浅谈数学概念的教学方法

浅谈初中数学概念的教学方法浅谈初中数学概念的教学方法 东东莞市莞市 钟钟静静 摘要摘要 本文从引入概念 形成概念 运用概念三个方面探讨了数学概念教学的多种教学方法 以及应注意的问题 并结合实例加以论述 关关键词键词 数学概念 引入概念 形成概念 运用概念 教学方法 数学概念是数学教材结构的最基本的因素 正确理解数学概念 是掌握数学基础知识的 前提 学生如果不能正确地理解数学中的各种概念 就不能很好地掌握各种法则 公式 定理 也就不能应用所学知识去解决实际问题 因此 抓好数学概念的教学 是提高数学教学质量的 关键 1 概念的概述 事物都有许多性质和属性 我们把事物的性质和事物间的关系 统称为事物的属性 1 决定该事物之所以成为该事物并区别于其他事物的属性称为事物的本质属性 它是事物存在 的根据 是与其他事物区别的标志 而非本质属性则是对事物的存在及与其他事物的区别不 起决定性作用的属性 1 概念就是反映事物本质属性的一种思维方式 数学概念是揭示现 实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式 它的产生一般说有两种情形 一种是直接 从客观事物的空间形式或数量关系的反映而得到 另外一种是在已有的数学概念的基础上 经过多层次的抽象概括而成的 1 概念是思维的单位 反映一类事物的特征 是整个数学 知识结构的基础 是判断 选择 推理的重要依据 所以概念教学在整个数学教学中占有重 要地位 2 数学概念教学的基本要求 数学中有各种各样的概念 但各种概念的具体内容及在数学中的地位和作用各不相同 因此 对各个数学概念的具体教学要求也应有所区别 一般来说 对数学中的一些重要概念 的教学要求 应使学生得到较系统的知识 即使学生了解概念的产生和发展间的关系 掌握 概念的内涵和外延及表达形式 包括定义 名词 符号 能正确运用概念解决有关数学问 题 达到理解 巩固 系统 会用的概念教学要求 3 数学概念的教学方法 3 1 引入概念的教学 概念的引入是概念教学的第一步 它是形成概念的基础 引入这个环节设计 组织得好 后面的教学活动就能顺利展开 学生就会对教师所提供的感性材料进行分析 比较 继而顺 利地形成概念 3 1 1 引入概念的方法 3 1 1 1 实例引入 列宁指出 从生动的直观到抽象的思维 并从抽象的思维到实践 这是认识的真理 认识客观实在的辨证途径 2 概念教学也是这样 从直观形象引入概念 充分利用模型 实物 图画 图表等 尤其是几何 有了实物 图画 使学生更容易的获得鲜明的圆 全等 图形等概念 实例引入是指利用学生的生活实际和所熟悉的事物及实例 从具体的感知引出 概念 如初三引入圆的概念 取一定长的线段 固定一个端点在黑板上 另一端点绷紧笔尖 然后将线段绕着固定端点旋转一周 它的另一端点笔尖所画出的封闭曲线就是圆 画图的过 程 形成生动的直观 画图时 引导学生观察图的形成有什么特点 再引导学生抽象出圆的 定义 这样直观演示 引导学生观察 抽象得出概念 不仅使学生丰富了感性认识 形成正 确的概念 而且培养 提高了学生的观察能力和思维能力 3 1 1 2 旧知引入 旧知引入是指利用学生已掌握的概念引出新概念 数学概念之间有着非常密切的联系 许多新概念是建立在已有概念的基础上 是旧概念的延伸和发展 利用学生已有概念引申 推导出新概念 可以强化新旧知识间的内在联系 帮助学生弄清知识的来龙去脉和前因后果 帮助学生建立概念体系 使学生学到的知识是系统的 完整的 利用这种方法引入 还能充 分调动学生学习的积极性 主动性 如讲授一元二次方程概念时 首先复习一元一次方程的 概念的特点 并解释 元 和 次 的意义 然后引导学生观察方程 X X 5 150 并与一元 一次方程作对比 强调其异同点 可以引导学生得出一元二次方程的定义 这样以旧带新 由已知到未知 符合认知规律 给学生留下深刻印象 同时 有助于学生区别两个有密切联 系的概念 3 1 1 3 计算引入 计算引入是指通过计算发现问题 通过计算引出概念 教材中有些概念既不便用实例引 入 又与已有概念联系不大 就可以通过对运算的观察分析 发现其中蕴含的本质特征 揭 示数量或形的本质属性 达到引出概念的目的 如教学 余角和补角 时 可以先给出如下 几个和是 90 的两个角相加的算式 如 30 60 45 45 21 69 15 75 让学生计算出结果 再观察 分析 从中发现规律 继而引出 余角 定义 类似的 教学 补角 和 相反数 时也可以用此引入法 3 1 1 4 联想引入 联想引入是指依据客观事物之间的相互联系 由一事物想到另一事物的引入方法 由于 数学知识间存在着类似 平行 递进 对比 从属 因果等关系 这就使学生的大脑能将两 个看似互不相及的知识联系起来 使学生的思维像展翅的雄鹰在知识的天空中翱翔 教学中 启发学生展开丰富的想象 引发多端的联想 会使学生的创造性思维能力在自由联想的天地 中获得更大发展 如从相反意义的量引入正数和负数的概念 从平方根的概念引入算术平方 根的概念 从平行四边形的概念引入矩形 菱形 正方形的概念等 又如从单项式的次数的 概念引入多项式的次数的概念 从弦的概念引入直径的概念 从圆周角的概念引入弦切角的 概念等 这样引入 既可提高学生的学习兴趣 又能使学生的创造性思维得到发展 3 1 2 引入概念的教学中应注意的问题 3 1 2 1 要注意概念的内涵 不能把数学概念等同于政治 历史科目中的词语解释 例如概念 相反数 若只注重 符号相反 那么对于 已知代数式 X 1 与 2 3 x 互为相反数 就感到不可理解了 3 1 2 2 要适当的运用变式 变式就是变换概念的非本质属性 突出本质属性 从而促进学生对概念的正确理解 2 在进行概念的引入教学时 往往由于教师所提供的感性材料的某些片面性 会使学生忽略对 事物本质属性的认识 影响学生数学概念的形成 这就要求教师在举例或使用教具时 要适 当的运用变式 例如 对于 同位角 内错角 同旁内角 我们不但要照教材图形 1 去 建立概念 而且还应通过图 2 3 中的变式图形给学生作练习 不然今后位置一变 学 生就不会找同位角 内错角 同旁内角了 B C D A E 图形 1 图形 2 图形 3 所以教师要采取变式的方法 引导学生分析不同事物的各种性质 找出同类事物的共同的本 质特征 这样学生才不易受事物的非本质属性 如方位等不同 的影响 正确的理解和掌握 概念 3 2 形成概念的教学 形成概念的教学是整个概念教学过程中至关重要的一步 概念的形成是通过对具体事物 的感知 辨别而抽象 概括出概念的过程 因此学生形成概念的关键就是发现事物或形的本 质属性或规律 3 2 1 形成概念的方法 3 2 1 1 比较发现 比较发现是指通过比较事物之间的相同点和不同点 从而总结出本质属性或规律 这种 方法是针对事物之间的异同点进行探索 能提供对事物较为全面的认识 是一种重要的科学 发现方法 运用这种方法可以使学生正确认识数学知识间的异同和关系 防止知识间的割裂 与混淆 使学生更好的理解和掌握数学概念 如教学 中心对称 时 先给出多组有关旋转 对称的建筑图片和数学图形 让学生分别观察每组图的特点 接着教师用多媒体演示图形以 旋转角 0 180 旋转的动态过程 让学生比较不同旋转角下图形的特点 最后从旋转角为 180 时图形的特点 得出中心对称的概念 3 2 1 2 数形结合 因为数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的一门科学 它的产生与发展是形与数 的相互依存 相互促进的过程 因此在数学概念的教学中 借助与 形 使概念理解得更直 观 更具体 更准确 例如 在不等式组的解集概念的教学中 几个不等式的解集的公共部 分 学生普遍感到 虚无飘渺 然而 借助于数轴 形 的直观性 将几个不等式解集在 同一数轴上表示出来 公共部分就很容易找了 通过如此 数 与 形 的结合 几个不等 式的解集的公共部分神秘的面纱就被揭开了 这样不等式组的解集的概念在学生的头脑中就 有了立足之地 3 2 1 3 归纳发现 归纳发现指的是引导学生对大量的个别材料进行观察 分析 比较 总结 从特殊中 归纳出一般的带有普遍性的规律或结论 教学中可以引导学生通过对具体实例的直接观察 进行归纳推理 得出结论 也可以让学生对实际例子进行分析 归纳出结论 例如讲解 单 项式 概念时 列代数式 边长为 a 的正方体的表面积为 体积为 铅笔的单价为 x 元 圆珠笔的单价为铅笔的 2 5 倍 圆珠笔的单价为 一辆汽车的速度是 v 千米 时 它 t 小时行驶的路程为 千米 数 n 的相反数是 观察以上式子 以上几个式子有什么共同特征 提示 从数据和运算两个角度来考虑 由学生观察的结果让学生总结单项式的概念 这一例子说明 概念的形成是学生根据实例 观察分析特征 概括出概念的本质属性 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式 特别 的 单独一个数或一个字母也叫做单项式 3 2 1 4 尝试发现 尝试发现是指在教学过程中 教师不直接把现成的结论告诉学生 而是在教师的指导下 让学生进行尝试活动 使学生在尝试中学习 在尝试中发现 在尝试中成功 尝试是人们认 识客观事物尤其是未知事物的一种方式 许多发明创造都是通过尝试而成功的 教学中让学 生尝试着去进行发现 成功了可以使学生了解知识的产生发展过程 更好的理解和掌握概念 如果失败 则可引导学生发现自己的错误 使学生了解错误产生的根源 为下一步的尝试成 功打下基础 如上 科学记数法 这节课时 教师先让两位学生上讲台用数字在黑板上表示 光的速度大约是 30 万千米 秒 太阳的半径大约是 69 万 6 千千米 学生容易出错 教 师接着又举例 在日常生活中 常常会遇到像这样的比较大的数 如地球离太阳约有一亿五 千万千米 如此大的数使读 写都很困难 而数学强调简洁而准确的美 怎么办呢 然后让 学生翻开书本 寻找答案 这样 明确了发现的目标和中心 唤起学生的注意 激发了学生 探求的愿望和学习兴趣 充分调动学生学习的积极性和主动性 学习任何知识的最有效途径 便是由自己去发现 这种 发现 学生最深刻 也最容易掌握内在规律和性质 因此 教师 在讲授新课时 当学生自学完课本后 让学生试用科学记数法 n 10a 形式表示 300000000 学生会写 300000000 3 100000000 3 108 教师提问 如果不写 3 100000000 这一步 能否直接写出答案 学生猜想 0 前面是 3 前面写 3 0 的个数是 8 10 的指数就是 8 依此推测 685000 685 103 学生发现不对 前面的数应为 6 85 即 a 是一个整数 位数只有一位的数 应是 685000 6 85 103吗 又将 685000 写成 6 85 100000 验证 应为 6 85 105 再猜想 10 的指数到底由什么来确定呢 学生猜想 由原数的位数减 1 吗 又依 次类推 680005 与 68000 5 的表示法 发现 680005 6 80005 105 而 68000 5 6 80005 104 不是 105 所以指数 n 应是原数的整数位数减 1 这样 学生在教 师的启发引导下 积极思考 进行分析 综合 并展开不同观点的讨论 直到发现结论 学 生得出结论后 运用练习 对不同的情况进行分析 如中间有小数点的 7032 6008 是负 数的 42000 1005 学生巩固后 又让学生将用科学记数法表示的数还原 学生总结规律 10 的指数是 n 整数位数就为 n 1 将 前面的数写完 不足用 0 补足 如 2 00503 108还原为 200503000 共 9 位 此节课教师并不担心学生出错 学习本身就是一 个不断尝试的过程 关键在于能不能抓住学生的注意力 他们是不是愿意参与进来 充分地 表达自我 从而提升对数学的热爱 更好地学习数学 3 2 2 形成概念的教学中应注意的问题 3 2 2 1 注意学生的参与 在数学概念的形成过程中 不仅要让学生明确概念引入的必要性 而且还要让学生参与 对有关感性材料的认识 分析 抽象和概括的过程 这是因为概念的形成总是由具体到抽象 由特殊到一般 经过分析与综合去掉非本质特征 保留本质属性 从而形成概念的 为此 要注意概念在现实生活中的发生过程的教学 例如 教学 零指数 幂的概念时 教师可以 先提出 44 aa 学生一方面可以根据除法知识得出 44 aa 1 另一方面仍旧形式上 使用同底数幂相除的法则 把法则 nm aa n m a 使用的范围扩展到 nm 来计算 得到 044 aaa 为使两者一致 显然 只有规定 0 a 1 0a 这样就产生了定义零指数 的概念 经检验这样的定义对于正整数指数幂的法则也都适合 从而说明这种规定的合理性 3 2 2 2 要揭示数学概念的形成过程 让学生从概念的现实原型 概念的抽象过程 数学思想的指导作用 形式表述和符号化 的运用等多方位理解一个数学概念 使之符合学生的主动建构的教育原理 美国的杜宾斯基 等人在数学教育研究实践中发展起来一种 APOS 理论 4 以函数概念为例 Action 活动 阶段 理解函数需要活动或操作 例如对 s 60t 当 t 取一个确定的 值如 t 2 则 s 就随之确定了一个值 120 当 t 3 时 s 180 通过操作活动 理解函数的意 义 Process 过程 阶段 把上述的操作活动综合为一个函数过程 一般地有当这两个 变量中的某一个变量有确定的值时 另一个变量有唯一确定的值与之相对应 Object 对象 阶段 然后可以把函数过程当作一个独立的对象来处理 在一个变化 过程中都有两个变量 我们可以用 x 和 y 来表示 对于 x 的每一个值 y 都有唯一确定的值 与之相对应 那么我们就说 x 是自变量 y 是 x 的函数 Scheme 图式 阶段 此时的函数概念 以一种综合的心理图式存在于脑海里 在数 学知识体系中占有特定的地位 这一心理图式含有具体的函数实例性质 抽象的过程 完整 的定义 乃至和其他概念的区别和联系 方程 图像等等 其中的 活动 阶段是学生理解概念的一个必要条件 通过 活动 让学生亲身体验 感受直观背景和概念间的关系 过程 阶段是学生对 活动 进行思考 经历思维的内化 概括过程 学生在头脑中对活动进行描述和反思 抽象出概念所特有的性质 对象 阶段 是通过前面的抽象认识到了概念本质 对其进行 压缩 并赋予形式化的定义及符号 使其 达到精致化 成为一个思维中的具体的对象 在以后的学习中以此为对象去进行新的活动 图式 的形成是要经过长期的学习活动进一步完善 起初的图式包含反映概念的特例 抽 象过程 定义及符号 经过学习 建立起与其他概念 规则 图形等的联系 在头脑中形成 综合的心理图式 3 2 2 3 要适当运用对比 对于容易混淆的概念 要通过分析 对比找出它们的异同点 既要找到它们的内在联系 又要找到它们的根本区别 例如 在学习 直线 射线 线段 时 需要引导学生对比 找 出它们的联系和区别 联系 直线 射线 线段是整体与部分的关系 线段和射线是直线的 一部分 它们都是由无数的点构成的 在直线上取一点 则直线可分成两条射线 取两点则 可以分成一条线段和两条射线 把线段两方延长或把射线反向延长就会得到直线 区别 直 线无端点 长度无限 表示直线的字母无序 射线有一个端点 长度无限 表示射线的字母 有序 线段有两个端点 可以测量长度 表示线段的字母无序 这样学生就能清晰地建立 直线 射线 线段 的概念 而不会产生混淆 3 2 2 4 要及时做出言语概括 数学中的有些概念是给予了科学的定义 而有些概念则不给定义 是通过描述或举例说 明的方法给出的 在形成概念的教学过程中 需要把所学概念准确 精炼 及时地概括出来 使其条理化 便于学生记忆 在进行言语概括时 注意要让学生动脑总结 教师不要包办代 替 总结准确的要加以肯定 予以表扬 不准确的要及时纠正 予以鼓励 进行言语概括还 要注意适时 要根据知识的内在联系和学生的认知水平 在学生丰富了感性认识后 顺水推 舟地揭示概念 如过早地概括出概念 学生就会对概念死记硬背 使概念的掌握流于形式 过晚则起不到组织 整理概念的作用 达不到传授知识 培养能力的目的 3 3 运用概念的教学 概念的形成是一个由个别到一般的过程 而概念的运用则是一个由一般到个别的过程 它们是学生掌握概念的两个阶段 通过运用概念解决实际问题 可以加深 丰富和巩固学生 对数学概念的掌握 并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维的深刻性 灵活性 敏捷 性 批判性和独创性等等 同时也有利于培养学生的实践能力 3 3 1 运用概念的方法 3 3 1 1 复述概念或根据概念填空 例如 什么叫做图形的全等 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的 3 3 1 2 运用概念进行判断 例如 判断正误 a 16 的平方根是 4 b 32 X 69 是方程 试判断以如下的 a b c 为边长的三角形是不是直角三角形 如果是 那么哪一边所对的 角是直角 a 25 b 20 c 15 a 1 b 2 c 3 3 3 1 3 运用概念进行推理 例如 已知 2x y 8 0 则 xy 的值为多少 若 a 10 b 6 2 8c 0 则由 a b c 为边长所组成的三角形是什么三角 形 3 3 2 运用概念的教学中应注意的问题 教学中主要是通过练习达到运用概念的目的 练习是使学生掌握基础知识和技能 培养 和发展学生思维能力的重要手段 练习时需要注意以下几点 3 3 2 1 练习的目的要明确 在练习时必须明确每项练习的目的 使每项练习都突出重点 充分体现练习的意图 做 到有的放矢 使练习真正有助于学生理解新学概念 有利于发展学生的思维 如为了帮助学 生巩固新学概念和形成基本技能 可以设计针对性练习 为了帮助学生克服定式的干扰 进 一步明确概念的内涵和外延 可以设计变式练习 为了帮助学生分清容易混淆的概念 可以 设计对比练习 为了帮助学生扩展知识的应用范围 加深学生对新学概念的理解 培养学生 的创造性思维 可以设计开放性练习 为了帮助学生疏通新学概念与其他知识的横向 纵向 联系 促进概念系统的形成 培养学生综合运用知识的能力 可以设计综合性练习等 3 3 2 2 练习的层次要清楚 学生认识事物不能一次完成 需要一个逐步深化和提高的过程 因此练习时要按照由简 到繁 由易到难 由浅入深的原则 逐步加深练习的难度 如学过 二次函数 后 可以安 排以下三个层次的练习 已知二次函数 2 axy 当 2x 时 1y 求此二次函数的 解析式 已知 O 的半径为r 周长为l 面积为s 求 l与r s与r的函的关系式 在 这两个函数中哪个是二次函数 这一层是基本练习 它是刚学完新课之后的单项的 带有模 仿性的练习 它可以帮助学生巩固知识 形成正确的认知结构 当m为何值时 函数 1m2 x 1m y 是二次函数 如果 1kx3 x ky 23k k2 是二次函数 求k的值和 函数解析式 这一层是发展练习 它是在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后 的练习 它可以帮助学生形成熟练的应用技能技巧 已知 如下图 1 所示 正方形 ABCD 边长为 4 E 是 BC 上一点 F 是 CD 上一点 且 AE AF 设 AEF 的面积为 y EC 的长 为x 求 y关于x 的函数关系式 并写出自变量的取值范围 如 下图 2 所示 ABC 的面积为等于 12 BC 6 点 P 在 BC 边上滑动 PD A