【初中数学评价标准培训资料】数学教学教什么？PPT课件

1 数学教学教什么 何小亚华南师范大学数学科学学院教授教育部 国培计划 专家库首批专家全国数学教育研究会常务理事副秘书长广东省中小学继续教育专家组成员 数学教育学报 杂志编委 中学数学研究 杂志副主编2013 03 20广州教研室 2 内容提要 A 考教悖论 的破解B 教概念本质的理解C 教数学原理的本质D 积累问题解决经验E 重新审视解题教学F 结束语 3 A 考教悖论 的破解 1 什么是 考教悖论 2 数学玩什么 3 考教悖论 的破解 4 1 什么是 考教悖论 考教悖论 一线教师 考什么就教什么 命题专家 教什么就考什么 5 2 数学玩什么 音乐玩声音 节奏 关注旋律美术玩色彩 线条 讲究搭配体育玩肌肉 运动 追求更高 更快 更强语文言语 文字 关注人性 情感物理 化学 生物科学实验 关注自然 物质现象 6 2 数学玩什么 数学玩数量关系 空间形式 模型结构数学追求的是精确 逻辑 简洁 和谐 统一 7 数学所玩的数量关系 空间形式 模型结构是虚的 看不见 摸不着 数量关系 代数的根基 复数 实数 无理数 有理数 分数 整数 自然数 1空间形式 几何的根基 三维空间 体二维空间 面一维空间 线 点点动成线 线动成面 面动成体 在现实世界中 1 和 点 是不存在的 它们是抽象的思维形式 是虚的 看不见 摸不着 因此 对普罗大众而言 数学最不好玩 8 但是 十七世纪文艺复兴时期 英国思想家FrancisBacon 1561 1626 读史使人明智 读诗使人灵秀 演算使人精密 一个思维不集中的人 他可以研习数学 因为数学稍不仔细就会出错 数学是科学的大门和钥匙 意大利天文学家 力学家GalileoGalilei 1564 1642 数学是上帝用来书写宇宙的文字 毕达哥拉斯学派主张 万物皆数 9 德国著名的天体物理学家JohannesKepler 1571 1630 几何学在上帝创造万物前就已存在 为上帝创世提供了模型 我认为 数学模型结构的概括性 统一性 精确性使得数学成为驾驭众多学科的 上帝 数学社会科学自然科学因此 我们不能不玩数学 10 如何让学生和我们玩最不好玩的数学呢 1 数学教师本身要 好玩 良好的形象魅力 比英语老师更 洋气 比语文老师更激情 比音乐老师更感性 让人钦佩的人格魅力 乐观 阳光 风趣 幽默 宽容 与众不同 孔子曾说 能行五者于天下为仁矣 五行 恭 宽 信 敏 惠 11 如何让学生和我们玩最不好玩的数学呢 2 数学考试要简单 让学生有成就感 悲喜两重天的入学摸底考试 37对75 学生会什么就考什么 不会不考 让数学成绩傲视群雄 3 数学教学要让学生与数学 谈恋爱 相识 创设情境 使其一见钟情 勾魂 问题驱动 使其欲罢不能 相知 解决问题 使其豁然开朗 动情 欣赏数学 使其念念不忘 12 动情 欣赏数学 使其念念不忘 学生 教师好玩 考试简单 数学初恋 教师 如何使学生玩好数学 甚至达到衣带渐宽终不悔 为伊消得人憔悴的痴情境界呢 乘法 乘方 正弦定理 对数 勾股定理 13 3 考教悖论 的破解 我的葵花宝典 教会学生以不变应万变 如何做到以不变应万变 1 理解数学概念本质2 抓住数学原理结构3 学会数学问题解决 14 B 教概念本质的理解 1 概念教学的本质不是低水平的概念言语连锁学习 而是要帮助学生获得概念的心理意义 即形成概念内涵的心理表象 最终建构起良好的概念图式 概念图式主要由一些反映概念属性的观念组成 概念图式结构的内容 何小亚 2011 反映概念属性的观念 具体的概念例证 概念的的言语编码 以及与其它概念的联系 15 2 如何评价概念图式的优与劣 评价的标准 1 概念图式中观念的多少 2 观念的准确与否 3 观念的深刻程度良好的概念图式是由一系列反映概念本质属性的观念组成 概念图式中观念的多少 观念的准确与否 观念的深刻程度这三个维度反映了学生概念理解的水平 16 比如 的教学本质是帮助学生建构起认知图式 是一个数 它不会是负的 它的平方等于 在数轴上它可能是原点也可能在原点的右边 和都是表示一个数的符号 他们没有什么不同 17 又比如 的教学本质是帮助学生建构起认知图式 是一个数 它可正可负 字母a的良好的认知图式是 1 作为结果 它是 2 作为过程 它是 3 a的四种几何意义是 18 良好的代数式概念图式是 1 作为结果 它是 2 作为过程 它是 3 代数式的现实意义 几何意义 4 作为函数的代数式 5 代数式样例 6 代数式的言语编码 19 3 会解题 考试成绩好的学生 并不保证他有好的概念图式 例如 2010年广东省初中毕业生学业考试 学生会做此题 但不会做下面的考题 20 湖北省孝感市2011年初中毕业生学业考试 21 4 数学概念学习的几种水平 何小亚 2003 了解 理解 掌握 综合运用 1 了解能回忆出概念的言语信息 能辨认出概念的常见例证 会举例说明概念的相关属性 22 许多教师对于 标准 没有介绍反函数的定义 仅要求知道指数函数与对数函数互为反函数这一变化十分困惑 不知如何把握深浅度 以为是了解 又没定义 肯定不考 2009年广东高考理科第3题 23 强化函数概念的好例子 反函数事实上 反函数不是什么新玩意 它就是一种与原函数联系紧密的一种函数 反函数之所以难教 并不是它本身难 而是它的上位概念函数概念的教学出了问题 即没有真正帮助学生建构起良好的函数概念认知图式 24 良好的函数概念图式 函数是两个非空数集之间的一种对应关系 在一个集合中任意取定一个数 总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应 前面的集合叫定义域 那些被唯一确定的所有数组成了叫做值域的集合 函数概念的关键是由谁唯一确定了谁 函数概念与函数所用的符号没有什么关系 就像人的名字一样 这一心理图式含有具体的函数实例 解析式 图像 表格 映射图 抽象的对应过程 定义的言语编码 以及与其它概念的联系 方程 曲线 不等式 代数式等 25 2 理解能把握概念的本质属性 能与相关概念建立联系 能区别概念的例证与反例 教概念就要教会学生做什么呢 A 以概念为标准去判断一个对象是否是概念B 学会对上位概念重新分类 26 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 27 3 掌握在理解的基础上 能直接把概念运用于新的情境 例如 2011年中考题 28 3 掌握在理解的基础上 能直接把概念运用于新的情境 例如 湖北省孝感市2011年初中毕业生学业考试 29 综合运用 能综合运用概念解决问题 例如 2011年贵阳中考改编题 30 综合运用 则强调综合运用各种知识来解决问题 而这里所说的 问题 则包括纯数学问题和实际问题 以及介于这两者之间的应用题 部分理想化了的实际问题 综合运用的难度主要取决于知识点的数量与由已知通向答案的步骤的数量 以及思路步骤间的跨度大小 31 垂径定理勾股定理切线长定理三角形面积正切内切圆垂心分角线圆周角圆心角 内角和 32 C 教数学原理的本质 1 一 数学原理是什么二 数学原理学习的本质三 数学原理学习的四种水平四 数学原理的教学 33 一 数学原理是什么 对数学原理的两种理解 1 作为客观的数学原理指的是数学原理的客观陈述 用言语符号信息描述数学概念之间的关系 主要包括公式 法则 定理和性质 2 作为主观的数学原理指的是人的心理操作反应系统 即主体在特定的情境中根据各种关系作出相应的反应 它以产生式 若 则 的形式贮存在大脑中 主体能以一类操作行为对一类刺激情境作出反应 34 二 数学原理学习的本质 1 原理学习实际上是学习一些概念之间的关系 2 原理学习不是习得描述原理的言语信息 而是习得原理的意义 它是一种有意义的学习 3 原理学习实质上是习得产生式 只要条件信息一满足 相应的行为反应就自然出现 学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题 4 习得原理不是孤立地掌握一个原理 而是要在原理之间建立联系 形成原理网络 35 三 数学原理学习的四种水平 2 1 言语连锁的水平2 正向产生式水平3 逆向产生式水平4 变形产生式水平 36 37 1 言语连锁学习水平处于这一水平的学生 会说 会背 会写原理的客观陈述 但不理解原理的本质 他们尚未在心理上形成产生式 当然也就不能运用原理 38 2 正向产生式水平 正用水平 处于这一水平的学生 已在心理上形成 若 则 这一正向产生式 能够由满足原理的条件信息推出结论信息 属于正向使用数学原理的水平 39 3 逆向产生式水平 逆用水平 处于这一水平的学生 已在心理上形成 要 就要 这一逆向产生式 能够由结论信息出发 追寻结论成立的充分条件 这一水平属于逆用数学原理的水平 是运用数学原理的较高级水平 40 4 变形产生式水平 变形使用水平 处于这一水平的学生 已在心理上形成变形产生式 能够由问题的部分信息检索出相关的数学原理模式 并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用 从而解决问题 这一水平属于变形使用数学原理的水平 是运用数学原理的高级阶段 41 例如 学完两角和的正切公式后 具有变形产生式水平的学生 在解一个综合性问题时 面对两个实数的乘积 这一刺激 他想起了两角和的正切公式 并根据需要 知道 42 四 数学原理的教学 一 数学原理的两种学习模式 二 促进数学原理学习的一般建议 三 促进公式和法则学习的教学建议 四 促进定理和性质学习的教学建议 43 四 数学原理的教学 一 数学原理的两种学习模式1 由例子到原理的学习是指从若干例证中归纳出一般结论的学习 它是一种发现学习 简称为 例子 原理法 例子见 1 ch 5 2 由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理 然后再用实例说明原理 有时要予以逻辑证明 从而使学生掌握原理的学习 这是一种接受学习 简称为 原理 例子法 44 3 接受学习与发现学习参看文献 1 P145 154何小亚 教育战争与数学教育的出路 数学教育学报 2008 1 45 二 促进数学原理学习的一般建议1 提供丰富的例子不论采用例子 原理法还是使用原理 例子法来学习原理 都需要为学生提供丰富的例证 例证应尽量涵盖例证的各种典型类别 以利于学生发现原理和全面理解原理 不能只提供原理的例证 还应该提供原理的反例 46 2 联系已学过的知识原理学习是有意义的学习 是新旧知识相互作用并形成新的认知结构的过程 要促进新原理的学习 就要使学生的认知结构中具备与新原理相关的适当观念 在教学中 教师可以引导学生复习 回忆与原理相关的旧知识 以帮助学生同化新原理 47 3 让学生运用原理促进原理学习的最有效的办法是让学生在运用原理的过程中掌握原理 注意 练习不是越多越好 类别单一的重复练习并不有效 要想使学生真正掌握原理 形成产生式 就要让学生进行变式练习 所谓变式练习 就是在其它有效学习条件不变的情况下 命题例证的变化 例子见 1 ch 5 48 三 促进公式和法则学习的教学建议在数学中产生了大量的由字母和符号表达的正确命题 我们称之为公式 1 1 公式的推导2 公式的理解3 公式的记忆4 公式的应用5 法则的教学 49 抓数学公式的本质 小学有数学公式 初中有数学公式 高中有数学公式 大学有数学公式 请问数学公式的本质是什么 结构的确定性 字母的可变性 50 51 四 促进定理和性质学习的教学建议定理和性质教学的基本要求 掌握定理的证明方法使学生理解并记住定理的条件和结论熟悉定理的适用范围定理和性质教学的重点放在 1 揭示定理结论的发现过程 2 揭示证明思路的探索过程 52 原理学习的本质不是记住原理的客观陈述 而是在脑中形成原理的心里操作反应 只要条件信息一满足 立刻自动做出结论的反应 把握数学原理的结构 就是要抓住其结构的不变性 学原理就是要把握原理的结构 53 一 问题以及数学问题解决二 数学问题解决的过程三 解决数学问题的化归策略四 数学应用题及其解答策略 以上部分参看文献 1 P201 240 五 几种重要的数学问题解决能力 D 积累问题解决的经验 54 五 几种重要的数学问题解决能力 1 问题的阅读理解需要文本阅读能力 符号阅读能力 图形阅读能力 表格阅读能力 目标 重新表征问题 构建清晰的问题空间 已知了什么 要我做什么 55 2011年贵阳中考题 56 2011年四川内江市中考题 57 2 提高问题的等价转换思维 化归的思想方法 58 化归方法 化归方法是数学家处理问题的思维方法 它是把要解决的问题转化归结为已经解决或容易解决的问题 并最终获得原问题之解答的方法 其结构模式为 原问题 解答 化归 新问题 答案 答案 还原 59 第 2 问完全是考查等价转换思维 60 3 目标函数的建立 61 4 用尽隐含条件 62 字母a的良好的概念图式是 1 作为结果 它是 2 作为过程 它是 3 a的四种几何意义是 5 学会压缩 以数的眼光看式子 63 良好的代数式概念图式是 1 作为结果 它是 2 作为过程 它是 3 代数式的现实意义 几何意义 4 作为函数的代数式 5 代数式样例 6 代数式的言语编码 64 5 学会压缩 以数的眼光看式子 字母题 65 5 学会压缩 以数的眼光看式子化简 66 初中学会压缩 有助于高中的问题解决 67 68 E 重新审视解题教学 很多学生说 老师讲的我听得懂 但自己做就不行 原因 学生是假懂 还没有真懂 老师没教会他独立解决问题 69 解题教学的重心不是解题 而是想法使学生 学会解题 学会数学思考 教师首先要解决 你是怎么想到的 然后再解决怎样让学生也想到 好的教师 暴露解题的思维过程 想给学生听 想给学生看 差的教师 演示解题的操作步骤 做给学生看 学生做给学生看 70