高考数学立体几何中几类典型问题

精品文档 1欢迎下载 立体几何中几类典型问题的向量解法立体几何中几类典型问题的向量解法 空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题 证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便 快速的解法 它的实用性是其它方法无法比拟的 因此应加 强运用向量方法解决几何问题的意识 提高使用向量的熟练程度和自觉性 注意培养向量 的代数运算推理能力 掌握向量的基本知识和技能 充分利用向量知识解决图形中的角和 距离 平行与垂直问题 一 利用向量知识求点到点 点到线 点到面 线到线 线到面 面到面的距离 1 求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得 方法是 求出平面的一个法向量的坐标 再求出已知点与平面内任一点构成的向量的坐PMMP 标 那么到平面的距离Pcos n MP dMPn MP n 2 求两点之间距离 可转化求向量的模 P QPQ 3 求点到直线的距离 可在上取一点 令或PABABQ AQQB PQAB 的最小值求得参数 以确定的位置 则为点到直线的距离 还可以PQ QPQ PAB 在上任取一点先求 再转化为 则ABQ ABPQ cos ABPQ sinPQ 为点到直线的距离 ABPQ sinPAB 4 求两条异面直线之间距离 可设与公垂线段平行的向量 分别是 12 l lABn C D 上的任意两点 则之间距离 12 l l 12 l l CD n AB n 例 1 设 求点到平面的距离 2 3 1 4 1 2 6 3 7 5 4 8 ABCD DABC 例 2 如图 正方形 的边长都是 1 而且平面 互相垂直 ABCDABEFABCDABEF 点在上移动 点在上移动 若 MACNBFaBNCM 20 a 求的长 当为何值时 的长最小 MNaMN 当长最小时 求面与面所成的二面角的大小MNMNAMNB A O B D C x E F N M y z 精品文档 2欢迎下载 例 3 正方体的棱长为 1 求异面直线与间的距离 1111 ABCDABC D 11 AC 1 AB 例 4 如图 在长方体中 求平面与 1111 ABCDABC D 1 4 3 2 ABBCCC 11 ABC 平面的距离 1 ACD 点评 若是平面的法向量 是平面的一条斜线段 且 则点到平面n AB B A 的距离 平行平面之间的距离转化为点到平面的距离 变为斜线在法向量 AB n d n 上的射影 二 利用向量知识求线线角 线面角 二面角的大小 1 设是两条异面直线 是上的任意两点 是直线上的任意两点 则 12 l l A B 1 l C D 2 l 所成的角为 12 l larccos AB CD ABCD 2 设是平面的斜线 且是斜线在平面内的射影 则斜线AB BBC AB 与平面所成的角为 设是平面的法向量 是平面的一AB arccos AB BC ABBC n AB 条斜线 则与平面所成的角为 AB arccos 2 AB nAB n ABnABn 或者arcsi n 1 D z A B C D M N x y z 1 A z 1 B z 1 C z AB CD x y z 1 A 1 B 1 C 1 D 精品文档 3欢迎下载 A B C D EF x y z P 3 设是二面角的面的法向量 则就是 12 n n l 12 12 12 cos nn n narc nn 二面角的平面角或补角的大小 例 5 在棱长为的正方体中 分别是的中点 a ABCDABC D EF BC AD 1 求直线所成角 ACDE与 2 求直线与平面所成的角 AD B EDF 3 求平面与平面所成的角 B EDFABCD 例 6 如图 四棱锥中 底面 ABCD 为矩形 底面 ABCD AD PD E F 分PABCD PD 别 CD PB 的中点 求证 EF平面 PAB 设 AB BC 求 AC 与平面 AEF 所成角的大小 2 例 7 如图 求二面角PAABC 平面 1 2ACBC PAACBC 的大小 APBC 点评 如果分别是二面角两个面内的两条直线 且 AB CDl Al Cl 则二面角的大小为 ABl CDl AB CD 例 8 如图 在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD 中 ABC 90 SA 面 ABCD SA AB D A B C D E F G A B C x y z S B A C D z x y A B C P D E x y z 精品文档 4欢迎下载 转化 转化 BC 1 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值 2 1 AD 点评 用向量知识求二面角的大小时 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问 题 1 当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时 二面角的大小等于法向量 12 nn 与 的夹角的大小 12 nn 与 2 当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时 二面角的大小等于法向量 12 nn 与 的夹角的补角 12 nn 与 1 2 n n 三 利用向量知识解决平行与垂直问题 例 9 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AA1 4 点 D 是 AB 的中5AB 点 I 求证 AC BC1 II 求证 A1C 平面 CDB1 点评 平行问题的转化 面面平行线面平行线线平行 例 10 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AD AA1 1 AB 2 点 E 在棱 AD 上移动 1 证明 D1E A1D 2 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 ACD1的距离 3 AE 等于何值时 二面角 D1 EC D 的大小为 4 四 利用向量知识解决立体几何中的探索性问题 例 11 如图 在直三棱柱中 111 ABCABC 1 3 4 5 4ACBCABAA 1 求证 2 在上是否存在点使得 1 ACBC ABD 1 ACCD 3 在上是否存在点使得ABD 11 ACCDB平面 D C B A A1 E D1 C1 B1 A 1 C D B C D 1 A D 1 B D 精品文档 5欢迎下载 五 专题突破 1 如图 已知二面角的大小为 点于点 l 120 ABACl C 且 求 1 直线所成角的大小 2 直线BDlD 于1ACCDDB ABCD与 的距离 ABCD与 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 底面 ABCD 底面 ABCD 为正方形 PD DC E F 分别 是 AB PB 的中点 求证 EF CD 在平面 PAD 内求一点 G 使 GF 平面 PCB 并证明你的结论 求 DB 与平面 DEF 所成角的大小 3 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 CB 1 CA AA1 M 为侧棱 CC1上36 一点 1 AMBA 1 求证 AM 平面 1 A BC 2 求二面角 B AM C 的大小 3 求点 C 到平面 ABM 的距离 4 如图 是正四棱柱 侧棱长为 3 底面边长为 2 E 是 1111 ABCDABC D 棱的中点 BC 求证 平面 1 BD 1 C DE 求二面角的大小 1 CDEC 在侧棱上是否存在点 使得平面 证明你的结论 1 BBPCP 1 C DE lA C B D AB C A 1 B 1 C 1 M 精品文档 6欢迎下载 5 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 AC BC CC1 2 I 证明 AB1 BC1 II 求点 B 到平面 AB1C1的距离 III 求二面角 C1 AB1 A1的大小 6 2006 年湖南卷 如图 4 已知两个正四棱锥 P ABCD 与 Q ABCD 的高分别为 1 和 2 AB 4 证明 PQ 平面 ABCD 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角 求点 P 到平面 QAD 的距离 7 2006 年全国卷 II 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC D E分别为BB1 AC1 的中点 证明 ED为异面直线BB1与AC1的公垂线 设AA1 AC AB 求二面角A1 AD C1的大小 2 Q P A DC B 图 4 A BC D E A1 B1 C1 精品文档 7欢迎下载 参考答案 例 1 解 设平面的法向量 所以ABC 0 0nx y znABnAC 2 2 1 0 4 0 6 0 x y z x y z 3 220 2 460 xyzxz xz yz 2 3 2 2 zn 则 222222 3 7 2 7 2 7 cos 32 2 7 7 7 n AD 所以设到平面的距离为 DABCd 4949 17 cos 1717 dADn AD 例 2 解 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz 1 0 0 0 1 0 0 1 1 FBC 2 1 0 1 1 22 aa AMAC 1 1 2 0 2222 aaa BNBF ANABAFaa 1 0 2 2 MNANAMaa 2 21 02 22 MNaa 2 由得 2 21 22 MNa min 22 22 aMN 3 又所以可求得平面 21 1 0 1 22 aMN 11 0 1 1 0 1 1 22 MAMB 与平面的法向量分别为 所以MNAMNB 12 1 1 1 1 1 1 nn 所以 12 11 cos 333 n n 1 arccos 3 例 3 解 如图建立坐标系 则 111 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 AABC 设是直线与的公垂线 且 111 0 1 1 1 1 0 ABAC MN 11 AC 1 AB 1111 0 0 ANABAMuACu u 则 11 0 0 0 1 0 1 MNMAAAANu uuu 1 D z A B C D M N x y z 1 A z 1 B z 1 C z 精品文档 8欢迎下载 11 1 2 020 3 211 0 3 MNACu u MNAB u 1 1 13 3 3 33 MNMN 例 4 解 同理又 111111 BCAD ADACDBCACD 平面平面 11 ABACD平面 建立直角坐标系 11 ABBCB 111 平面ABC 平面AC DDxyz 1 4 3 2ABBCCC 11 3 0 2 3 4 0 0 4 2 ABC 设为平面的法 11 0 4 2 3 0 2 ABBC nx y z 11 ABC 向量 则 11 0 420 nABnAByz 由 11 0320nBCn BCxz 不妨设 122 1 1 1 233 2 zyxn 二 利用向量知识求线线角 线面角 二面角的大小 例 5 解 1 如图建立坐标系 则 0 0 0 0 0 0 2 a Aa C a aDaE a 0 2 a ACa aa DEa 15 cos 15 ACDE AC DE ACDE 故所成的角为 ACDE与 15 arccos 15 2 所以在平面内的射影在的平分线上 又 ADEADF AD B EDFEDF 为菱形 为的平分线 故直线与平面所成的角为 B EDF DB EDF AD B EDF 建立如图所示坐标系 则 ADB 0 0 0 0 0 0 AB aa Da 0 0 DAaDBaa a 3 cos 3 DA DB DA DB DADB 故与平面所成角为AD B EDF 3 arccos 3 AB CD x y z 1 A 1 B 1 C 1 D 精品文档 9欢迎下载 A B C D EF x y z P 由所以平面的法向量为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 a AAa B aa DaE aABCD 下面求平面的法向量 设 由 0 0 mAAa B EDF 1 ny z 0 0 22 aa EDaEBa 02 1 0 n EDy z n EB 1 2 1 n 所以平面与平面所成的角 6 cos 6 m n n m mn B EDFABCD 6 arccos 6 点评 1 设是两条异面直线 是上的任意两点 是直线上的任意两 12 l l A B 1 l C D 2 l 点 则所成的角为 12 l larccos AB CD ABCD 2 设是平面的斜线 且是斜线在平面内的射影 则斜线AB BBC AB 与平面所成的角为 AB arccos AB BC ABBC 3 设是二面角的面的法向量 则就是 12 n n l 12 12 12 cos nn n narc nn 二面角的平面角或补角的大小 例 6 证明 建立空间直角坐标系 如图 设 AD PD 1 AB 则 E a 0 0 2a0a C 2a 0 0 A 0 1 0 B 2a 1 0 P 0 0 1 得 1 1 2 2 F a 1 1 0 2 2 EF 由 得 2 1 1 PBa 2 0 0 ABa 1 1 0 2 0 0 0 2 2 EF ABa EFAB 即 EFAB 同理 又 所以 EF平面 PAB EFPB ABPBB 解 由 得 即 2ABBC 22a 2 2 a 得 2 0 0 2 E 2 1 1 22 2 F 2 0 0 C 有 2 1 0 AC 2 1 0 2 AE 1 1 0 2 2 EF 设平面 AEF 的法向量为 1 nx y 精品文档 10欢迎下载 由 0 0 n EF n AE 1 1 1 0 0 2 2 2 1 1 0 0 2 x y x y 11 0 22 2 0 2 y xy 解得 于是 1 2 y x 2 1 1 n 设 AC 与面 AEF 所成的角为 与的夹角为 AC n AC n 则 2 1 0 2 1 1 3 sincos 62 1 0 2 1 1 AC n AC n ACn 得 3 arcsin 6 所以 AC 与平面 AEF 所成角的大小为 3 arcsin 6 点评 设是平面的法向量 是平面的一条斜线 则与平面所成的角为n AB AB arccos 2 AB nAB n ABnABn 或者arcsi n 例 7 解 建立如图所示空间直角坐标系 取的中点 连可证Cxyz PBD DC 作于 则向量的夹角的大小为二面角的大DCPB AEPB EDCEA 与APBC 小 为的中点 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 ABCP DPB 在中 12 1 222 Rt PABA 2 2 1 3 PEAP EBAB 1 3 EPB 分的比为 32 3123 444444 EEA 121 222 DC 13 22 EA DCEA 二面角的大小为 1 3 2 1 cos 33 1 2 DCEA DC APCC 3 cos 3 arc 例 8 A B C P D E x y z 精品文档 11欢迎下载 转化 转化 解 如图建立直角坐标系 则 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 BDCS 11 0 0 1 1 1 0 1 22 ADSCSD SAABCDADSAB 平面平面 所以是平面的一个法向量 设平面的一个法向量AD SABSCD nx y z 由 0 0 nSCn SC nSDn SD 0 2 1 0 2 xyz xz yzxz 令 1 2 1 1 zn 6 cos 3 AD n AD n ADn 2 tan 2 AD n 平面与平面所成的二面角的正切值为SCDSAB 2 2 点评 用向量知识求二面角的大小时 是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问 题 1 当法向量的方向分别指向二面角内侧与外侧时 二面角的大小等于法向量 12 nn 与 的夹角的大小 12 nn 与 2 当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时 二面角的大小等于法向量 12 nn 与 的夹角的补角 12 nn 与 1 2 n n 三 利用向量知识解决平行与垂直问题 例 9 解 直三棱柱 ABC A1B1C1底面三边长 AC 3 BC 4 AB 5 AC BC C1C 两两 垂直 如图 以 C 为坐标原点 直线 CA CB C1C 分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角 坐标系 则 C 0 0 0 A 3 0 0 C1 0 0 4 B 0 4 0 B1 0 4 4 D 2 0 2 3 1 3 0 0 0 4 0 0 AC BC1 AC 1 BCAC 1 BC 2 设 CB1与 C1B 的交战为 E 则 E 0 2 2 0 2 DE 2 3 3 0 4 DE AC1 DE 1 AC 1 1 2 DEAC 平面 CDB1 AC1平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 点评 平行问题的转化 面面平行线面平行线线平行 例 10 解 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DD1分别为 轴 建立空间直角坐标系 设 AE x 则 A1 1 0 1 x y z D1 0 0 1 E 1 x 0 A 1 0 0 C 0 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2 因为 E 为 AB 的中点 则 E 1 1 0 从而 0 2 1 1 1 1 1 ACED S B A C D z x y D C B A A1 E D1 C1 B1 精品文档 12欢迎下载 设平面 ACD1的法向量为 则 1 0 1 1 AD cban 1 0 0 nAC nAD 也即 得 从而 所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 0 02 ca ba ca ba2 2 1 2 n 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面 D1EC 的法向量 cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 令 b 1 c 2 a 2 x 1 0 20 2 0 0 n DCbc ab x n CE 2 1 2 xn 依题意 1 2 1 222 cos 422 2 5 n DD nDD x 不合 舍去 32 1 x32 2 x AE 时 二面角 D1 EC D 的大小为 32 4 四 利用向量知识解决立体几何中的探索性问题 例 11 解 直三棱柱 两两垂直 111 ABCABC 1 3 4 5 ACBCABAC BC CC 以为坐标原点 C 直线分别为轴轴 轴 建立空间直角坐标系 1 CA CB CCxyz 则 1 0 0 4 3 0 0 0 0 4 CAC 1 0 4 0 0 4 4 BB 1 1 3 0 0 0 4 4 ACBC 11 0 ACBCACBC ACBC 2 假设在上存在点 使得 则ABD 1 ACCD 3 4 0 ADAB 其中 则 于是由于 且01 33 4 0 D 33 4 0 CD 1 3 0 4 AC 1 ACCD 所以得 所以在上存在点使得 且这时点与点990 1 ABD 1 ACCD D 重合 B 3 假设在上存在点使得 则其中ABD 11 ACCDB平面 3 4 0 ADAB C AB x D 1 A y Z 1 B 1 C 精品文档 13欢迎下载 则 又由于01 33 4 0 D 1 33 44 4 B D 1 0 4 4 BC 所以存在实数成立 1 3 0 4 AC 11 ACCDB平面 111 m nACmB DnBC 使 所以 所以在上存在点 33 3 44 40 444 mmnmn 1 2 AB 使得 且使的中点 D 11 ACCDB平面DAB 总结 向量有一套良好的运算性质 它可以把几何图形的性质转化为向量运算 实现了数 与形的结合 在解决立体几何的距离与夹角 平行与垂直 探索性等问题中体现出巨大的 优越性 请同学们认真领会 五 专题突破 1 解 设 ACa CDb DBc 1 abc 90 60a bb ca c 2222 2222ABabcabcabbcac 1 2 1 cos 2 12 AB CDabcbb AB CD abcbABCD 所成的角为 AB CD 60 2 设与都垂直的非零向量由得 AB CD nxaybzc nAB nCD 令 0 0 xaybzcabc xaybzcb 3230 0 xyz y 1 1 xznac 得 设的距离为 ABCD与d 2 1 2 acaACn d n ac 2 解 以 DA DC DP 所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐 标系 如图 设 AD a 则 D 0 0 0 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 0 2 a aE 2 2 2 aaa F 0 0 aP 0 0 0 2 0 2 a aa DCEF DCEF 0 PADGzxG平面则设 精品文档 14欢迎下载 设平面 DEF 的 2 222 0 0 0 22222 0 0 0 22222 0 0 2 aaa FGxz aaaaa FG CBxzaa xx aaaaa FG CPxza aa zz a GGAD 点坐标为即点为的中点 法向量为 zyxn 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 2 1 2 1 0 2 3 1 2 1 cos 6 26 ar 2 a a a x y z n DF a n DE x y za a xyz xyz a axy BD na nBD n BD na DBDEF 由得 即取则 与平面所成角大小为 33 ccos arcsin 66 即 3 证明 1 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 易知面 ACC1A1 面 ABC ACB 90 BC 面 ACC1A1 面 ACC1A1 BC AMAM 且 AM 平面 1 AMBA 1 BCBAB 1 A BC 解 2 如图以 C 为原点 CA CB CC1所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐 标系 则 设 1 3 0 0 3 0 6 0 1 0 AAB 1 0 0 Mz 1 AMBA 即 故 所以 1 0AM BA 1 3060z 1 6 2 z 6 0 0 2 M 设向量为平面 AMB 的法向量 则 则 即 mx y z mAM mAB 0 0 m AM m AB 令 x 1 的平面 AMB 的一个法向量为 显然向量是 6 30 2 30 xz xy 1 2 3 m CB 精品文档 15欢迎下载 平面 AMC 的一个法向量 2 cos 2 m CB m CB mCB 易知 与所夹的角等于二面角 B AM C 的大小 故所求二面角的大小为 45 m CB 3 向量在法向量上的投影的长即为所求距离 CB m m CB m 32 2 6 m CB m 点 C 到平面 ABM 的距离为 2 2 4 建立空间直角坐标系 如图 则又 Dxyz 0 0 0 D 2 2 0 B 0 2 0 C 1 0 2 3 C 1 0 0 3 D 1 2 0 E 连接 与相交于 连接易知 0 1 1 5 1 CD 1 C DOEOO 1 2 2 3 1 1 1 5 BDEO 1 2BDEO 1 EOBD 又平面 平面 平面 1 BD 1 C DEEO 1 C DE 1 BD 1 C DE 解 过点做于 连接 在正四棱柱中 CCHDE H 1 C H 1111 ABCDABC D 平面 是二面角的平面角 1 CC ABCD 1 C HDE 1 C HC 1 CDEC 根据平面几何知识 易得 0 8 1 6 0 H 1 0 8 0 4 0 0 8 0 4 3 HCHC 1 11 1 2 coscos 7 HC HC C HCHC HC HC HC A A A 二面角的大小为 1 2 arccos 7 C HC 1 CDEC 2 arccos 7 解 在侧棱上不存在点 使得平面 1 BBPCP 1 C DE 证明如下 假设平面 则必有CP 1 C DECPDE 设 其中 则 这显然与矛盾 2 2 Pa03a 20CP DE ACPDE 假设平面不成立 即在侧棱 上不存在点 使得平面CP 1 C DE 1 BBPCP 1 C DE 5 1 如图建立直角坐标系 其中 C 为坐标原点 依题意 A 2 0 0 B 0 2 0 B1 0 2 2 C1 0 0 2 因为 0 2 2 0 2 2 2 11 BCAB 所以 AB1 BC1 2 设是平面 AB1C1的法向量 1111 zyxn 精品文档 16欢迎下载 由得0 0 1111 ACnABn 所以令 则 0 0 11 111 zx zyx 0 11 1 zx y 1 1 z 1 0 1 1 n 因为 所以 B 到平面 AB1C1的距离为 0 2 2 AB2 1 1 n nAB d 3 设是平面 A1AB1的法向量 由 2222 zyxn 得 0 0 122 AAn