二次函数整章知识总结.doc

二次函数一二节1. 对函数的再认识，2. 二次函数的概念教学内容1. 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量2. 一次函数ykxb. （其中k、b是常数，且k0）正比例函数ykx（k是不为0的常数）. 反比例函数y（k是不为0的常数）. 3. 一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数叫做x的二次函数。 4. 说明：函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般形式；化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，二次项的系数（特别是用字母表示时）必须不为0.一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x有特殊的取值范围.【典型例题】例1. 若y（m2m）是二次函数，求m的值. 例2. 某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，试写出当每盘的售价涨x元时，该商店月销售额y（元）与x的函数式，并指出自变量x的取值范围。例3. 如图，已知ABC是一个等腰三角形纸片，其中ABAC20cm，BC24cm。若在ABC上截出一个矩形纸片DEFG，使E、F两点在BC边上，D点和G点分别在请你探索y与x之间的函数关系式。分析：这是一道函数与几何的综合题，可利用我们所学的几何知识寻找变量x与y之间的关系。例4. 已知等边ABC的边长为4，P为BC边上的一个动点。作PDAB于D，设BP=x，BPD的面积为y，试将y表示成x的函数，并写出自变量的取值范围。 【模拟试题】一、选择题。1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ）A. B. C. D. 2. 在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下圆环的面积是，则y与x的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 3. 下列结论正确的是（ ）A. 二次函数的取值范围是非零实数B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数C. 形如的函数叫做二次函数D. 二次方程是二次函数的特例4. 设，若与成正比例，成反比例，则y与x的函数关系是（ ）A. 正比例函数B. 一次函数C. 二次函数D. 反比例函数5. 在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ）A. 上B. 上C. 抛物线上D. 双曲线上二、填空题。6. 若是二次函数，则_。7. 二次函数中，_，_，_。8. 已知等腰直角三角形的直角边长为a，则它的面积S_。9. 边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是_。10. 已知一个矩形的长比宽多2cm，设该矩形的长为x cm，则矩形的面积与x cm之间的函数关系式为_。三、解答题。11. 某店将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天销售100件，若每件商品提价1元，则每日的销量就减少10件，设售价为每件x元，每天可获利y元，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围。12. 张成准备用40米长的木栏围一个矩形的羊圈，为节约材料又要使矩形的面积最大，他想利用自家房屋的一面长25米的墙来建羊圈，设羊圈的面积为y米2，利用墙的长为x米，求y关于x的函数关系式与x的取值范围。14. 如图，菱形ABCD中，BAD60，设对角线AC的长是x，面积是y。求y与x之间的函数关系式，并求当时y的值。15. 如图，矩形ABCD中，AB10cm，BC5cm，点M以1cm/s的速度从点B向点C运动，同时，点N以 2cm/s的速度从点C向点D运动，设运动开始第t秒钟时五边形ABMND的面积为，求出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。二次函数的图象和性质知识要点：1. 的图象二次函数的图象是通过原点分布在第一、二象限，且以y轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线，它与对称轴的交点叫抛物线的顶点。2. 的图象对于a取不同的值时，二次函数的图象都是通过原点，以y轴为对称轴的抛物线，并且和抛物线比较，当a取不同的值时，能引起抛物线开口方向和开口大小的改变。（1）当a0时，抛物线开口向上，当a0）或向下（c0）平移|c|个单位得到的，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，c）4. 的图象的图象在h取不同的值时，可以看作由函数的图象向左（h0）平移|h|个单位得到的，它的对称轴是xh，顶点坐标为（h，0）5. 的图象的图象可以看作由函数的图象经过向左（h0），向上（k0）或向下（k0时，抛物线的开口向上；当a0，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（2）若c0 b2a abc0A. 4B. 3C. 2D. 1例6. 已知一次函数yaxc，二次函数yax2bxc（a0），它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 【模拟试题】一、填空1. 二次函数的图象开口方向为向_，对称轴是_，顶点坐标为_。2. 二次函数的图象开口向_，对称轴是_，顶点坐标为_。3. 二次函数的图象开口向_，对称轴是_，顶点坐标为_。4. 二次函数的图象开口向_，对称轴是_，顶点坐标为_。*5. 二次函数的图象，经过_变换，可得的图象。*6. 把抛物线y2x2向右平移一个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是_. 二、选择题1. 抛物线yx23x的顶点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 下面是小华同学对二次函数 图象的描述，其中错误的是（ ）A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为y轴 C. 抛物线的顶点是原点 D. 抛物线经过点（3，1）3. y（x1）22的对称轴是直线（ ）A. x1B. x1C. y1D. y14. 若抛物线ya1x2，ya2x2的形状、大小、开口方向均相同，那么（ ） A. a1a2 B. a1a2 C. |a1|a2| D. a1与a2的关系无法确定*5. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且1x1x2，x31，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A. y1y2y3 B. y3y1y2C. y3y2y1 D. y2y1y36. 函数y=ax2与y=ax的图象大致如图_. A. B. C. D. 三、先配方，将函数写成的形式，再确定图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，五点法画出草图。（1）；（2）四、抛物线的顶点在x轴上，求它的对称轴和顶点坐标，并求抛物线与x轴和y轴的交点坐标。求二次函数的表达式二次函数的解析式有三种形式：1. 一般式：（a，b，c是常数，a0）2. 顶点式：（a，h，k是常数，a0）3. 双根式：（a，是常数，a0）例如：根据下列条件求二次函数的解析式：（1）二次函数的图象经过点A（1，6），B（1，2），C（2，3）（2）已知抛物线顶点为（1，3）且与y轴交点为（0，5）（3）已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（1，0）且经过点M（0，1）【典型例题】例1. 已知抛物线和y轴的交点是（0，），和x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=1，求图象是这条抛物线的二次函数的解析式。解法一：解法二：解法三例2. 已知一条抛物线的顶点是（3，2），它的对称轴和y轴平行，而且和x轴的一个交点是（1，0），求图象是这条抛物线的二次函数的解析式。例3. 已知抛物线的顶点坐标是（1，9），与x轴两交点间的距离是6，求图象是此抛物线的二次函数的解析式。例4. 已知：二次函数，其中m是实数。（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点。（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（，0），B（，0）且的倒数之和为，求这个二次函数的解析式。例5. 设抛物线过点A（1，2）和B（2，1），且与y轴交于点M。用含a的代数式来表示出b和c的值；求抛物线上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；已知在所求出的点中，有一个点也在抛物线上，试判断直线AM与x轴的位置关系，并说明理由。【模拟试题】1. 已知二次函数的图象的对称轴是x=2，且经过点（2，3），（0，1），求这个二次函数的解析式。2. 已知抛物线的顶点坐标是（3，2），它与直线的交点是（1，6），求它们的解析式。3. 二次函数的图象的对称轴是x=3，设是方程的两根，且。（1）求的值。（2）求二次函数的解析式。4. 在直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A（，0），B（，0），且。（1）求二次函数的解析式。（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求POC的面积。5. 已知二次函数，当自变量x3时，函数值取得最小值为2，若图象与x轴交于A、B两点，顶点为M，且AMB的面积为4。求这个二次函数的解析式。若点N是其图象上的一个点，且ANB的面积为12，求直线MN的解析式。二次函数与一元二次方程的关系知识点回顾：直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线的交点为（0， ）. （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点（，）. （3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标为、，是对应一元二次方程的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点； 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故【典型例题】例1. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，且交点在y轴左侧，抛物线开口向下，求此交点的横坐标. 例2. 如图，抛物线经过点（1）试确定的符号；（2）求证：方程的另一根满足；例3. 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（ ）A. （，0）；B. （1，0）；C. （2，0）；D. （3，0）例4. 已知二次函数（1）求证：无论k为何值，图象与x轴总有交点；（2）当k为何值时，图象经过原点？（3）在（2）的图象中，当x取何值时，？当取何值时，？点拨：1）抛物线与x轴交点的个数由的正负决定；2）图象经过原点，则. 3）注意结合图象来判断解集不等号的方向. 例5. 求实数的范围，使关于的方程，（1）有两个负根；（2）有两个实根，且一根比大，另一根比小；例6. 已知二次函数（1）若的图象如图所示，且OA+OB6，求此函数解析式. （2）如图，C、D在抛物线对称轴上，求. 【模拟试题】一、填空1. 如果抛物线y2x2+mx3的顶点在x轴正半轴上，则m_. 2. 二次函数y2x2+x，当x_时，y有最_值，为_. 它的图象与x轴_交点（填“有”或“没有”）. 3. 已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示. 这个二次函数的表达式是y_；当x_时，y3；根据图象回答：当x_时，y0. 4. 某一元二次方程的两个根分别为x12，x25，请写出一个经过（2，0），（5，0）两点的二次函数的表达式：_. （写出一个符合要求的即可）5. 不论自变量x取什么实数，二次函数y2x26x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是_，此时关于一元二次方程2x26x+m0的解的情况是_（填“有解”或“无解”）. 6. 某抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为_（只写一个），此类函数都有_值（填“最大”或“最小”）. 7. 半径为r的圆，如果半径增加m，那么新圆的面积S与m之间的函数关系式是_. *8. 如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点为B（8，9），则这个二次函数的表达式为_，小孩将球抛出了约_米（精确到0. 1 m）. 二、选择9. 关于二次函数yax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）当c0时，函数的图象经过原点； 当b0时，函数的图象关于y轴对称； 函数图象的最高点的纵坐标是；当c0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c0必有两个不相等的实根（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为（ ）A. 130元；B. 120元C. 110元；D. 100元11. 已知抛物线yax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c80的根的情况是A. 有两个不相等的正实数根；B. 有两个异号实数根；C. 有两个相等的实数根；D. 没有实数根. 12. 抛物线ykx27x7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A. k；B. k且k0；C. k；D. k且k013. 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设ABx m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）A.mB. 6 mC. 15 mD. m14. 二次函数yx24x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，ABC的面积为（ ）A. 1 B. 3 C. 4 D. 615. 无论m为任何实数，二次函数yx2+（2m）x+m的图象总经过的点是（ ）A. （1，0）；B. （1，0）C. （1，3）；D. （1，3）16. 为了备战2008年奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好从2.4米高（球门横梁底侧高）入网. 若足球运行的路线是抛物线yax2+bx+c（如图所示），则下列结论正确的是（ ）a a0 0b12aA. B. C. D. 三、解答题.17. 抛物线yax2+bx+c经过点A（2，3）和B（2，3），（1）请你说明方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；（2）抛物线yax2+bx+c能否以轴为对称轴？说说你的理由。18. 方程 x24x+3c70有一个根满足，求c的取值范围。二次函数的应用知识要点知识点1、根据实际例子，建立二次函数模型。知识点2、分析题目中的数量关系，建立二次函数表达式，利用函数的性质，特别是最值问题解决实际问题。解二次函数最值应用题的基本方法是：设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，其一般步骤是：（1）利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出关系式（2）把关系式转化为二次函数解析式（3）求二次函数的最大值或最小值分类1、求经济问题中二次函数的最大值时，一般是求二次函数的条件最值，这就要求在列函数解析式的同时，应主动地求出自变量x的取值范围。例、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件。当销售单价是多少时，销售利润最多？下面我们来研究这个实际问题。设销售单价为x（x13.5）元，则月销售量为：销售额为所获利润为：当销售单价是9.25元时，（），可以获得最大利润。最大利润是分类2、运用几何图形的有关性质、定理与二次函数的知识解决面积的最大值问题。例、如图所示，在直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。（1）设长方形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？知识点3、函数综合题。（1）各类函数的综合二次函数的综合题中必然涉及到其他各类函数的问题。例：二次函数与一次函数的结合，二次函数与反比例函数的结合等。（2）函数、方程、不等式的有机结合函数方程思想是重要的数学思想。函数、方程、不等式的有机结合，可以实现函数和方程、不等式之间的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。用方程的方法处理函数，或用函数的思想处理方程，体现数形结合的数学思想。（3）函数与几何图形的结合。在二次函数图像的基础上，构造几何图形，如三角形、四边形、圆等，可以利用函数的思想方法处理几何的有关计算，如长度、面积等。还有动点变化中的数量关系，也往往转化成函数问题。【典型例题】例1、如图，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示. 在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m. （1）在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗？（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）. 试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由. 若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？例2、施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）. （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上. 为了筹备材料，需求出“脚手架”的三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下. 例3、如图，在RtABC中，ACB=90，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DEAC，交AB于E，设BD=x，ADE的面积为y. （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，ADE的面积最大？最大面积是多少？. 例4、某商场经营一批进价2元一件的小商品，在市场销售中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系：x35911y181462（1）在直角坐标系中：根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点。猜测并确定日销售量y（件）与日销售单价x（元）之间的函数关系式，并作出函数图像。（2）设经营此商品的日销售利润为P（元），根据日销售规律：试求出日销售利润P（元）与日销售单价x之间的关系式，并求出日销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润，日销售利润P是否存在最小值？若存在，试求出，若不存在，请说明理由作出日销售利润P与日销售单价x之间的函数草图，写出x与P的取值范围。 【模拟试题】一、选择题1. 如图，在直角三角形AOB中，AB=OB，且OB=AB=3，设直线，截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 （ ） 2. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：当c=0时，函数的图象经过原点； 当c0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根； 函数图象最高点的纵坐标是；当b=0时，函数的图象关于y轴对称. 其中正确的命题的个数有 （ ）A. 1个