华东师大版九年级数学上全册教案

精品文档 1欢迎下载 22 1 二次根式 1 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 1 理解二次根式的概念 并利用 a 0 的意义解答具体题目 a 2 提出问题 根据问题给出概念 应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1 重点 形如 a 0 的式子叫做二次根式的概念 a 2 难点与关键 利用 a 0 解决具体问题 a 教学过程 一 回顾 当 a 是正数时 表示 a 的算术平方根 即正数 a 的正的平方根 a 当 a 是零时 等于 0 它表示零的平方根 也叫做零的算术平方根 a 当 a 是负数时 没有意义 a 二 概括 a 0 表示非负数 a 的算术平方根 也就是说 a 0 是一个非负数 它的平aa 方等于 a 即有 1 0 a 0 2 a a 0 a 2 a 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 注意 在二次根式中 字母 a 必须满足 a 0 即被开方数必须是非负数 a 三 例题讲解 例题 x 是怎样的实数时 二次根式有意义 1 x 分析要使二次根式有意义 必须且只须被开方数是非负数 解 被开方数 x 1 0 即 x 1 所以 当 x 1 时 二次根式有意义 1 x 思考 等于什么 2 a 我们不妨取 a 的一些值 如 2 2 3 3 分别计算对应的 a2 的值 看看有什么规律 概括 当 a 0 时 当 a 0 时 aa 2 aa 2 这是二次根式的又一重要性质 如果二次根式的被开方数是一个完全平方 运用这个性质 可以将它 开方 出来 从而达到化简的目的 例如 2x x 0 22 2 4xx 2224 xxx 四 练习 x 取什么实数时 下列各式有意义 1 2 3 4 x43 23 x 2 3 x xx3443 五 拓展 例 当 x 是多少时 在实数范围内有意义 23x 1 1x 精品文档 2欢迎下载 分析 要使 在实数范围内有意义 必须同时满足中的 0 和中的 x 1 0 23x 1 1x 23x 1 1x 解 依题意 得 230 10 x x 由 得 x 3 2 由 得 x 1 当 x 且 x 1 时 在实数范围内有意义 3 2 23x 1 1x 例 1 已知 y 5 求的值 答案 2 2x 2x x y 2 若 0 求a2004 b2004的值 答案 1a 1b 2 5 六 归纳小结 学生活动 老师点评 本节课要掌握 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 称为二次根号 a 2 要使二次根式在实数范围内有意义 必须满足被开方数是非负数 七 布置作业 教材 P4 1 2 八 反思及感想 22 1 二次根式 2 教学内容 1 a 0 是一个非负数 2 2 a a 0 aa 教学目标 1 理解 a 0 是非负数和 2 a a 0 并利用它们进行计算和化简 aa 精品文档 3欢迎下载 2 通过复习二次根式的概念 用逻辑推理的方法推出 a 0 是一个非负数 用具体数据结合算术a 平方根的意义导出 2 a a 0 最后运用结论严谨解题 a 教学重难点关键 1 重点 a 0 是一个非负数 2 a a 0 及其运用 aa 2 难点 关键 用分类思想的方法导出 a 0 是一个非负数 用探究的方法导出 aa 2 a a 0 教学过程 一 复习引入 学生活动 口答 1 什么叫二次根式 2 当 a 0 时 叫什么 当 a0 2 a2 0 3 a2 2a 1 a 1 0 4 4x2 12x 9 2x 2 2 2x 3 32 2x 3 2 0 所以上面的 4 题都可以运用 2 a a 0 的重要结论解题 a 解 1 因为 x 0 所以 x 1 0 2 x 11x 2 a2 0 2 a2 2 a 3 a2 2a 1 a 1 2 又 a 1 2 0 a2 2a 1 0 a2 2a 1 2 21aa 4 4x2 12x 9 2x 2 2 2x 3 32 2x 3 2 又 2x 3 2 0 4x2 12x 9 0 2 4x2 12x 9 2 4129xx 例 3 在实数范围内分解下列因式 1 x2 3 2 x4 4 3 2x2 3 六 归纳小结 本节课应掌握 1 a 0 是一个非负数 2 2 a a 0 反之 a 2 a 0 aaa 七 布置作业 教材 P4 3 4 八 反思及感想 22 1 二次根式 3 教学内容 a a 0 2 a 教学目标 1 理解 a a 0 并利用它进行计算和化简 2 a 2 通过具体数据的解答 探究 a a 0 并利用这个结论解决具体问题 2 a 教学重难点关键 1 重点 a a 0 2 a 2 难点 探究结论 3 关键 讲清 a 0 时 a 才成立 2 a 教学过程 一 复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容 精品文档 5欢迎下载 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 2 a 0 是一个非负数 a 3 2 a a 0 a 那么 我们猜想当 a 0 时 a 是否也成立呢 下面我们就来探究这个问题 2 a 二 探究新知 学生活动 填空 2 2 2 0 01 2 1 10 2 2 3 2 0 2 3 7 老师点评 根据算术平方根的意义 我们可以得到 2 0 01 0 2 2 2 0 01 2 1 10 1 10 2 2 3 2 3 2 0 2 3 7 3 7 因此 一般地 a a 0 2 a 三 例题讲解 例 1 化简 1 2 3 4 9 2 4 25 2 3 分析 因为 1 9 32 2 4 2 42 3 25 52 4 3 2 32 所以都可运用 a a 0 去化简 2 a 解 1 3 2 4 9 2 3 2 4 2 4 3 5 4 325 2 5 2 3 2 3 四 巩固练习 见小黑板 五 应用拓展 例 2 填空 当 a 0 时 当 aa 则 a 可以是什么数 2 a 分析 a a 0 要填第一个空格可以根据这个结论 第二空格就不行 应变形 使 2 中的 2 a 数是正数 因为 当 a 0 时 那么 a 0 2 a 2 a 1 根据结论求条件 2 根据第二个填空的分析 逆向思想 3 根据 1 2 可知 a 而 2 a a 要大于 a 只有什么时候才能保证呢 aa 即使 a a 所以 a 不存在 当 aa 即使 2 a 2 a 2 a 2 a a a a 0 综上 a2 化简 2 2 x 2 1 2 x 六 归纳小结 本课掌握 a a 0 及运用 同时理解当 a 0 时 a 的应用拓展 2 a 2 a 七 布置作业 1 先化简再求值 当 a 9 时 求 a 的值 甲乙两人的解答如下 2 1 2aa 甲的解答为 原式 a a 1 a 1 乙的解答为 原式 a a a 1 2a 1 17 2 1 a 2 1 a 两种解答中 的解答是错误的 错误的原因是 2 若 1995 a a 求a 19952的值 提示 注意根式有意义的隐含条件 2000a 3 若 3 x 2 时 试化简 x 2 2 3 x 2 1025xx 八 反思及感想 22 2 二次根式的乘除 1 教学内容 a 0 b 0 反之 a 0 b 0 及其运用 abababab 教学目标 1 理解 a 0 b 0 a 0 b 0 并利用它们进行计算和化简abababab 2 由具体数据 发现规律 导出 a 0 b 0 并运用它进行计算 利用逆向思维 abab 得出 a 0 b 0 并运用它进行解题和化简 abab 教学重难点关键 1 重点 a 0 b 0 a 0 b 0 及它们的运用 abababab 2 难点 发现规律 导出 a 0 b 0 abab 3 关键 要讲清 a 0 b 0 并验证你的结论 2 1 a a 七 反思及感想 精品文档 9欢迎下载 22 2 二次根式的乘除 2 教学内容 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 及利用它们进行计算和化简 a b a b a b a b 教学目标 1 理解 a 0 b 0 和 a 0 b 0 及利用它们进行运算 a b a b a b a b 2 利用具体数据 通过学生练习活动 发现规律 归纳出除法规定 并用逆向思维写出逆向等式及利用它 们进行计算和化简 教学重难点关键 1 重点 理解 a 0 b 0 a 0 b 0 及用它们进行计算和化简 a b a b a b a b 2 难点关键 发现规律 归纳出二次根式的除法规定 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 自探 学生活动 请同学们完成下列各题 1 填空 1 2 9 16 9 16 16 36 16 36 3 4 4 16 4 16 36 81 36 81 规律 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 2 利用计算器计算填空 1 2 3 4 3 4 2 3 2 5 7 8 规律 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 每组推荐一名学生上台阐述运算结果 老师点评 根据大家的练习和回答 我们进行合探 二次根式的除法规定 精品文档 10欢迎下载 一般地 对二次根式的除法规定 a 0 b 0 反过来 a 0 b 0 a b a b a b a b 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目 合探 1 计算 1 2 3 4 12 3 31 28 11 416 64 8 分析 上面 4 小题利用 a 0 b 0 便可直接得出答案 a b a b 合探 2 化简 1 2 3 4 3 64 2 2 64 9 b a 2 9 64 x y 2 5 169 x y 分析 直接利用 a 0 b 0 就可以达到化简之目的 a b a b 二 应用拓展 已知 且 x 为偶数 求 1 x 的值 99 66 xx xx 2 25 4 1 xx x 分析 式子 只有 a 0 b 0 时才能成立 a b a b 因此得到 9 x 0 且 x 6 0 即 60 和 a 0 b 0 及其运用 a b a b a b a b 四 作业 写在小黑板上 一 选择题 1 计算的结果是 112 121 335 A B C D 2 7 5 2 7 2 2 7 2 阅读下列运算过程 数学上将这种把分母的根号去掉的过 133 3333 22 52 5 5555 程称作 分母有理化 那么 化简的结果是 2 6 A 2 B 6 C D 1 3 66 二 填空题 1 分母有理化 1 2 3 1 3 2 1 12 10 2 5 2 已知 x 3 y 4 z 5 那么的最后结果是 yzxy 三 综合提高题 计算 精品文档 11欢迎下载 B A C 1 m 0 n 0 3 2 nn mm 3 3 1n mm 3 2 n m 2 3 a 0 22 2 33 2 mn a 2 3 2 mn a 2 a mn 五 反思及感想 22 2 二次根式的乘除 3 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算 教学目标 1 理解最简二次根式的概念 并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式 2 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念 并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简 二次根式的要求 重难点关键 1 重点 最简二次根式的运用 2 难点关键 会判断这个二次根式是否是最简二次根式 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 自探 1 学生活动 请同学们完成下列各题 请三位同学上台板书 计算 1 2 3 3 5 3 2 27 8 2a 老师点评 3 5 15 5 3 2 27 6 3 8 2a 2a a 自探 2 观察上面计算题的最后结果 可以发现这些式子中的二次根式有什么特点 有如下两个特点 1 被开 方数不含分母 2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式 叫做最简二次根式 合探 1 把下面的二次根式化为最简二次根式 1 2 3 5 3 12 2442 x yx y 23 8x y 合探 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 2 5cm BC 6cm 求 AB 的长 AB 6 5 cm 22 2 56 2 516916913 36 2424 因此 AB 的长为 6 5cm 二 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 应用拓展 观察下列各式 通过分母有理化 把不是最简二次根式的化成最简二次根式 1 1 21 1 21 21 2 1 21 21 2 精品文档 12欢迎下载 1 32 1 32 32 32 32 32 32 同理可得 1 43 43 从计算结果中找出规律 并利用这一规律计算 1 的值 1 21 1 32 1 43 1 20022001 2002 分析 由题意可知 本题所给的是一组分母有理化的式子 因此 分母有理化后就可以达到化简的目的 四 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握 最简二次根式的概念及其运用 五 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 1 如果 y 0 是二次根式 那么 化为最简二次根式是 x y A y 0 B y 0 C y 0 D 以上都不对 x y xy xy y 2 把 a 1 中根号外的 a 1 移入根号内得 1 1a A B C D 1a 1 a 1a 1 a 3 在下列各式中 化简正确的是 A 3 B C a2 D x 5 3 15 1 2 1 2 2 4 a bb 32 xx 1x 4 化简的结果是 A B C D 3 2 27 2 3 2 3 6 3 2 二 填空题 1 化简 x 0 422 xx y 2 a化简二次根式号后的结果是 21 a a 三 综合提高题 1 已知 a 为实数 化简 a 阅读下面的解答过程 请判断是否正确 若不正确 请写出正确的 3 a 1 a 解答过程 解 a a a a 1 3 a 1 a a 1 a a a 2 若 x y 为实数 且 y 求的值 22 441 2 xx x xyxy A 六 反思及感想 精品文档 13欢迎下载 22 3 二次根式的加减 1 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法 重难点关键 1 重点 二次根式化简为最简根式 2 难点关键 会判定是否是最简二次根式 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 自探 学生活动 计算下列各式 1 2 3 2 2 3 5 3 2 3 4 3 2 22888779 7 332 因此 二次根式的被开方数相同是可以合并的 如 2与表面上看是不相同的 但它们可以合并吗 可以28 的 板书 3 3 2 5 和 3 3 3 628222327333 所以 二次根式加减时 可以先将二次根式化成最简二次根式 再将被开方数相同的二次根式进行合并 合探 1 计算 1 2 81816x64x 分析 第一步 将不是最简二次根式的项化为最简二次根式 第二步 将相同的最简二次根式进行合并 合探 2 计算 1 3 9 3 2 48 1 3 124820125 二 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 应用拓展 已知 4x2 y2 4x 6y 10 0 求 y2 x2 5x 的值 2 9 3 xx 3 x y 1 x y x 分析 本题首先将已知等式进行变形 把它配成完全平方式 得 2x 1 2 y 3 2 0 即 x y 3 其次 根据二次根式的加减运算 先把各项化成最简二次根式 再合并同类二次根式 1 2 最后代入求值 四 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握 1 不是最简二次根式的 应化成最简二次根式 2 相同的最简二次根式进行合并 五 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 1 以下二次根式 中 与是同类二次根式的是 12 2 2 2 3 273 A 和 B 和 C 和 D 和 2 下列各式 3 3 6 1 2 2 其中错误的有 33 1 7 72682 24 3 2 精品文档 14欢迎下载 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 二 填空题 1 在 3 2中 与是同类二次根式的有 8 1 75 3 a 2 9 3 a 125 3 2 3a a 0 2 1 8 3a 2 计算二次根式 5 3 7 9的最后结果是 abab 三 综合提高题 1 已知 2 236 求 的值 结果精确到 0 01 580 4 1 5 1 3 5 4 45 5 2 先化简 再求值 6x 4x 其中 x y 27 y x 3 3 xy y x y 36xy 3 2 六 反思及感想 22 3 二次根式的加减 2 精品文档 15欢迎下载 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 运用二次根式 化简解应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点 又是本节课的难点 关键点 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 上节课 我们已经学习了二次根式如何加减的问题 我们把它归为两个步骤 第一步 先将二次根式化成最简二 次根式 第二步 再将被开方数相同的二次根式进行合并 下面我们研究三道题以做巩固 自探 1 如图所示的 Rt ABC 中 B 90 点 P 从点 B 开始沿 BA 边以1 厘米 秒的速度 向点 A 移动 同时 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米 秒的速度向点 C 移 动 问 几秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离是多少厘米 结果用最简二次根式表 示 分析 设 x 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根据三角形面积公式就 可以求出 x 的值 解 设 x 后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB x BQ 2x 依题意 得 x 2x 35 x2 35 x 1 2 35 所以秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 35 PQ 5 22222 455 35PBBQxxx 7 答 秒后 PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ 的距离为 5厘357 米 自探 2 要焊接如图所示的钢架 大约需要多少米钢材 精确到0 1m 解 由勾股定理 得 AB 2 2222 4220ADBD 5 BC 2222 21BDCD 5 所需钢材长度为 AB BC AC BD 2 5 2 3 7 3 2 24 7 13 7 m 555 答 要焊接一个如图所示的钢架 大约需要 13 7m 的钢材 三 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 四 应用拓展 若最简根式与根式是同类二次根式 求 a b 的值 3 43 a b ab 232 26abbb 注 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式 分析 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后 被开方数相同 事实上 根式 不是最简二次根式 因此把化简成 b 才由同类二次根式的定义 232 26abbb 232 26abbb 26ab 得 3a b 2 2a b 6 4a 3b 解 首先把根式化为最简二次根式 232 26abbb b 232 26abbb 2 2 16 ba 26ab 由题意得 a 1 b 1 4326 32 abab ab 246 32 ab ab 五 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 精品文档 16欢迎下载 1 已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5 那么斜边的长应为 A 5 B C 2 D 以上都不对2505 2 小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框 为了增加其稳定性 他沿长方形的对角线又钉 上了一根木条 木条的长应为 米 A 13 B C 10 D 510013001313 二 填空题 1 某地有一长方形鱼塘 已知鱼塘的长是宽的 2 倍 它的面积是 1600m2 鱼塘的宽是 m 2 已知等腰直角三角形的直角边的边长为 那么这个等腰直角三角形的周长是 2 三 综合提高题 1 若最简二次根式与是同类二次根式 求 m n 的值 2 2 32 3 m 2 12 410 n m 2 同学们 我们以前学过完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 你一定熟练掌握了吧 现在 我们又学习了二次根式 那么所有的正数 包括 0 都可以看作是一个数的平方 如 3 2 3 5 2 你知道是谁的二次根式呢 下面我们观察 5 1 2 2 2 1 12 2 2 1 3 2 22222 反之 3 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 12222232 2 2 求 1 2 3 你会算吗 32 2 42 3 412 4 若 则 m n 与 a b 的关系是什么 并说明理由 2ab mn 六 反思及感想 22 3 二次根式的加减 3 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘 相除 多项式与单项式相乘 相除 多项式与多项式相乘 相除 乘法公式的应用 教学目标 1 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 2 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等运算 重难点关键 1 重点 二次根式的乘除 乘方等运算规律 2 难点关键 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 一 设疑自探 解疑合探 精品文档 17欢迎下载 自探 1 学生活动 请同学们完成下列各题 1 计算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 计算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 老师点评 这些内容是对八年级上册整式运算的再现 它主要有 1 单项式 单项式 2 单项式 多项式 3 多项式 单项式 4 完全平方公式 5 平方差公式的运用 如果把上面的 x y z 改写成二次根式呢 以上的运算规律是否仍成立呢 仍成立 整式运算中的 x y z 是一种字母 它的意义十分广泛 可以代表所有一切 当然也可以代表二次根式 所以 整式中的运算规律也适用于二次根式 自探 2 计算 1 2 4 3 2683622 分析 刚才已经分析 二次根式仍然满足整式的运算规律 所以直接可用整式的运算规律 自探 3 计算 1 6 3 2 55107107 分析 刚才已经分析 二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 二 质疑再探 同学们 通过学习你还有什么问题或疑问 与同伴交流一下 三 应用拓展 已知 2 其中 a b 是实数 且 a b 0 xb a xa b 化简 并求值 1 1 xx xx 1 1 xx xx 分析 由于 1 因此对代数式的化简 可先将分母有理化 再通过解含有字母1x x1x x 系数的一元一次方程得到 x 的值 代入化简得结果即可 解 原式 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 1 xx xxxx x 1 x 2 x 2 4x 2 2 1 1 xx xx 2 1 1 xx xx 1 x x 1 x x 2 b x b 2ab a x a bx b2 2ab ax a2 xb a xa b a b x a2 2ab b2 a b x a b 2 a b 0 x a b 原式 4x 2 4 a b 2 四 归纳小结 师生共同归纳 本节课应掌握二次根式的乘 除 乘方等运算 五 作业设计 写在小黑板上 一 选择题 1 3 2 的值是 2415 2 2 3 2 A 3 B 3 C 2 D 20 3 33030 2 3 330 2 3 3 20 3 330 2 计算 的值是 A 2 B 3 C 4 D 1x1x x1x 二 填空题 1 2的计算结果 用最简根式表示 是 1 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2的计算结果 用最简二次根式表示 是 333 精品文档 18欢迎下载 3 若 x 1 则 x2 2x 1 2 4 已知 a 3 2 b 3 2 则 a2b ab2 22 三 综合提高题 1 化简 57 10141521 2 当 x 时 求 的值 结果用最简二次根式表示 1 21 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 六 反思及感想 23 123 1 一元二次方程一元二次方程 教学目标教学目标 1 知道一元二次方程的定义 能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 在分析 揭示 0 2 cbxaxa 实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型 一元二次方程 的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关 系的工具 增加对一元二次方程的感性认识 3 会用试验的方法估计一元二次方程的解 重点难点重点难点 1 一元二次方程的意义及一般形式 会正确识别一般式中的 项 及 系数 2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性 教学过程教学过程 一 做一做 1 问题一 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为 900 平方米的一块长方形绿地 并且长比宽 多 10 米 那么绿地的长和宽各为多少 分 析 设长方形绿地的宽为 x 米 不难列出方程 x x 10 900 整理可得 x2 10 x 900 0 1 2 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册 预计到明年年底增加到 7 2 万册 求这两年的年平均增长率 解 设这两年的年平均增长率为 x 我们知道 去年年底的图书数是 5 万册 则今年年底的图书数是 5 1 x 万册 同样 明年年底的图书数又是今年年底的 1 x 倍 即 5 1 x 1 x 5 1 x 2万册 可列得方程 5 1 x 2 7 2 整理可得 5x2 10 x 2 2 0 2 3 思考 讨论 这样 问题 1 和问题 2 分别归结为解方程 1 和 2 显然 这两个方程都不是一元一次方程 那么这两个方程与一 元一次方程的区别在哪里 它们有什么共同特点呢 学生分组讨论 然后各组交流 共同特点 1 都是整式方程 2 只含有一个未知数 3 未知数的最 高次数是 2 二 一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 这样的方程叫做一元二次方程 通常可写成 如下的一般形式 ax2 bx c 0 a b c 是已知数 a 0 其中叫做二次项 叫做二次项系数 叫做一次项 叫做一次 2 axabxb 项系数 叫做常数项 c 三 例题讲解与练习巩固 1 例 1 下列方程中哪些是一元二次方程 试说明理由 精品文档 19欢迎下载 1 2 3 4 3523 xx4 2 x 2 1 1 2 x x x 22 2 4 xx 2 例 2 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数项 1 2 x 2 x 3 8 3 yy 2 6 2 2 43 3 xxx 说明 一元二次方程的一般形式 0 具有两个特征 一是方程的右边为 0 二是左边的二次 0 2 cbxaxa 项系数不能为 0 此外要使学生意识到 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项都是包括符号的 3 例 3 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为一元一次方程 本题先由同学讨论 再由教师归纳 解 当 2 时是一元二次方程 当 2 0 时是一元一次方程 aab 4 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 5m 4 0 有一根为 2 求 m 分析 一根为 2 即 x 2 只需把 x 2 代入原方程 5 练习一 将下列方程化为一般形式 并分别指出它们的二次项系数 一次项系数和常数项 2x x 1 3 x 5 4 xx322 2 23112 22 yyyy 练习二 关于的方程 在什么条件下是一元二次方程 在什么条件下是一元一次方程 x 0 3 2 mnxxm 本课小结 本课小结 1 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式为 0 一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的 这与多 0 2 cbxaxa 项式中的项 次数及其系数的定义是一致的 3 在实际问题转化为数学模型 一元二次方程 的过程中 体会学习一元二次方程的必要性和重要性 布置作业布置作业 课本第 27 页习题 1 2 3 23 2 223 2 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标 教学目标 1 会用直接开平方法解形如 a 0 ab 0 的方程 bkxa 2 2 灵活应用因式分解法解一元二次方程 3 使学生了解转化的思想在解方程中的应用 渗透换远方法 重点难点重点难点 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程 理解一元二次方程无实根的解题过程 教学过程教学过程 问 怎样解方程的 2 1256x 让学生说出作业中的解法 教师板书 解 1 直接开平方 得 x 1 16 所以原方程的解是 x1 15 x2 17 2 原方程可变形为 2 12560 x 方程左边分解因式 得 精品文档 20欢迎下载 x 1 16 x 1 16 0 即可 x 17 x 15 0 所以 x 17 0 x 15 0 原方程的蟹 x1 15 x2 17 二 例题讲解与练习巩固 1 例 1 解下列方程 1 x 1 2 4 0 2 12 2 x 2 9 0 分 析 两个方程都可以转化为 a 0 ab 0 bkxa 2 的形式 从而用直接开平方法求解 解 1 原方程可以变形为 x 1 2 4 直接开平方 得 x 1 2 所以原方程的解是 x1 1 x2 3 原方程可以变形为 有 所以原方程的解是 x1 x2 2 说明 1 这时 只要把看作一个整体 就可以转化为 0 型的方法去解决 这里体现了整 1 x bx 2 b 体思想 3 练习一 解下列方程 1 x 2 2 16 0 2 x 1 2 18 0 3 1 3x 2 1 4 2x 3 2 25 0 三 读一读 四 讨论 探索 解下列方程 1 x 2 2 3 x 2 2 2y y 3 9 3y 3 x 2 2 x 2 0 4 2x 1 2 x 1 2 5 4912 2 xx 本课小结本课小结 1 对于形如 a 0 a 0 的方程 只要把看作一个整体 就可转化为 n 0 的形 bkxa 2 b kx nx 2 式用直接开平方法解 2 当方程出现相同因式 单项式或多项式 时 切不可约去相同因式 而应用因式分解法解 布置作业布置作业 课本第 37 页习题 1 5 6 P38 页习题 2 1 2 23 2 323 2 3 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 掌握用配方法解数字系数的一元二次方程 2 使学生掌握配方法的推导过程 熟练地用配方法解一元二次方程 3 在配方法的应用过程中体会 转化 的思想 掌握一些转化的技能 重点难点重点难点 精品文档 21欢迎下载 使学生掌握配方法 解一元二次方程 把一元二次方程转化为 qpx 2 教学过程教学过程 一 复习提问 解下列方程 并说明解法的依据 1 2 3 2 321x 2 160 x 2 210 x 通过复习提问 指出这三个方程都可以转化为以下两个类型 2 2 00 xb bxab b 和 根据平方根的意义 均可用 直接开平方法 来解 如果 b 0 方程就没有实数解 如 2 12x 请说出完全平方公式 2 22 2 22 2 2 xaxaxa xaxaxa 二 引入新课 我们知道 形如的方程 可变形为 再根据平方根的意义 用直接开平方法求解 那 0 2 Ax 0 2 AAx 么 我们能否将形如的一类方程 化为上述形式求解呢 这正是我们这节课要解决的问题 2 0 xbxc 三 探索 1 例 1 解下列方程 2x 5 2 4x 3 0 2 x 2 x 思 考 能否经过适当变形 将它们转化为 a 的形式 应用直接开方法求解 2 解 1 原方程化为 2x 1 6 方程两边同时加上 1 2 x 2 原方程化为 4x 4 3 4 方程两边同时加上 4 2 x 三 归 纳 上面 我们把方程 4x 3 0 变形为 1 它的左边是一个含有未知数的完全平方式 右边是一个非负常 2 x 2 2x 数 这样 就能应用直接开平方的方法求解 这种解一元二次方程的方法叫做配方法 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后 左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解 那么 在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢 精品文档 22欢迎下载 四 试一试 对下列各式进行配方 22 8 xxx 22 10 xxx 22 5 xxx 22 9 xxx 22 2 3 xxx 22 xbxx 通过练习 使学生认识到 配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方 五 例题讲解与练习巩固 1 例 2 用配方法解下列方程 1 6x 7 0 2 3x 1 0 2 x 2 x 2 练习 填空 1 2 8x x 2 2 2 6xx 2 x 3 x x 2 4 4 6x 4 x 2 2 x 2 x 用配方法解方程 1 8x 2 0 2 5 x 6 0 2 x 2 x 3 六 试一试 2 76xx 用配方法解方程 x2 px q 0 p2 4q 0 先由学生讨论探索 教师再板书讲解 解 移项 得 x2 px q 配方 得 x2 2 x 2 2 q 2 p 2 p 2 p 即 x 2 2 p 4 4 2 qp 因为 p2 4q 0 时 直接开平方 得 x 2 p 2 4 2 qp 所以 x 2 p 2 4 2 qp 即 x 2 4 2 qpp 思 考 这里为什么要规定 p2 4q 0 七 讨 论 1 如何用配方法解下列方程 4x2 12x 1 0 请你和同学讨论一下 当二次项系数不为 1 时 如何应用配方法 精品文档 23欢迎下载 2 关键是把当二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程 先由学生讨论探索 再教师板书讲解 解 1 将方程两边同时除以 4 得 x2 3x 0 4 1 移项 得 x2 3x 4 1 配方 得 x2 3x 2 2 2 3 4 1 2 3 即 x 2 2 3 2 5 直接开平方 得 x 2 3 2 10 所以 x 2 3 2 10 所以 x1 x2 2 103 2 103 3 练习 用配方法解方程 1 2 3x2 2x 3 0 0272 2 xx 3 原方程无实数解 0542 2 xx 本课小结本课小结 让学生反思本节课的解题过程 归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤 1 把常数项移到方程右边 用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为 1 2 在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方 使左边成 为完全平方 如果方程的右边整理后是非负数 用直接开平方法解之 如果右边是个负数 则指出原方程无实根 布置作业布置作业 P38 页习题 2 3 4 5 6 3 4 1 2 23 223 2 4 4 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程 2 使学生经历探索求根公式的过程 培养学生抽象思维能力 3 在探索和应用求根公式中 使学生进一步认识特殊与一般的关系 渗透辩证唯物广义观点 重点难点重点难点 1 难点 掌握一元二次方程的求根公式 并应用它熟练地解一元二次方程 2 重点 对文字系数二次三项式进行配方 求根公式的结构比较复杂 不易记忆 系数和常数为负数时 代入求根公 式常出符号错误 教学过程教学过程 一 复习旧知 提出问题 1 用配方法解下列方程 1 2 xx1015 2 2 1 3120 3 xx 2 用配方解一元二次方程的步骤是什么 精品文档 24欢迎下载 3 用直接开平方法和配方法解一元二次方程 计算比较麻烦 能否研究出一种更好的方法 迅速求得一元二次方程 的实数根呢 二 探索同底数幂除法法则 问题 1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢 2 0 0 axbxca 2 2 2 4 4 bbac x aa 教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程 让学生分组讨论交流 达成共识 因为 方程两边都除以 得 0a a 2 0 bc xx aa 移项 得 2 bc xx aa 配方 得 222 2 222 bbbc xx aaaa A A 即 2 2 2 4 24 bbac x aa 问题 2 当 且时 大于等于零吗 2 40bac 0a 2 2 4 4 bac a 让学生思考 分析 发表意见 得出结论 当时 因为 所以 从而 2 40bac 0a 2 40a 2 2 4 0 4 bac a 问题 3 在研究问题 1 和问题 2 中 你能得出什么结论 让学生讨论 交流 从中得出结论 当时 一般形式的一元二次方程的 2 40bac 2 0 0 axbxca 根为 即 2 4 22 bbac x aa 2 4 2 bbac x a 由以上研究的结果 得到了一元二次方程的求根公式 2 0 0 axbxca 2 4 2 bbac x a 2 40bac 这个公式说明方程的根是由方程的系数 所确定的 利用这个公式 我们可以由一元二次方程中系数 abc 的值 直接求得方程的解 这种解方程的方法叫做公式法 abc 思考 当时 方程有实数根吗 2 40bac 三 例题 例 1 解下列方程 1 2 2 260 xx 2 42xx 精品文档 25欢迎下载 3 4 2 54120 xx 2 44101 8xxx 教学要点 1 对于方程 2 和 4 首先要把方程化为一般形式 2 强调确定 值时 不要把它们的符号弄错 abc 3 先计算的值 再代入公式 2 4bac 例 2 补充 解方程 2 10 xx 解 这里 1a 1b 1c 22 4 1 4 1 130bac 因为负数不能开平方 所以原方程无实数根 让学生反思以上解题过程 归纳得出 当时 方程有两个不相等的实数根 2 40bac 当时 方程有两个相等的实数根 2 40bac 当时 方程没有实数根 2 40bac 四 课堂练习 1 35 练习 2 阅读 39 阅读材料 小结小结 根据你学习的体会 小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法 通常你是如何选择的 和同学交流一下 作业作业 38 习题 4 3 4 5 6 7 8 5 23 223 2 5 5 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教学目标教学目标 1 使学生能根据量之间的关系 列出一元二次方程的应用题 2 提高学生分析问题 解决问题的能力 3 培养学生数学应用的意识 重点难点重点难点 认真审题 分析题中数量关系 适当设未知数 寻找等量关系 布列方程是本节课的重点 也是难点 教学过程教学过程 一 复习旧知 提出问题 1 叙述列一元一次方程解应用题的步骤 2 用多种方法解方程 22 31 69xxx 让学生尝试用多种方法解方程 归结为 解法 1 将方程化为 直接开平方 得 22 31 3 xx 31 3 xx 解得 1 2x 2 1 2 x 精品文档 26欢迎下载 解法 2 将方程化为一般形式 进而转化为 用配方法可求方程的解 2 2320 xx 2 3 10 2 xx 解法 3 将方程化为一般形式 用公式法求解 其中 2 2320 xx 22 4 3 4 2 2 25bac 提问 用哪种方法解方程更简便 22 31 69xxx 3 现在 你能解决 23 1 的问题 1 了吗 二 解决问题 请同学们先看看 26 页问题 1 要想解决 23 1 的问题 1 首先要解方程 同学伞能解这个方程 2 109000 xx 吗 让学生动手解题并口答结果 1 55 37x 2 55 37x 提问 1 所求 都是所列方程的解吗 1 x 2 x 2 所求 都符合题意吗 1 x 2 x 让学生思考 分析 真正理解负数根不符合题意 应舍去符合题意的解是 2 55 3725 4x 1035 4x 3 1 和 2 说明了什么问题 让学生交流讨论 体会到把实际问题转化为数学问题来解决 求得方程的解 不一定是原问题的解答 因此 要注意 是检验解是否符合题意 作为应用题 还应作答 三 例题 例 1 如图 一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮 要在它的四角截去四个相等的小正方形 折成一个 无盖的长方体水槽 使它的底面积为 800 平方米 求截去正方形的边长 解 设截去正方形的边长 x 厘米 底面 图中虚线线部分 长等于 厘米 宽等于 厘米 底 S 面 请同学们自己列出方程并解这个方程 讨论它的解是否符合题意 由学生回答解题过程 教师板书 解 设截去正方形的边长为 x 厘米 根据题意 得 60 2x 40 2x 800 解方程得 1 10 x 2 40 x 经检验 不符合题意 应舍去 符合题意的解是 2 40 x 1 10 x 答 截去正方形的边长为 10 厘米 四 课堂练习 36 练习 1 2 小结 小结 让学生反思 归纳 总结 应用一元二次方程解实际问题 要认真审题 要分析题意 找出数量关系 列出方程 把 实际问题转化为数学问题来解决 求得方程的解之后 要注意检验是否任命题意 然后得到原问题的解答 精品文档 27欢迎下载 作业 作业 38 习题 5 6 7 23 223 2 6 6 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 六六 教学目标教学目标 1 使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题 2 培养学生分析问题 解决问题的能力 提高数学应用的意识 重点难点重点难点 本节课的重点和难点都是列出一元二次方程 解决有关变化率的实际问题 教学过程教学过程 一 创设问题情境 百分数的概念在生活中常常见到 而量的变化率更是经济活动中经常接触 下面 我们就来研究这样的问题 问题 某商品经两次降价 零售价降为原来的一半 已知两次降价的百分率一样 求每次降价的百分率 精确到 0 1 二 探索解决问题 分析 两次降价的百分率一样 指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值 即两次按同样的百分 数减少 而减少的绝对数是不相同的 设每次降价的百分率为 若原价为 则第一次降价后的零售价为 xa 又以这个价格为基础 再算第二次降价后的零售价 1 aaxax 思考 原价和现在的价格没有具体数字 如何列方程 请同学们联系已有的知识讨论 交流 解 设原价为 1 个单位 每次降价的百分率为 x 根据题意 得 1 x 2 2 1 解这个方程 得 x 2 22 由于降价的百分率不可能大于 1 所以 x 不符合题意 因此符合本题要求的 x 为 2 22 29 3 2 22 答 每次降价的百分率为 29 3 三 拓展引申 某药品两次升价 零售价升为原来的 1 2 倍 已知两次升价的百分率一样 求每次升价的百分率 精确到 0 1 解 设原价为元 每次升价的百分率为 根据题意 得 ax 2 1 1 2axa 解这个方程 得 30 1 5 x 由于升价的百分率不可能是负数 所以不符合题意 因此符合题意要求的为 30 1 5 x x 30 19 5 5 x 精品文档 28欢迎下载 答 每次升价的百分率为 9 5 四 巩固练习 37 练习 1 2 小结 小结 关于量的变化率问题 不管是增加还是减少 都是变化前的数据为基础 每次按相同的百分数变化 若原始数据为 a 设平均变化率为 经第一次变化后数据为 经第二次变化后数据为 在依题意列出方程并解得 x 1 ax 2 1 ax 值后 还要依据的条件 做符合题意的解答 x01x 作业 作业 38 习题 8 9 23 323 3 1 1 实践与探索实践与探索 一一 教学目标教学目标 1 学生在已有的一元二次方程的学习基础上 能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题 从而进一步体 会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 2 让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流 并在其中体验发现问题 提出问题及解决问题的全过程 培养学 生的数学应用能力 3 学生感受数学的严谨性 形成实事求是的态