力学第二版习题答案第十章.docVIP

第十章波动基本知识小结平面简谐波方程 ；。弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速，弹性体中纵波的波速，流体中纵波波速，绳波波速。波的平均能量密度 ，波的平均能流密度 。波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；驻波方程 ；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为/2，相邻波腹波节间距离为/4。多普勒公式：，在运用此公式时，以波速V为正方向，从而确定V0、VS的正负。10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的感觉。0C时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。解：10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m，频率为1483Hz，在20C的水中传播，写出其波方程。解：查表可知，波在20C的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为 10.2.4 写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。解：设波源振动方程为.t=0时，波方程10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为A,b,c均为常量.试求：振幅、频率、波速和波长；写出在传播方向上距波源l处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何？解：将与标准形式比较，=b,k=c,振幅为A,频率v=/2=b/2,波速V=/k=b/c,波长=V/v=2/c.令x=l, 则，此质点振动初相为 cl.10.2.6 一平面简谐波逆x轴传播，波方程为试利用改变计时起点的方法将波方程化为最简形式。解：令t=t+3,则，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。10.2.7 平面简谐波方程，试用两种方法画出时的波形图（SI）。解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, =v/v=4时，方法一：令，先画出的波形图，然后将y轴右移即可。x(m)yy方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。10.2.8 对于平面简谐波中，r=0.01m,T=12s,=0.30m,画出x=0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的波形图。解：波方程令x=0.20，；令t=t-8,根据T=12s及余弦曲线的规律，先画出的S-t曲线，再把S轴向左移动8秒，即得S-t曲线。 S (m) S -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) - 0.01令t=3, =.令，根据及余弦曲线的规律，先画出的S-x曲线，再把S轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。 S(m) S 0.01 x(3/40m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移，即1个单位，就是t=6s时的波形图（虚线所示）。210.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及1,2,3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x2和2只要求说明其相位在第几像限）xyx1x2x3vxy1v3解：根据及波形图随时间t的移动方向，可做出如下判断：x1x2x3123位移正最大负0正最大负0速度0负负最大0正正最大相位0或2像限/20或2像限-/210.2.10 图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。解：由波形图知：A=2m,=2m.由图（a），原点处质元t=0时，y=A,可判断其初相为零.比较 y/m v（a）、（b）两图,（b）图可看 2作（a）图向右移动0.5m得到。 0 1 2 x/mVt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. -2=2V/=20.25/2=0.25 图（a） 0 1 2 x/m 图（b）10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9103kg/m3,铜的杨氏模量为12109N/m2.解：纵波波速 .铜丝的线密度，铜丝中传播的横波是绳波，横波波速10.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45103m/s,求水的体变模量。解：水中声波速度水的体变模量10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐波，平均能流密度为9erg/s.cm2，v=300Hz，V=300m/s.求最大能量密度和平均能量密度，求相邻同相位波面间的总能量。解：平均能流密度 能量密度， 最大能量密度 . 平均能量密度管的横截面积 ，相邻同相位波面间的距离为，其间总能量为10.4.3 面向街道的窗口面积约40m2,街道上的噪声在窗口的声强级为60dB,问有多少声功率传入室内？（即单位时间进入多少声能）解：据声强级定义：，所以传入室内的声功率10.4.4 距一点声源10m的地方，声音的声强级为20dB，求：距声源5m处的声强级；距声源多远就听不见1000Hz的声音了？r解：设r=r1=5m时,声强为I1,声强级为IL1；r=r2=10m时，声强为I2,声强级为IL2，用声强级表示：即设r=r3时听不到声音，即对应的声强级IL3=010.5.1 声音干涉仪用于显示声波的干涉，见图。薄膜S在电磁铁的作用下振动，D为声音检测器，SBD长度可变，SAD长度固定，声音干涉仪内充满空气。当B处于某一位置时，在D处听到的声强为100单位的最小声音，将B移动则声音加大，当B移动1.65cm时听到强度为900单位的最强音。求：声波的频率；到达D处二声波振幅之比，已知声速为342.4m/sBASD解：D处听到的声强是由SAD和SBD传过来的两列相干波叠加结果；声强最小，说明两列相干波在D处的相位相反，合振幅为两个分振幅之差；声强最大，说明两列相干波在D处相位相同，合振幅为两个分振幅之和；两列波在D处的相位差由相反变为相同，相位差改变为，因此两列波传播距离的改变为/2，有：10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有相同的相位，波长0.34m.至少求出三个x数值使得在P点合振动最强，求出三个x数值使得在P点的合振动最弱。解：由于两个波源的相位相同，因而二波在P点引起的两个分振动的 l P相位差 l-x 当）时，合振动最强。取n=0,1,2, 得x1=0, x2=0.34m, x3=2=0.68m 当）时，合振动最弱。取n=0,1,2, 得 x1=/2=0.17m, x2=3/2=0.51m, x3=5/2=0.85m10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为： （应用三角函数公式：）显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波10.5.4 入射波在固定端反射，坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI)解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反射波在坐标原点处振动初相为，固定端反射有半波损失，所以.综合以上考虑，反射波方程为 10.5.5 入射波方程为，在x=0处的自由端反射，求反射波的波方程。无振幅损失。解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方向与入射波相反；由于在x=0处的自由端反射，无半波损失，反射波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为10.5.6 10.5.7 图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。123x解：方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图1；固定端反射时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩余波形映射过去即可，如图2；自由端反射，无半波损失，直接把界面后边的波形映射过去即可，如图3。10.5.8 一平面简谐波自左 x/m向右传播，在波射线上某质元 0.2A的振动曲线如图示。后来此 0 1 2 3 4 5 t/s波在前进方向上遇一障碍物而 -0.2 反射，并与该入射平面简谐波叠加而成驻波，相邻波节波腹距离为3m,以质元A的平衡位置为o-y轴原点，写出该入射波波方程。解：相邻波节波腹间距离是/4=3,=12m,k=2/=/6；从A点振动曲线可知：A=0.2m,T=2s,=2/T=；设A点振动方程为t=0.5s时，x= - 0.2,- 0.2=0.2cos(.综合以上考虑，入射波波方程应为10.5.9 同一媒质中有两个平面简谐波波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相对传播，波长8m.波射线上A、B两点相距20m.一波在A处为波峰时，另一波在B处相位为-/2.求AB连线上因干涉而静止的各点的位置20m解：以A点为坐标原点， y建立图示坐标系，x表示各质 A B x元的平衡位置，y表示各质元的振动位移。设：，据题意，波1使A处(x=0)质元位移最大时，波2使B处(x=20)质元的振动相位为-/2,即t=0时，.合振动位移为零（即静止）的条件是：两波在这些点引起的分振动的相位差，将=8代入并整理，可得 x = 4n+13, n = 0, 1, 2, 3. 由于0x20,取n = -3, -2, -1, 0, 1, 对应的 x = 1, 5, 9, 13, 17m.10.5.10 一提琴弦长50cm,两端固定，不用手指按时，发出的声音是A调：440Hz，若欲发出C调：528Hz，手指应按在何处？解：基频决定音调，取n=1，所以，即手按在41.67cm可发出C调音10.5.11 张紧的提琴弦能发出某一种音调，若欲使它发生的频率比原来提高一倍，问弦内张力应增加多少倍？解：，即弦内张力应增加3倍。10.7.1火车以速率v驶过一个在车站上静止的观察者，火车发出的汽笛声频率为f.求观察者听到的声音的频率的变化。设声速是v0.解：根据多普勒公式，当火车驶进车站时，观察者听到的频率；当火车驶出车站时，观察者听到的频率。10.7.2 两个观察者A和B携带频率均为1000Hz声源。如果A静止，而B以10m/s的速率向A运动，那么A和B