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高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 高中数学专题复习高中数学专题复习 数列的概念数列的概念 知识要点 一 数列的概念 一 数列的概念 一般地 按一定次序排列成一列数叫做数列数列 数列中的每一个数叫做这个 数列的项项 数列的一般形式可以写成 简记为数列 其中 123 n a a aa n a 第一项也成为首项首项 是数列的第项 也叫做数列的通项通项 1 a n an 数列可看作是定义域为正整数集 或它的子集 的函数 当自变量从小N 到大取值时 该函数对应的一列函数值就是这个数列 二 数列的分类 二 数列的分类 按数列中项的多数分为 1 有穷数列有穷数列 数列中的项为有限个 即项数有限 2 无穷数列无穷数列 数列中的项为无限个 即项数无限 三 通项公式 三 通项公式 如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个式子表示成 n an n an 那么这个式子就叫做这个数列的通项公式通项公式 数列的通项公式就是相 n af n 应函数的解析式 四 数列的函数特征 四 数列的函数特征 一般地 一个数列 n a 如果从第二项起 每一项都大于它前面的一项 即 那么这个数列叫做 1nn aa 递增数列递增数列 如果从第二项起 每一项都小于它前面的一项 即 那么这个数列叫做 1nn aa 递减数列递减数列 如果数列的各项都相等 那么这个数列叫做常数列常数列 n a 五 递推公式 五 递推公式 某些数列相邻的两项 或几项 有关系 这个关系用一个公式来表示 叫 做递推公式递推公式 典型例题 例 1 已知数列的通项公式数列中的最小项为 n a 2 1040 n ann n a 例 2 已知数列满足 则 n a 11 3 0 31 n n n a aanN a 20 a 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 A 0B C D 3 3 3 2 例 3 在数列中 n a 10 1 11 n n annN 1 求证 数列先递增 后递减 n a 2 求数列的最大项 n a 例 4 设函数数列的通项满足 2 loglog 4 01 x fxxx n a n a 22 n a fn nN 1 求数列的通项公式 n a 2 数列中有没有最小项 若有 试求出最小项和相应的项数 若没有 n a 请说明理由 等差数列 一 等差数列 一 知识要点 一 等差数列的概念 一 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的差是同一个常数 那么这个数列 久叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 即 常数 这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据 1nn aad 二 等差数列的通项公式 二 等差数列的通项公式 设等差数列的首项为 公差为 则通项公式为 n a 1 ad 1 1 nm aandanm dnmN 三 等差中项 三 等差中项 1 若成等差数列 则叫做与的等差中项 且 aAb Aab 2 ab A 2 若数列为等差数列 则成等差数列 即是与的 n a 12 nnn a aa 1n a n a 2n a 等差中项 且 反之若数列满足 则数列 2 1 2 nn n aa a n a 2 1 2 nn n aa a 是等差数列 n a 四 等差数列的性质 四 等差数列的性质 1 等差数列中 若则 n a mnpq mnpqN mnpq aaaa 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 若则 2mnp 2 mnp aaa 2 若数列和均为等差数列 则数列也为等差数列 n a n b nn ab 3 等差数列的公差为 则 n ad 为递增数列 为递减数列 为常数列 0 n da 0 n da 0 n da 典型例题 例 1 已知数列的通项公式为这个数列是否为等差数列 n a35 n an 例 2 已知等差数列的公差且 n a0d 3737 12 4 n a aaaa 求 例 3 已知等差数列中 试问 217 是否为此数列的项 n a 1545 33 153 aa 若是 说明是第几项 若不是 说明理由 例 4 在等差数列中 n a 1 若则 34567 350 aaaaa 28 aa 2 若 234525425 34 52 aaaaaaaaa 且则 3 若 314 6 2 aaa 则 例 5 等差数列的公差 试比较的大小 n a0d 4967 a aa a与 例 6 已知 5 个数成等差数列 它们的和为 5 平方和为 求这 5 个数 85 9 例 7 设数列和均为等差数列 且那么数 n a n b 1122 25 75 100 abab 列的第 100 项为 nn ab 例 8 已知数列对于任意的满足 则 n apqN 2 6 p qpq aaaa 且 10 a 强化训练 1 如果等差数列中 n a 345127 12 aaaaaa 那么 2 已知为等差数列 n a 13524620 105 99 aaaaaaa 则 3 在等差数列中 n a 3526 7 6 aaaa 则 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 4 已知方程的四个根组成一个首项为的等差数 22 2 2 0 xxm xxn 1 4 列 则 mn 5 若成等差数列 则的值等于 32lg 12lg 2lg xx x A B 或 C D 1032325log2 6 成等差数列的 4 个数之和为 26 第二个数与第三个数之积为 40 求这四个 数 7 设 数列与数列都是等差数列 则xy 12 x a ay 123 x b b b y 21 21 aa bb 8 如果组成各项均大于零的等差数列 且公差 则 1238 a a aa 0d A B C D 1845 a aa a 1845 a aa a 1845 aaaa 1845 a aa a 9 在 1 和 7 之间顺次插入 3 个数 使这 5 个数成等差数列 则这个数ab c 列为 10 在等差数列 2 5 8 3n 1 中 每相邻两数间插入 3 个数 构成的新数 列仍为等差数列 问 1 原数列的第 12 项是新数列的第几项 2 新数列的第 29 项是原数列的第几项 等差数列 二 等差数列 二 知识要点 一 数列前一 数列前 n n 项和项和 n S 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 1 数列的前 n 项和 n a n S 1231 nn aaaaanN 2 数列的通项与前 n 项和的关系 n a n S 1 1 1 2 n nn S n a SSn 二 等差数列前二 等差数列前 n n 项和项和 n S 设等差数列的首项为公差为 则前 n 项和 n a 1 ad 1 1 1 22 n n n aan n Snad 三 等差数列的和的性质 三 等差数列的和的性质 1 等差数列中 连续 m 项的和仍组成等差数列 即 n a 12122 mmmm aaaaaa 仍为等差数列 即成等差数列 21223mmm aaa 232 mmmmm SSSSS 2 等差数列的前 n 项和当时 n a 2 11 1 222 n n ndd Snadnan 0d 可看作关于 n 的二次函数 且不含常数项 n S 3 若等差数列共有 2n 1 奇数 项 则 n a 若等差数列共有 2n 偶数 项 则 1 1 n Sn SSa Sn 奇 奇偶 偶 中间项且 n a 1 n n Sa SSnd Sa 偶 奇偶 奇 且 四 等差数列前四 等差数列前 n n 项和项和的最值问题 的最值问题 n S 设等差数列的首项为公差为 则 n a 1 ad 1 即首正递减 时 有最大值且的最大值为所有非负数 1 00ad 且 n S n S 项之和 2 即首负递增 时 有最小值且的最小值为所有非正数 1 00ad 且 n S n S 项之和 典型例题 例 1 等差数列的前 n 项和为 已知 n a n S 1020 30 50 aa 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 1 求通项 n a 2 若 242 求 n n S 例 2 10 年辽宁卷 14 题 设是等差数列的前 n 项和 若 n S n a 则 36 3 24SS 9 a 例 3 09 年全国卷 14 题 设等差数列的前 n 项和为 若 n a n S 9249 72 Saaa 则 例 4 等差数列 的前项和分别为 若 则 n a n bn n S n T 2 31 n n Sn Tn n n a b A B C D 2 3 21 31 n n 21 31 n n 21 34 n n 例 5 等差数列的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项的 n a 和为 例 6 已知数列的前 n 项和则数列的通项公式为 n a 2 3205 22 n Snn n a 例 7 设等差数列共有奇数项 所有的奇数项之和为 132 所有的偶数项 n a 之和为 120 则该数列共有多少项 中间项为 例 8 等差数列中 问数列前多少项之和最大 求此最 n a 1179 25 aSS 大项 强化训练 1 已知等差数列中 求 n a 2712 24 aaa 13 S 2 等差数列 an 中 a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 则此数列前 20 项 和等于 A 160 B 180 C 200 D 220 3 已知等差数列中 那么数列的前 13 n a 3571013 3224 aaaaa n a 项和 13 S 4 等差数列的公差且 则 n a 1 2 d 100 145S 13599 aaaa 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 5 an 为等差数列 a10 33 a2 1 Sn为数列 an 的前n项和 则S20 2S10 等于 A 40 B 200 C 400 D 20 6 等差数列中 那么当取最小值时 n n a 146 2 aSS 且 n S 7 等差数列中 该数列前多少项的和最小 n a 1912 0 aSS 8 若等差数列的前 n 项和前 m 项和则前 n m 项的和 n a n Sm m Sn n m S 9 设等差数列的前 n 项和为若 则 n a n S 1020 SS 30 S 10 数列是等差数列 n a 1 50 0 6 ad 1 从第几项开始有 0 n a 2 求此数列前 n 项和的最大值 等比数列 一 等比数列 一 知识要点 一 等比数列的概念 一 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的比是同一个不为零的常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字 母表示 q0q 即 这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据 1n n a q q a 为非零常数 二 等比数列的通项公式 二 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为 公比为 则通项公式为 n a 1 aq 1 1 nn m nm aa qa qnm nmN 三 等比中项 三 等比中项 1 若成等比数列 则叫做与的等比中项 且 aAb Aab 2 Aab 2 若数列为等比数列 则成等比数列 即是与的 n a 12 nnn a aa 1n a n a 2n a 等比中项 且 反之若数列满足 则数列是等 2 12 nnn aaa n a 2 12 nnn aaa n a 比数列 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 四 等比数列的性质 四 等比数列的性质 1 等比数列中 若则 若 n a mnpq mnpqN mnpq aaaa 则 2mnp 2 mnp aaa 2 若数列和均为等比数列 则数列也为等比数列 n a n b nn ab 3 等比数列的首项为 公比为 则 n a 1 aq 为递增数列 为递减数列 11 00 101 n aa a qq 或 11 00 011 n aa a qq 或 为常数列 1 n qa 典型例题 例 1 已知等比数列的公比为正数 且 n a 2 39521 2 1 a aa aa 则 例 2 已知各项均为正数的等比数列 123 5 n aa a a 中 789 10 a a a 456 a a a 则 例 3 公差不为零的等差数列中 成等比数列 则 n a 1136 2 aa a a 且 的前 n 项和 n a n S 例 4 已知等比数列中 各项都是正数 且成等差数列 则 n a 132 1 2 2 aaa 910 78 aa aa 例 5 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 且第一 个数与第四个数的和是 16 第二个数与第三个数的和是 12 求这四个数 例 6 设是等比数列的前 n 项和 已知 则公 n S n a 3423 32 32SaSa 比 q 例 7 等比数列中 已知 n a 14 2 16 aa 1 求的通项公式 n a 2 若分别为等差数列的第 3 项和第 5 项 试求数列的通项公式 35 a a n b n b 及前 n 项和 强化训练 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 1 在等比数列中 求 n a 26 2 162aa 10 a 2 已知等比数列 an 中 a3 3 a10 384 则该数列的通项an 3 若等比数列首项为 末项为 公比为 则这个数列的项数为 9 8 1 3 2 3 4 在正项等比数列中 则 n a 153537 225a aa aa a 35 aa 5 等比数列中 求 n a 123123 7 8 aaaa a a n a 6 在各项均为整数的等比数列中 若 则 n a 56 9a a 313233310 loglogloglog aaaa 7 已知数列成等差数列 成等比数列 则的 12 1 4a a 123 1 4b b b 21 2 aa b 值为 8 在等比数列 an 中 a9 a10 a a 0 a19 a20 b 则a99 a100等于 A B C D 9 8 b a 9 b a 10 9 b a 10 b a 等比数列 二 等比数列 二 知识要点 一 等比数列的前一 等比数列的前 n n 项和 项和 设等比数列的首项为 公比为 则 n a 1 a 0q q 1 1 1 1 1 1 n n na q Saq q q 由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知 已知中任意三个 便 1 nn a q n a S 可建立方程组求出另外两个 二 等比数列和的性质 二 等比数列和的性质 设等比数列中 首项为 公比为 则 n a 1 a 0q q 1 连续 m 项的和仍组成等比数列 即 12122 mmmm aaaaaa 仍为等比数列 即成等差数列 21223mmm aaa 232 mmmmm SSSSS 2 当时 1q 1 11111 1 1 111111 n nnn n aq aaaaa Sqqq qqqqqq 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 设 则 1 1 a t q n n Stqt 典型例题 例 1 10 年北京卷 16 题 已知为等差数列 且 n a 36 6 0 aa 1 求的通项公式 n a 2 若等比数列满足 求的前 n 项和 n b 12123 8 bbaaa n b n T 例 2 等比数列的前 n 项和为 已知成等差数列 n a n S 132 S S S 1 求的公比 n a q 2 若 例 3 10 年广东卷 4 题 已知数列为等比数列 13 3 n aaS 求 n a 是它的前 n 项和 若的等差中项为 则 n S 23147 2 2a aaaa 且与 5 4 5 S 例 4 等比数列前n项和为 54 前 2n项和为 60 则前 3n项的和为 A 54 B 64 C 66 D 60 2 3 2 3 例 5 若等比数列的公比 前 n 项和为 则的大小关 n a0q n S 8998 S aS a与 系是 例 6 10 年重庆卷 16 题 已知是首项为 19 公差为 2 的等差数列 n a 为的前 n 项和 n S n a 1 求通项及 n a n S 2 设是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列的通项公式及 nn ba n b 前 n 项和 例 7 设数列满足 n a 212 log1log nn aa 且 1210 10 aaa 111220 aaa 则 例 8 09 年陕西卷 21 题 已知数列满足 n a 1 122 1 2 2 nn n aa aaanN 1 令证明 是等比数列 1 nnn baa n b 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 2 求的通项公式 n a 数列求和数列求和 知识要点 一 常用求和方法 一 常用求和方法 1 1 公式法公式法 直接应用等差数列 等比数列的求和公式 以及正整数的平方和公式 立方 和公式等公式求解 2 2 分组求和法分组求和法 一个数列的通项公式通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列等差或等比或可求和的数列组成 则求和时 可用分组求和法 分别求和而后相加减 3 3 裂项相消法裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消正负项相互抵消 于是前 n 项和 就变成了首尾少数项之和 4 4 错位相减法错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的 此时可把式子的两边同乘以公比 得到 121nnn Saaaa 01 q qq 且 两式错位相减整理即可求出 121nnn qSa qa qaqa q n S 二 常用公式 二 常用公式 1 平方和公式 2 222 121 121 6 n nn nn 2 立方和公式 2 2 3 333 1 121121 2 n n nnnn 3 裂项公式 1111111 11 111 1 1 n nnnn nkknnk nnnkn knnnnk 分式裂项 根式裂项 典型例题 例 1 若数列的通项公式为 则数列的前n项和为 n a221 n n an n a A B C D 2 21 n n 12 21 n n 12 22 n n 2 22 n n 例 2 求数列的前 n 项和 1 4 25 3 63 n n n S 例 3 数列的前 n 项和等于 111 1 12 12312n n S 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 例 4 数列 n a的通项公式是 若前 n 项和为 10 则项数为 1 1 n a nn A 11 B 99 C 120 D 121 例 5 若数列 n a的通项 n n na3 12 求此数列的前n项和 n S 递推数列递推数列 知识要点 知识要点 一 递推数列的概念 一 递推数列的概念 一般地 把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系 把表达递推关系 的式子叫做递推公式 而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列 二 两个恒等式 二 两个恒等式 对于任意的数列恒有 n a 1 12132431nnn aaaaaaaaaa 2 234 1 1231 0 n nn n aaaa aaanN aaaa 三 递推数列的类型 三 递推数列的类型 1 已知 数列的首项 且 求 n a 1 a 1 nn aaf nnN n a通项 给递推公式中的 n 一次取 1 2 3 n 1 可得到下 1 nn aaf nnN 面 n 1 个式子 2132431 1 2 3 1 nn aafaafaafaaf n 利用公式可得 12132431nnn aaaaaaaaaa 1 1231 n aaffff n 2 已知 数列的首项 且 求 n a 1 a 1 n n a f nnN a n a通项 给递推公式中的 n 一次取 1 2 3 n 1 可得到下面 1 n n a f nnN a n 1 个式子 234 1231 1 2 3 1 n n aaaa ffff n aaaa 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 利用公式可得 234 1 1231 0 n nn n aaaa aaanN aaaa 1 1231 n aaffff n 3 已知 数列的首项 且 求 n a 1 a 1 10 nn apaqp pqnN n a通项 设 11 nnnn qq baab pp 则 11 1 nn q ab p 11 11 nnnn qq apaqbpbq pp 1111 11111 nnnnnnnn qpqpqqqpq bp bqbp bqbp bqbp b ppppp 数列是以为首项 为公比的等比数列 n b 11 1 q ba p p 111 111 1111 nnn nnn qqqq bb paapaap pppp 4 已知 数列的首项 且 求 n a 1 a 1 0 n n n pa arnN qar n a通项 1 111 1111 nn n nnnnnnn paqarrqrq a qarapaapapap ap 设 1 1 11 nn nn bb aa 则 1nn rq bb pp 若则 即数列是以为公差的等差数列 rp 11 nnnn qq bbbb pp n b q p 若则 rp 1nn rq bb pp 5 已知 数列的首项 且 求 n a 1 a 1 1 10 n nn apaqp pqnN n a通项 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 11 1 111 11 n nnnn nn nnnn apaap a apaq qqqqq qq 设 1 1 1 nn nn nn aa bb qq 则 1 1 nn p bb qq 若则 即数列是以为公差的等差数列 pq 11 11 nnnn bbbb qq n b 1 q 若则 pq 1 1 nn p bb qq 典型例题 典型例题 例 1 已知数列满足 n a 11 322 nnn aanaa 且求 例 2 已知数列满足 n N 且 a1 1 则 an n a an 1 an n 2 n 例 3 数列满足求数列 n a 11231 1 231 2 nn aaaaanan 的通项公式 n a 例 4 知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 例 5 已数列中 且 n a 1 1a 1 1 1 2 nnn aaa 则 例 6 已知数列 满足a1 1 求 n a 63 3 1 n n n a a a n a 例 7 已数列中 则数列通项 n a 1 1a 11nnnn aaaa n a 例 8 已知数列满足求 n a 1 11 62 1 n nn aaa n a 数列应用数列应用 知识要点 一 零存整取模型 一 零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务 即每月定时存入一笔相同数目的现金 这 是零存 到约定日期 可以取出全部本利和 这是整取 规定每次存入的钱不计复 利 注 单利的计算是仅在原本金上计算利息 对本金所产生的利息不再计算利息 其公式为 利息 本金 利率 存期 以符号 p 代表本金 n 代表存期 r 代表利率 s 代表本金和利息和 即本利和 则有 s p 1 nr 零存整取是等差数列求和在经济方面的应用 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 二 定期自动转存模型 二 定期自动转存模型 银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存 例如 储户某日存入一笔 1 年期 定期存款 1 年后 如果储户不取出本利和 则银行自动办理转存业务 第 2 年的 本金就是第 1 年的本利和 注 复利是把上期末的本利和作为下一期的本金 在计算时每一期本金的数额是 不同的 复利的计算公式是 s p 1 r n 定期自动转存 复利 是等比数列求和在经济方面的应用 三 分期付款模型 三 分期付款模型 分期付款要求每次付款金额相同外 各次付款的时间间隔也相同 分期付款 总额要大于一次性付款总额 二者的差额与分多少次付款有关 且付款的次数越 少 差额越大 分期付款是等比数列的模型 采用分期付款的方法 购买售价为 a 元的商品 或贷款 a 元 每期付款 数相同 购买后 1 个月 或 1 年 付款一次 如此下去 到第 n 次付款后全部 付清 如果月利率 或年利率 为 b 按复利计算 那么每期付款 x 元满足下 列关系 设第 n 次还款后 本利欠款数为 则 n a 1 1 aabx 21321 1 1 1 nn aabx aabxaabx 由知 11 11 nnnn xx aabxaba bb 数列是以为首项 为 n x a b 1 11 xxx aabxba bbb 1qb 公比的等比数列 1 1 1 11 n n n xxx aaqbab bbb 1 nx ab b 1 n n xx aab bb 令得 0 n a 1 0 nxx ab bb 1 11 n n abb x b 专题二 数列的题型与方法专题二 数列的题型与方法 一 一 考点回顾考点回顾 1 数列的概念 数列的通项公式与递推关系式 等差数列和等比数列 的概念 有关公式和性质 2 判断和证明数列是等差 等比 数列常有三种方法 1 定义法 对于 n 2 的任意自然数 验证为同一常 11 nnnn aaaa 数 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 2 通项公式法 若 则为等差数列 1 1 nk aandank d n a 若 则为等比数列 n a 中项公式法 验证都成立 3 在等差数列中 有关 S Sn n的最值问题 常用邻项变号法求解 n a 1 当 d0 时 满足的项数 m 使得取最小值 1 0a m S 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想的应用 4 数列求和的常用方法 公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 分组求和法 累加累积法 归纳猜想证明法等 5 数列的综合应用 函数思想 方程思想 分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到 数列与函数 数列与不等式的综合 用数列知识解决实际问题等内容 6 注意事项 证明数列是等差或等比数列常用定义 即通过证明 n a 或而得 11 nnnn aaaa 1 1 n n n n a a a a 在解决等差数列或等比数列的相关问题时 基本量法 是常用的方法 但有时灵活地运用性质 可使运算简便 对于一般数列的问题常转化为等差 等比数列求解 注意一些特殊数列的求和方法 注意与之间关系的转化 如 n s n a n a 1 1 nn ss s 2 1 n n n a n k kk aaa 2 11 数列的综合题形式多样 解题思路灵活 但万变不离其宗 就是离不开 数列的概念和性质 离不开数学思想方法 只要能把握这两方面 就会迅速打 通解题思路 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓住问题的本质 揭示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题 策略 通过解题后的反思 找准自己的问题 总结成功的经验 吸取失败的教训 增强解综合题的信心和勇气 提高分析问题和解决问题的能力 知识网络 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 1 1 11 1 1 2 2 1 1 22 nn n nn nmpq n n n n a q n a aa q aad n aand nn n Saanad aaaamnpq 两个基 等比数列的定义 本数列 等比数列的通项公式 等比数列 数列 数列的分类 数列 数列的通项公式函数角度理解 的概念 数列的递推关系 等差数列的定义 等差数列的通项公式 等差数列 等差数列的求和公式 等差数列的性质 1 11 1 1 1 11 1 n n n nmpq aa qaq q qqS na q a aa amnpq 等比数列的求和公式 等比数列的性质 公式法 分组求和 错位相减求和 数列 裂项求和 求和 倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明 分期付款 数列的应用 其他 二 二 经典例题剖析经典例题剖析 考点一 等差 等比数列的概念与性质考点一 等差 等比数列的概念与性质 例题例题 1 1 已知等比数列分别是某等差数列的第 5 项 第 3 项 第 432 aaaan中 2 项 且1 64 1 qa公比 求 n a 设 求数列 nn ab 2 log nn Tnb项和的前 解析 解析 I 依题意032 3 2244342 aaaaaaa即 032 1 3 1 3 1 qaqaqa 2 1 10132 2 qqqq或 2 1 1 qq 1 2 1 64 n n a故 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 II nb nn n 72log 2 1 64 log 7 2 1 2 77 77 nn nn bn n nnn Tbn n 13 2 76 6 7 1 时当 2 7 6 21 2 7 71 1 7 78 nnnn TTbn n 时当 7 21 2 7 6 7 2 13 n nn n nn Tn 点评 点评 本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和 本题还考查了转化 的思想 例题例题 2 2 设数列的前 n 项和为 Sn 若是首项为 1 各项均为正数且公比 n a n S 为 q 的等比数列 1 求数列的通项公式 n a n a 2 试比较的大小 并证明你的结论 21 2 nnn aaanN 与 解析 解析 是各项均为正数的等比数列 n S 当 n 1 时 a1 1 当 1 0 n n Sqq 2 1 2 1 n nnn naSSqq 时 2 1 1 1 2 n n n a qqn 当 n 1 时 2 132111 31 2 1 2 1 0 24 aaaSS qqS qq 231 2aaa 当 1 11 2 112 1 2 1 1 2 2 nnn nnn qqSqqSqqSaaan时 32 1 n qq 2 0 0 n qq 当 q 1 时 2 0 1 12 3 nnn aaaq 当 10时 q 2 0 1 12 3 nnn aaaq 当 1时 q 2 0 1 12 3 nnn aaaq 综上可知 当 n 1 时 231 2aaa 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 当 2 1 2 12 nnn aaaqn则若时 若 2 10 12 nnn aaaq则 若 2 1 12 nnn aaaq则 点评点评 本题考查了等比数列的基本知识 还要注意分类讨论 考点二 求数列的通项与求和考点二 求数列的通项与求和 考点三 数列与不等式的联系考点三 数列与不等式的联系 函数 不等式的综合题 是高考的难点热点 三 三 方法总结方法总结 1 求数列的通项通常有两种题型 一是根据所给的一列数 通过观察求通项 一是根据递推关系式求通项 2 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题 对不等式的证明有比较法 放 缩 放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式 3 数列是特殊的函数 而函数又是高中数学的一条主线 所以数列这一部分是 容易命制多个知识点交融的题 这应是命题的一个方向 高考预测高考预测 1 数列中与的关系一直是高考的热点 求数列的通项公式是最为常见的 n S n a 题目 要切实注意与的关系 关于递推公式 在 考试说明 中的考试要 n S n a 求是 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出数列的 前几项 2 探索性问题在数列中考查较多 试题没有给出结论 需要考生猜出或自己找 出结论 然后给以证明 探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求 3 等差 等比数列的基本知识必考 这类考题既有选择题 填空题 又有解答 题 有容易题 中等题 也有难题 4 求和问题也是常见的试题 等差数列 等比数列及可以转化为等差 等比数 列求和问题应掌握 还应该掌握一些特殊数列的求和 5 将数列应用题转化为等差 等比数列问题也是高考中的重点和热点 从本章 在高考中所在的分值来看 一年比一年多 而且多注重能力的考查 6 有关数列与函数 数列与不等式 数列与概率等问题既是考查的重点 也是 考查的难点 今后在这方面还会体现的更突出 四 四 强化训练强化训练 一 选择题 一 选择题 1 在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为 A 34B 35C 36D 37 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 an2 1 n 1 则a1 a2 a3 a4 a5等于 A 1B 1C 0D 2 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 3 an 是等差数列 且a1 a4 a7 45 a2 a5 a8 39 则a3 a6 a9的值是 A 24B 27C 30D 33 4 等差数列 an 中 已知 a1 6 an 0 公差 d N 则 n n 3 的最大值 为 A 5B 6C 7D 8 5 设an n2 10n 11 则数列 an 从首项到第几项的和最大 A 第 10 项B 第 11 项C 第 10 项或 11 项 D 第 12 项 6 已知等差数列 an 的公差为正数 且a3 a7 12 a4 a6 4 则S20为 A 180B 180C 90D 90 7 设函数f x 满足f n 1 n N 且f 1 2 则f 20 2 2nnf 为 A 95B 97C 105D 192 8 由公差为d的等差数列a1 a2 a3 重新组成的数列a1 a4 a2 a5 a3 a6 是 A 公差为d的等差数列B 公差为 2d的等差数列 C 公差为 3d的等差数列D 非等差数列 考查等差数列的性质 9 已知三角形的三边构成等比数列 它们的公比为 q 则的取值范围是 q A B C D 15 0 2 15 1 2 15 1 2 2 51 2 51 10 数列的通项公式 若此数列满足 则的取 n a 2 n ankn 1nn aa nN k 值范围是 A B C D 2k 2k 3k 3k 11 等差数列 的前项和分别为 若 则 n a n bn n S n T 2 31 n n Sn Tn n n a b A B C D 2 3 21 31 n n 21 31 n n 21 34 n n 12 三个数成等比数列 且 则的取值范围是 cba 0 mmcbab A B C D 3 0 m 3 m m 3 0 m 3 0 0 m m 二 填空题 二 填空题 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 13 在数列 an 中 a1 1 an 1 n N N 则是这个数列的第 2 2 n n a a 7 2 项 14 在等差数列 an 中 已知S100 10 S10 100 则S110 15 在 9 和 3 之间插入n个数 使这n 2 个数组成和为 21 的等差数列 则 n 16 等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 若 则 n n T S 13 2 n n 11 11 b a 三 解答题 三 解答题 17 已知函数 1 12 xxxxf 1 求的反函数 并指出其定义域 xf 1 xf 2 若数列 an 的前n项和Sn对所有的大于 1 的自然数n都有 1 1 nn SfS 且a1 1 求数列 an 的通项公式 3 令 1 21 1 n nn n ccc aa c 求 18 已知数列 an 满足 1 1 1 0 1nn a a a Snaaaa 项和其前且 1 求证 an 为等比数列 2 记为数列 bn 的前 n 项和 那么 nnnn TNnaab lg 当 a 2 时 求 Tn 当时 是否存在正整数 m 使得对于任意正整数 n 都有 3 7 a 如果存在 求出 m 的值 如果不存在 请说明理由 mn bb 19 已知数列 an 的前n项和为Sn 且 9 2 0 2 11 aSnSSa nnnn 求证 数列为等差数列 1 n S 求满足的自然数n的集合 0 n a 20 已知数列为等差数列 其前n项和为 n a n S 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 I 若成立 并将其整合为一个 35261754 0SSSSSSaa 试验证 等式 II 一般地 若存在正整数k 使 我们可将 I 中的结论0 1 kk aa 作相应推广 试写出推广后的结论 并推断它是否正确 21 已知数列满足递推式 其中 n a 2 12 1 naa nn 15 4 a 求 321 aaa 求数列的通项公式 n a 求数列的前n项和 n a n S 22 已知等差数列 公差 d 大于 0 且是方程的两 n a 25 aa 2 12270 xx 个根 数列的前 n 项和为 n b 1 1 2 nn Tb n 且T 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 记 1 nnnnn ca bcc A求证 强化训练题答案强化训练题答案 1 答案 C 解析 观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110 121 132 它们构成一个等差数列 公差为 11 数 an 110 n 1 11 11n 99 由an 500 解得n 36 4 n N N n 36 2 答案 A 解析 由已知 an 1 an2 1 an 1 an 1 a2 0 a3 1 a4 0 a5 1 3 答案 D 解析 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9成等差数列 故 a3 a6 a9 2 39 45 33 4 答案 C 解析 an a1 n 1 d 即 6 n 1 d 0n 1 d 6 d N N 当d 1 时 n取最大值n 7 5 答案 C 解析 由an n2 10n 11 n 1 n 11 得a11 0 而 a10 0 a120 a7 a3a7 2 a3 6 从而 得a1 10 d 2 S20 180 7 答案 B 解析 f n 1 f n 2 n 19 2 1 19 20 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 ff ff ff 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 相加得f 20 f 1 1 2 19 f 20 95 f 1 97 2 1 8 答案 B 解析 a2 a5 a1 a4 a2 a1 a5 a4 2d a3 a6 a2 a5 a3 a2 a6 a5 2d 依次类推 9 答案 D 解析 设三边为则 即 2 a aq aq 2 2 2 aaqaq aaqaq aqaqa 2 2 2 10 10 10 qq qq qq 得 即 1515 22 1515 22 q qR qq 或 1515 22 q 10 答案 D 解析 1 由 恒成立 有 1 21 0 nn aank nN 30k 得 3k 11 答案 B 解析 2 121 12121 121 12121 21 22 21 21 2 23 21 131 21 2 n nnnn n nnnn aa n aaaaSnn bb bbbbTnn n 12 答案 D 解析 设 则有bqc q b a 当时 b m q q bmbqb q b 1 1 0 0 q 而 当时 即31 1 q qb m 0 b 3 0 m b 0 q11 1 q qb m 而 则 故 1 b m 0 m0 b0 bm 3 0 0 m mb 13 答案 6 解析 由已知得 是以 1 为首项 公差 1 1 n a n a 1 2 1 n a 1 1 1 a d 的等差数列 2 1 1 n 1 an n 6 n a 1 2 1 1 2 n7 2 14 答案 110 解析 S100 S10 a11 a12 a100 45 a11 a100 45 a1 a110 90a1 a110 2 S110 a1 a110 110 110 2 1 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 15 答案 5 解析 21 n 5 2 39 2 n 16 答案 解析 32 21 11 11 b a 2 21 2 21 2 2 211 211 211 211 bb aa bb aa 32 21 1213 212 21 21 T S 17 解 1 1 1 2 xxy 21 1 1 xxf yx 定义域为 0 2 1 2 11 1 nnnn SSSfS 又 1 0 1 nnn SSS 2 12 1 1 22 1 2 11 nnnnSSa nSnSSaS nnn nnn 为等差数列 而a1 1 符合上式 故 1 2 nan 3 12 12 1 53 1 31 1 21 nn ccc n 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nn 12 n n 18 解 1 当 n 2 时 1 1 1 1 11 nnnnn a a a a a a SSa 整理得 1 a a a n n 所以 an 是公比为 a 的等比数列 4 分 2 n n aaaa 1 lg lg lganaaaaab nnn nnn 当 a 2 时 2lg 22 1 222 2 2lg 2 222 1322 nn n n n nnTnT 两式相减 得 9 分 2lg 2 1 1 2 2lg 22 222 132 n n nn n nT nT 化简整理 得 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 因为 1 a 0 所以 当 n 为偶数时 0 lg anab n n 当 n 为奇数时 0 lg anab n n 所以 如果存在满足条件的正整数 m 则 m 一定是偶数 2 2 22 222 lg 1 1 2Nka a a kaabb k kk 其中 当 9 2 1 3 7 2 aa时 所以 2 7 1 0 lg 1 2 2 2 22 a a aaa k 又因为 所以当 2 7 12108222 bbbbbk kk 即时 当 2468222 2 7 bbbbbbk kk 即时 故存在正整数 m 8 使得对于任意正整数 n 都有 mn bb 19 解 2 0 11 nSSSSSa nnnnnn 2 91 1 11 11 SSS nn 又 为首项 1 为公差的等差数列 2 9 1 为以 n S 由 知 2 211 1 1 2 91n n Sn 211 2 n Sn 当 213 211 4 2 1 nn SSan nnn 时 2 213 211 4 1 9 2 n nn n an 由 解得 而0 213 211 4 nn2 13 2 11 n 6 nNn 高三数学复习资料 数列知识点复习与专题 第 1 页 共 48 页 故所求n的集合为 6 20 解 I 0 54 aaan且为等差数列 154176543217 3SaaSaaaaaaSS 2542654326 2SaaSaaaaSS 4435435 SSSaaSS 又 对任意 8 恒成立等式 nnk SSnNn II 推广 设等差数列的前n项和为Sn 若存在正整数k 使 n a 0 1 kk aa 则对任意 2 2 恒成立等式且 nnk SSknNn 设的公差为 n a 0 12 2 0 11 dkaaad kk 1 1 12 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12 2 12 2 2 12 n nk Sd nn na ndad n ndkd n nkd n nkd nk d k nk dnk aS 故推广后的结论正确 21 解 1 由知1512 41 aaa nn 及 12 34