与平面ABC所成角为,则sin =|cos|=为所求.3. (2016贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ADBC,ADCD,且ABAC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解: (1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos=,即=60,故异面直线AE与PC所成的角为60.(2)因为AB=AC=2,ABAC,所以ABC=ACB=45,因为ADBC,所以DAC=ACB=45,又ADCD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则n,n,即n=0,n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),|n|=.由题意得AB平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos=-,所以二面角D-PC-A的平面角的余弦值为.4. 导学号 18702411如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E为PC中点.(1)求证:DE平面PCB;(2)求点C到平面DEB的距离;(3)求二面角E-BD-P的余弦值.(1)证明:因为PD平面ABCD,所以PDBC.又正方形ABCD中,CDBC,PDCD=D,所以BC平面PCD.因为DE平面PCD,所以BCDE.因为PD=CD,E是PC的中点,所以DEPC.又因为PCBC=C,所以DE平面PCB.(2)解:如图所示,过点C作CMBE于点M,由(1)知平面DEB平面PCB,因为平面DEB平面PCB=BE,所以CM平面DEB.所以线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离.因为PD=AB=CD=2,PDC=90,所以PC=2,EC=,BC=2.由题意可证得BE=.所以CM=.(3)解:以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),=(2,2,0),=(0,1,1).设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z),则所以令z=1,得y=-1,x=1.所以平面BDE的一个法向量为n1=(1,-1,1).又因为C(0,2,0),A(2,0,0),=(-2,2,0),且AC平面PDB,所以平面PDB的一个法向量为n2=(1,-1,0).设二面角E-BD-P的平面角为,则cos =.5. 导学号 18702412如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ABCD,AD=DC=AB=,平面PBC平面ABCD.(1)求证:ACPB;(2)若PB=PC=,问在侧棱PB上是否存在一点M,使得二面角MADB的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(1)证明:取AB的中点E,连接CE,因为ABCD,DC=AB,所以DCAE,所以四边形AECD是平行四边形.又因为ADC=90,AD=DC=AE,所以四边形AECD是正方形,所以CEAB.所以CAB为等腰三角形,且CA=CB=2,AB=2,所以AC2+CB2=AB2,所以ACCB,又因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC.所以AC平面PBC.又因为PB平面PBC,所以ACPB.(2)解:存在.设BC的中点为F,连接PF,因为PB=PC,所以PFBC,所以PF平面ABCD,所以PFAC,连接EF,则EFAC,所以PFFE,EFBC,分别以FE,FB,FP所在直线作为x轴,y轴,z轴,建立如图所示直角坐标系.因为AD=PB=PC=,则F(0,0,0),A(2,-1,0),B(0,1,0),D(1,-2,0),P(0,0,1).可得=(0,1,-1),=(-1,-1,0),=(0,0,1),若在线段PB上存在一点M,设=(01),因为=-,所以=+=(0,1,-1)+(0,0,1)=(0,1-).即