《理论力学》第五章 点的运动 习题全解.doc

第五章 点的运动 习题全解习题5-1 一点按的规律沿直线动动(其中要计,以计).试求:(1)最初内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初内经过的路程;(4)时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.解:(1)求最初内的位移. (动点的位移为9m,位移的方向为负x方向).(2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: ,亦即:当时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: (3)求最初内经过的路程. (4)求时的速度和加速度 (5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 若与同号,则动点作加速运动; 若与异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:.即当时,动点作加速动动.异号时有:即当时,动点作减速运动.习题5-2 已知图示机构中,求出时,点的动动方程和轨迹方程。解:设动点的坐标为,则由图中的几何关系可知,运动方程为: 把上式两边分别平方后相加,得到轨迹方程: 习题5-3 跨过滑轮C的绳子一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向运动,其速度为,A点到地面的距离保持常量.滑轮离地面的高度,其半径忽略不计.当运动开始时,重物在地面上处,绳AC段在铅直位置处.求重物B上升的运动方程和速度方程,以及重物B到达滑轮处所需的时间.解:从图中可知,绳子的原长约为16m.在任一瞬时,绳子的长度为:.即:B点的y坐标,即重物B上升的运动方程为:重物B上升的速度方程为:重物到达滑轮时,所走过的路程为8m,即:当时,故:,依题意:,解得:习题5-4 偏心轮半径为,转动轴到轮心的偏心距,坐标轴如图所示.求杆AB的运动方程,已知,为常量.解:AB杆作竖向平动.A点的运动代表AB杆的运动.由图中的几何关系可知,A点的坐标,即AB杆的运动方程为:习题5-5 半圆形凸轮以匀速沿水平方向向左运动,活塞杆AB长沿铅直方向运动.挡运动开始时,活塞杆A端在凸轮的最高点上.如凸轮的半径,求活塞B的运动方程和速度方程.解:活塞杆AB作竖向平动.以凸轮圆心为坐标原点,铅垂向上方向为轴的正向,则由图中的几何关系可知,任一时刻,B点的坐标,即活塞B的运动方程为: 活塞B的速度方程为:习题5-6 已知杆与铅直线夹角(以rad计,以计),小环套在杆OA,CD上,如图所示.铰O至水平杆CD的距离.求小环的速度方程与加速度方程,并求时小环的速度及加速度.解:以OA铅垂时小环的位置为坐标原点,水平向右方向为x轴的正向.任一瞬时, 的坐标,即运动方程为: 小环的速度方程为:小环加速度方程为: 习题5-7 滑道连杆机构如图所示,曲柄OA长,按规律转动(以rad计,以计),为一常量.求滑道上B点的运动方程,速度方程及加速度方程.解:以O为坐标原点,OB方向为x轴的正向,则B点的坐标,即运动方程为: B点的速度方程为: B点的加速度方程为: 习题5-8 动点A和B在同一直角坐标系中的运动方程分别为, 其中,以计, 以计.试求:(1)两点的运动轨迹;(2)两点相遇的时刻;(3)两点相遇时刻它们各自的速度;(4)两点相遇时刻它们各自的加速度.解: (1)求两点的运动轨迹 A点的运动轨迹: B点的运动轨迹:(2)求两点相遇的时刻 两点相遇时,它们的坐标相同. , , .即当时,两点相遇.(3)求两点相遇时刻它们各自的速度 , , 两点相遇时,A点的速度为: 大小:.方向:, , 两点相遇时,B点的速度为: 大小:.方向:(4)求两点相遇时刻它们各自的加速度 , 两点相遇时,A点的加速度为:大小:,方向:沿y轴正向., 两点相遇时,B点的加速度为:大小:方向:习题5-9 点以匀速率在直管OA内运动,直管OA又按规律绕O转动.当时, 在O点,求其在任一瞬时的速度及加速度的大小.解: , 设任一瞬时,点的坐标为,则点的运动方程为:, 速度方程为: 任一瞬时,速度的大小为:加速度方程为: 任一瞬时,速度的大小为:习题5-10 一圆板在Oxy平面内运动.已知圆板中心C的运动方程为,(其中以m计, 以计).板上一点M与C的距离,直线段CM与x轴的夹角(以rad计, 以计),试求时M点的速度及加速度.解: 设M点的坐标为M(x,y),则M点的坐标,即运动方程为:速度方程: 时M点的速度为: ()加速度方程:时M点的加速度为:习题5-11 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲线表示:,其中x,y均以m计.设有一汽车沿x方向的运动规律为(x以m计,t以s 计).问汽车经过该段路面时,在什么位置加速度的绝对值最大?最大的加速度值是多少?解: 当,即时, 加速度的绝对值最大, .此时汽车的位置在: ,习题5-12 一点作平面曲线运动,其速度方程为,其中以计,t以s计.已知在初瞬时该点在坐标原点,求该点的运动方程和轨迹方程。解：（）求运动方程由边界条件，代入上式得：，故由边界条件，代入上式得：，故，因此，该动点的运动方程为：；。（）求动点的轨迹由得代入得：，这就是动点的轨迹方程。习题5-13 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：，。已知当时，（长度以计，时间以计），试求其运动方程和轨迹方程。解：（）求运动方程把当时，的边界条件代入上式得：，故把当时，的边界条件代入上式得：，故把当时，的边界条件代入上式得：，故把当时，的边界条件代入上式得：，故。因此，该动点的运动方程为：；。（）求动点的轨迹方程由得：(a) 由得：(b) (a)+(b)得：这就是动点的轨迹方程。习题5-14 定向爆破开山筑坝。爆破物从爆处至散落处的运动可以近似地作为抛射运动，设、两处高差为，水平距离为，初速与水平线夹角为，试推证的大小应为。证：(a)（点高于点，故前有个负号）(b)(a)代入(b)得：故，本题得证。习题5-1 重力坝溢流段和鼻坎挑流。鼻坎与下游水位高差为，设挑流角为，水流射出鼻坎的速度为，试求射程。解：，取 习题5-16 喷水枪的仰角，水流以的速度射至倾角为的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度与斜面垂直，试求水流喷射在斜坡上的高度及水枪放置的位置与坡脚的距离。解：到达点时，习题5-17 点沿曲线动动。曲线由、两段圆弧组成，段曲率半径，段曲率半径，取圆弧交接处为原点，规定正方向如图所示。已知点的运动方程：，以计，以计。求：（）点由至所经过的路程；（）时的加速度。解：（）求点由至所经过的路程令得；当时，动点改变运动方向。点由至所经过的路程点由至所经过的路程点由至所经过的路程（）求时的加速度习题5-18摇杆滑道机构如题5-1附图所示，滑块同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动。BC弧的半径为，摇杆OA的转轴在BC弧所在的圆周上。摇杆绕O轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度。 解:(1) 直角坐标法设滑块的坐标为，则动点的运动方程为：（2）自然坐标法建立如图所示的自然坐标。点的运动方程（即弧坐标）为：习题5-19 某点的运动方程为：，及的单位为，的单位为。求它的速度、切向加速度与法向加速度。解：（）求动点的速度（）求动点的切向加速度（）求动点的法向加速度习题5-20 已知动点的运动方程为：，及的单位为，的单位为。求其轨迹及时的速度、加速度。并分别求切向加速度、法向加速度与曲率半径。解：（）求动点的轨迹及时的速度、加速度由得：，即该动点的轨迹为抛物线。时的速度时的加速度（）求切向加速度、法向加速度与曲率半径时的切向加速度习题5-21 点沿给定的抛物线运动（其中均以计）。在处时，速度，切向加速度。求点在该位置时的加速度。解：把在处时，速度，的边界条件代入以上二式得： 习题5-22 已知一点的加速度方程为，当时，求点的运动轨迹，并用简捷的方法求时点所在处轨迹的曲率半径。解：（）求运动轨迹方程把时，代入上式得：。故把时，代入上式得：。故 (把时，)把时，代入上式得：。故。故动点的运动方程为：，。消去得动点的运动轨迹：（抛物线）（）求曲率半径高等数学法：当时，故运动学法：切向加速度：法向加速度：曲率半径：当时，故： 习题5-23 已知某动点用极坐标表示的运动方程为。求时点的速度与加速度。的单位为，的单位为，的单位。解：，即时，习题5-24 试用极坐标表示法求题的运动方程以及速度和加速度。解：（）求运动方程（）求速度，（）求加速度习题5-25 杆绕轴以匀角速转动，带动滑块在半径为的固定圆弧形槽内滑动。已知，试