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文档简介

习题4.1 1. 利用初等变换求下列矩阵的秩： 解：得秩为2得秩为22. 取怎样的数值时，线性方程组 有解，并求它的一般解.解：线性方程组有解，那么系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，所以，解得：3. 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？在无穷多解时，求出它的一般解.解：（1）当，可化为可知此时有无穷多解，可得（2）当，当时，方程组无解（3）当且，方程组有唯一解。4证明：含有个未知量个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例.证明：由已知线性方程组有解可知可以由线性表示，那么线性相关，则反例：例如且，以此为系数的线性方程组无解.5设都为矩阵，证明：秩=秩的充分必要条件是经过初等变换得到（这时称与等价）.证明：由于初等变换不改变矩阵的秩，所以充分性易证.必要性：秩=秩，所以经初等变换后所得的标准形是相同的，那么经过初等变换可以得到6.设是一个阶矩阵，证明：在初等变换下的标准形为 的充分必要条件是证明:必要性：由于初等变换不改变矩阵的秩，所以矩阵是满秩的，从而；充分性：由于，所以矩阵是满秩的，所以标准形中对角线上全是1，即为7.证明：秩=秩+秩.其中证明：因为的前个行向量与后个行向量互相不能线性表示，所以的秩等于前个行向量的极大无关组的个数加上后个行向量的极大无关组，即秩=秩+秩8.证明：线性方程组 有解的充分必要条件是.这个命题能否推广到个未知量个方程的情形？证明：直接证明个未知量个方程的情形对线性方程组的系数矩阵和增广矩阵进行初等行变换，得所以 所以线性方程组有解9.证明：若 同时有解，则证明：利用反证法，倘若，即线性方程组的系数矩阵的行列式为零，那么线性方程组的两个方程系数对应成比例，经过初等变换会出现的情况，所以方程组无解，矛盾，所以10.解下列齐次线性方程组：（1）（2）解：（1）系数矩阵进行初等变换得所以解为（2）系数矩阵进行初等变换得 所以解为11.分别求使以下齐次线性方程组有非零解：（1）（2）解：若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为0（1）所以（2）所以12.证明：（1
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