不等式证明的若干方法本科毕业论文.doc

本科生毕业论文本科生毕业论文 不等式证明的若干方法不等式证明的若干方法 院院 系 系 数学与计算机科学学院数学与计算机科学学院 专专 业 业 数学与应用数学数学与应用数学 班班 级 级 20092009 级数学与应用数学级数学与应用数学 2 2 班班 学学 号 号 姓姓 名 名 指导教师 指导教师 完成时间 完成时间 20132013 年年 5 5 月月 不等式证明的若干方法不等式证明的若干方法 摘要 无论在初等数学还是高等数学中 不等式都是十分重要的内容 而不等式 的证明则是不等式知识的重要组成部分 在本文中 我总结了一些数学中证明不 等式的方法 在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法 作商法 分析法 综合法 数学归纳法 反证法 放缩法 换元法 判别式法 函数法 几何法 等等 在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理 泰勒公式 拉格朗日函数 以及一些著名不等式 如 均值不等式 柯西不等式 詹森不等式 赫尔德不 等式等等 从而使不等式的证明方法更加的完善 有利于我们进一步的探讨和研 究不等式的证明 通过学习这些证明方法 可以帮助我们解决一些实际问题 培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考 善于思考的良好 学习习惯 关键词 不等式 比较法 微分中值定理 积分 Proving the inequality by some methods AbstractAbstract In elementary mathematics and higher mathematics inequalities are very important elements Inequality is an important component in the inequality proof In this paper I summarized some mathematical inequality proof methods Inequality in elementary mathematical proof commonly use in comparative law for commercial analysis synthesis mathematical induction the reduce tion to absurdity discriminant function Geometry and so on Inequality in higher mathematics proof often use the intermediate value theorem Taylor formula the Lagranga function and some famous inequality such as mean inequality Kensen inequality Johnson in equality Helder inequality and so on Inequality proof methods get more efficient and help us further explore and study the inequality proof Through the study of these proof methods we can solve some practical problems develop logical reasoning ability and demonstrated the ability to abstract thinking and grow hard thinking and good at thinking of the good study habit Keywords Keywords inequality comparative law differential mean value theorem integral 目录 引言引言 1 1 1 利用常用方法证明不等式利用常用方法证明不等式 1 1 1 分析法 1 1 2 迭合法 2 1 3 放缩法 2 1 4 换元法 3 1 5 三角代换法 3 1 6 判别式法 3 1 7 标准化法 4 1 8 等式法 5 1 9 分解法 5 1 10 排序法 5 1 11 借助几何法 6 2 2 利用假设法证明不等式利用假设法证明不等式 7 2 1 反证法 7 2 2 归纳法 7 3 3 利用构造代换法证明不等式利用构造代换法证明不等式 8 3 1 构造复数 8 3 2 构造不等式 8 3 3 代换法 9 4 4 利用比较法证明不等式利用比较法证明不等式 9 4 1 利用做商法证明不等式 9 4 2 利用做差法证明不等式 10 5 5 利用微分中值定理及应用证明不等式利用微分中值定理及应用证明不等式 11 5 1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 11 5 2 利用拉格朗日函数 11 5 3 利用柯西中值定理证明不等式 13 5 4 利用泰勒展开式证明不等式 13 5 5 利用函数的凸凹性证明不等式 14 6 6 利用积分定义与性质证明不等式利用积分定义与性质证明不等式 15 6 1 利用积分定义证明不等式 15 6 2 利用积分性质证明不等式 15 6 3 利用积分中值定理证明不等式 16 7 7 利用著名不等式证明利用著名不等式证明 16 7 1 利用均值不等式 16 7 2 利用柯西不等式 17 7 3 利用赫尔德不等式 18 7 4 利用詹森不等式 18 8 8 总结总结 19 参考文献参考文献 20 谢辞谢辞 21 引言引言 在数学的学习过程中 不等式证明是一个非常重要的内容 这些内容在初 等数学和高等数学中都具有很重要地位 在数量关系上 虽然不等关系要比相等 关系更加广泛的存在于现实的世界里 1 但是人们对于不等式的认识要比方程 要迟的多 直到 17 世纪以后 不等式的理论才逐渐发展起来 成为数学基础理 论的一个重要组成部分 在研究数学不等式的过程中 许多内容都十分有用 如 不等式的性质 不等式的证明方法和不等式的解法 在本文中 我们就不一一说明了 而主要 的总结证明不等式的方法及运用每种方法的技巧和注意事项 1 1 利用常用方法证明不等式利用常用方法证明不等式 1 1 分析法 对于证明一个不等式 我们可以从已知条件或其它有关定理出发 然后根 据不等式的性质逐步推证所求不等式成立 2 若从已知条件或所学结论很难证明 不等式是否成立 我们可以从要证的不等式出发 探索证明的途径 根据不等 式的性质推出要证不等式成立的充分条件 然后根据所学知识判断充分条件是 否成立 例 1 已知都大于零 证明 zyx 3 x z z y y x 证明 由均值不等式定理知 3 3 abc abc 即知 333 xyzx y z yzxy z x 例 2 证明2532 要证 即证展开得 2532 22 25 32 72 1074 3 即证 又因为10 231012 故原不等式成立2532 1 2 迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分 分别证明其各部分成立 再 利用同向不等式相加或相乘的性质 使原不等式获证 例 3 已知 求证 1 22 2 2 1 n aaa 1 22 2 2 1 n bbb 1 2211 nnb ababa 证明 因为 1 22 2 2 1 n aaa 1 22 2 2 1 n bbb 所以 1 22 2 2 1 n aaa 1 22 2 2 1 n bbb 由柯西不等式 111 22 2 2 1 22 2 2 12211 nnnn bbbaaabababa 所以原不等式获证 1 3 放缩法 在证题过程中 根据不等式的传递性 常采用舍去一些正项 或负项 而 使不等式的各项之和变小 或变大 或把和 或积 里的各项换以较大 或较 小 的数 或在分式中扩大 或缩小 分式中的分子 或分母 从而达到证明 的目的 值得注意的是 放 缩 得当 不要过头 常用方法为 改变分子 分母 放缩法 拆补放缩法 编组放缩法 寻找 中介量 放缩法 例 4 求证 01 0 10000 9999 6 5 4 3 2 1 证明 令则 10000 9999 6 5 4 3 2 1 p 10000 1 10001 1 110000 9999 14 3 12 1 10000 9999 6 5 4 3 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 p 所以 01 0 p 1 4 换元法 在证题过程中 以变量代换的方法 选择适当的辅助未知数 使问题的证 明达到简化 例 5 已知 求证 1 cba 3 1 cabcab 证明 设 则 ta 3 1 3 1 Rtatb tac 1 3 1 tattaatattcabcab 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 22 taa 所以 3 1 cabcab 1 5 三角代换法 借助三角变换 在证题中可使某些问题变易 例 6 已知 求证 1 22 ba1 22 yx1 byax 证明 设 则 设 则 sin a cos b sin x cos y 所以 1 cos coscossinsin byax 1 6 判别式法 通过构造一元二次方程 利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式 的取值范围 来证明所要证明的不等式 例 7 设 且 求证 Ryx 1 22 yx 2 1aaxy 证明 设 则axym maxy 代入中得 1 22 yx1 22 maxx 即 0 1 2 1 222 mamxxa 因为 所以 Ryx 01 2 a0 即 0 1 1 4 2 222 maam 解得 故 2 1am 2 1aaxy 1 7 标准化法 形如的函数 其中 且 nn xxxxxxfsinsinsin 2121 i x0 为常数 则当的值之间越接近时 的值越大 n xxx 21i x 21n xxxf 或不变 当时 取最大值 即 n xxx 21 21n xxxf n xxx xxxxxxf nn nn 21 2121 sinsinsinsin 标准化定理 当为常数时 有 BA 2 sinsinsin 2 BA BA 证明 记 则CBA 2 sin sin sin 2 sinsinsin 22 C ACA BA BAxf 求导得 2sin ACAf 由得 即 0 A fAC2 BA 又由 0 cos ABAf 知的极大值点必在时取得 A f BA 由于当时 故得不等式 BA 0 A f 同理 可推广到关于个变元的情形 n 例 8 设为三角形的三内角 求证 CBA 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA 证明 由标准化定理得 当时 取最大值 CBA 2 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA 8 1 故 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA 1 8 等式法 应用一些等式的结论 可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明 例 9 为的三边长 求证 cba ABC 444222222 222cbacbcaba 证明 由海伦公式 其中 cpbpappS ABC 2 1 cbap 两边平方 移项整理得 4442222222 222 16cbacbcabaS ABC 而 0 ABC S 所以 444222222 222cbacbcaba 1 9 分解法 按照一定的法则 把一个数或式分解为几个数或式 使复杂问题转化为简 单易解的基本问题 以便分而治之 各个击破 从而达到证明不等式的目的 例 10 且 求证 2 nNn 11 1 3 1 2 1 1 n nn n 证明 因为 1 1 1 3 1 1 2 1 11 1 3 1 2 1 1 n n n n n nn n n n n n 1 1 3 4 2 3 2 1 3 4 2 3 2 所以 11 1 3 1 2 1 1 n nn n 1 10 排序法 利用排序不等式来证明某些不等式 排序不等式 设 则有 n aaa 21n bbb 21 2211211121 21 nntnttnnn bababababababababa n 其中是的一个排列 当且仅当或 n ttt 21 n 2 1 n aaa 21 时取等号 n bbb 21 简记作 反序和乱序和同序和 例 11 求证 dacdbcabdcba 2222 证明 因为有序 所以根据排序不等式同序和最大 Rdcba 即 dacdbcabdcba 2222 1 11 借助几何法 借助几何图形 运用几何或三角知识可使某些证明变易 例 12 已知 且 求证 Rmba ba b a mb ma 证明 如图 1 11 1 以为斜边 为直角边作 baABCRt 延长 AB 至 D 使 延长 AC 至 E 使 过 C 作 AD 的平行mBD ADED 线交 DE 于 F 则 令 ABC ADE nCE 所以 nb ma AC AB b a 又 即 CFCE mn 所以 b a nb ma mb ma a b n mA B C D E F 图 1 11 1 2 2 利用假设法证明不等式利用假设法证明不等式 在证明不等式时 如果从条件或结论都很难解决问题 且所要证明的结论 中含有自然数的自变量或某个自变量与常数比较大小 这种情况通常可以使用 假设法证明 2 1 反证法 先假设要证明的命题不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定 义 定理 性质等 进行正确的推理 得到矛盾 说明假设不正确 从而间接 说明原命题成立 3 例 13 已知 求证 0abc 0abbcac 0abc 0 0 0 cba 证明 假设 由 知 0a 0abc 0bc 又因为 知0abc 0bca 所以 与已知条件矛盾 即假设不成立 abbcac a bcbc 0 假设 知 与条件矛盾 所以假设不成立 0a 0abc 故知 同理可证 0a 0 0bc 2 2 归纳法 对于含有的不等式 当取第一个值时不等式成立 如果不等式n Nn n 在大于等于初始值 的假设成立的条件下 能推导证明不等式在nk k 时也成立 那么可以肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都成立 一1nk 般适用自变量为自然数的不等式 例 14 已知 求证 1x 2 nN n 1 1 n xnx 证明 1 当时 左边 右边 2n 2 2 112xxx 12x 又因为 即 则原不等式成立 1x 0 x 2 0 x 2 假设时不等式成立 即 2 nk k 1 1 k xkx 3 当时 因为 知1nk 1x 10 x 左边 1 1 1 1 11 kk xxxxkx 2 1 1 kxkx 右边 因为 即 左边右边1 1 kx 2 0kx 因此当时不等式也成立 1nk 综上知且时成立 1x 0 2xnN n 1 1 n xnx 3 3 利用构造代换法证明不等式利用构造代换法证明不等式 根据已知条件 运用所学知识把条件进行适当的换元和代换或根据不等式 的结构构造某种模型 函数 恒等式 不等式 复数等 简化不等式 达到简 洁的证明过程 3 1 构造复数 若证明的结论为几个根式相加的和与一个常数比较大小 每个根式中的自 变量都一样且为和的形式 这时我们可以用构造复数或在坐标轴中构造图形的 方法来证明 例 15 证明 22222222 1 1 1 1 2 2xyxyxyxy 证明 左边可以看成几个复数模的和 设 1234 1 1 1 1 zxyi zxy i zxyi zxy i 又因为 1234 zzzz 22i 由复数模的性质知 12341234 zzzzzzzz 又因为 1234 zzzz 2 2 即 22222222 1 1 1 1 2 2xyxyxyxy 3 2 构造不等式 构造不等式就是放大或缩小不等式的范围 常用在多项式中舍掉一些正 负 项而使不等式各项之和变小 大 或在分式中放大或缩小分式的分子分母 后 通过化简 而达到其证题目的 4 例 16 证明 3333 1111 1 234n 11 4 证明 因为 所以 3 1 n 1 n n 11 11nn 3333 1111 1 234n 1111 1 2 12 13 13 1 11 11nn 111 1 1 21nn 2 2 2 1 1 nn n n 2311 22 244 3 3 代换法 若条件中明确给出一个恒等式 我们可以根据所学知识把多个变量转化为 一个变量 5 达到简化自变量个数的目的 同时确定转化后变量的取值范围 简化证明过程 例 17 已知 证明 1 22 yx5 43 yx 证明 设 cosxt sinyt 0 2 t 则 又因为 34xy 3cost 4sint 5sin t 3 tan 4 sin 1t 所以 即 5 sin 5t 5 43 yx 4 4 利用比较法证明不等式利用比较法证明不等式 对于证明一个不等式是否成立 我们可以根据不等式的性质移项得到AB 从而比较的值与的大小 6 如果可以先判断不等式两边的正0AB AB 0 负号也可以做商 若都为正数 做商得 从而转化为的比较值与 A B1 A B A B 的大小 如果不等式两边含有两个或两个以上变量 且不等式两边都为一般多1 项式 我们可以移项做差然后分解因式 然后根据分解后的结果与作比较 0 若不等式两边含有一个变量 我们可以移项做差 建立一个函数从 f xAB 而根据函数的单调性或极值比较与的大小 xf0 4 1 利用做商法证明不等式 先判断不等式两边的符号 做除数的不能为零 对于俩数都为正时 若 则 若 则 俩数都为负时 若 则 若1 A B AB 1 A B AB 1 A B AB 则 1 A B AB 例 18 实数 证明 0ab abba baba 证明 由题知 所以得 0 ab ab ba a b a b a bb aa b a ab b 因为 所以 即 即 0ab 1 a b 0ab a b a b 1 ab ba a b a b 1 因此 abba baba 4 2 利用做差法证明不等式 4 2 1 做差利用因式分解证明不等式 若不等式两边都为多项式 移项后分解因式 根据已知条件和所学结论判 断多项式的值与 0 的大小 例 19 实数为正数 证明 ab 553223 aba ba b 证明 因为 553223 aba ba b 322 aab 322 b ba 322 aab 322 b ab 33 ab 22 ab 2 ab ab 22 baba 2 ab ab 2 2 1 ba 2 3 4 b 因为为正数 所以 即ab ab 0 553223 0aba ba b 所以原不等式成立 553223 aba ba b 4 2 2 做差利用函数单调性证明不等式 定义 为定义在区间内的函数 若对任何 当时 总有fD 12 x xD 12 xx 则称为上的增函数 减函数 特别当成立严 12 f xf x 12 f xf x fD 格不等式时成为上的严格增函数 严格减函数 12 f xf x 12 f xf x D 例 20 若 证明 1 x 2 1 x ex 证明 设 2 1 x f xex 一阶导数为 二阶导数为 2 x fxex 2 x fxe 因为所以恒成立 所以一阶导数为增函数 1 x 20 x fxe fx 又因为 因此原函数为增函数 022 1 exef x f x 所以当时有1 x f x 1 f 1 120ee 即时 1x 2 1 x ex 在有些证明过程中需要根据函数单调性判断函数在定义域内的极值 从而 应用极值证明不等式比较简单 5 5 利用微分中值定理及应用证明不等式利用微分中值定理及应用证明不等式 5 1 利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理 若在内可导 则在内至 f xa b在上连续 a b a b 少存在一点 使得 f af b f ba 例 21 设 证明 0ab 22 2lnlnaab abab 证明 设 则 lnf xx 1 fx x 对于 在上应用拉格朗日中值定理有 lnf xx xa b lnlnab ab 1 由 知 又因为 所以 22 ab ab2 22 21 ba a b b 0 11 ba b 所以 22 2lnlnaab abab 5 2 利用拉格朗日函数 例 22 证明不等式 其中为任意正实数 111 3 31 abc cba cba 证明 设拉格朗日函数为对 1111 rzyx xyzzyxL 对 L 求偏导数并令它们都等于 0 则有 0 2 x yzLx 0 2 y zxLy 0 2 x xyLz 0 1111 rzyx L 由方程组的前三式 易得 111 xyz zyx 把它代入第四式 求出从而函数 L 的稳定点为 3 1 r 3 3 4 rrzyx 为了判断是否为所求条件极小值 我们可把条件 3 3 3 3 3 rrrrf 看作隐函数 满足隐函数定理条件 并把目标函数 rzyx 1111 yxzz 看作与的复合函数 这样 就可应用极 yxFyxxyzzyxf f yxzz 值充分条件来做出判断 为此计算如下 2 2 x z zx 2 2 y z zy 2 x yz yzFx 2 y xz xzFy 2 2 322 3 3 xy z x z y z zF x yz F xyxx 2 3 3 y xz Fyy 当时 rzyx3 3 6rFFrF xyyyxx 0 27 2 2 rFFF xy yyxx 由此可见 所求得的稳定点为极小值点 而且可以验证是最小值点 这样就有不 等式 1111 0 0 0 3 3 rzyx zyxrxyz 令则代入不等式有 czbyax 111 1 cba r 31 111 3 cba abc 或 0 0 0 111 3 31 cbaabc cba 5 3 利用柯西中值定理证明不等式 柯西中值定理 如果函数及在闭区间内连续 在开区间 f x F x a b 内可导 且在内的每一点均不为零 那么在内至少有一点 a b F x a b a b 使得等式成立 ab f bf af F bF aF 例 23 设 证明 2 eabe 22 lnln4ba bae 证明 设 则 2 lnf xx F xx 2ln 1 x fxF x x 对于 在上应用柯西中值定理有 f x F x a b 设 又因为 22 lnln2lnba ba ab 2ln t tta b t 2 1 ln t t t 显然当时 即 从而 即te 1 ln0 t t 0 2 e 2 lnln2e ee 故 22 lnln4ba bae 注意 对于在内 则有 即形 a b f mM F f af b mM F aF b 如的不等式通常用柯西中值定理证明 8 f af b mM F aF b 5 4 利用泰勒展开式证明不等式 泰勒公式是应用导数研究函数形态的一个理想形式 通过泰勒展开式可以 用我们熟悉的多项式近似的表达函数 泰勒定理 设在闭区间上连续 在 n f xfxfxfx a b 1 n fx 开区间上存在 则对任何 至少存在一点 使得 a baxb ab 1 21 2 1 nn nn fxfaf f xf afa xaxaxaxa nn 例 23 证明不等式当时 7 0 2 x 22 1 cos 2 xx x 证明 利用泰勒展开式可得出在点的泰勒展开式为cosx0a 所以 显然 24 cos1cos 0 24 2 xx xx 2 2 1 cos1 cos 224 xx x 另 又因为 2 11 cos 2242 x 22 1111 cos 2242963 x 2 11 cos1 2 x x 即 2 cos1 22 x x x 泰勒定理的适用范围 所证明的不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开 式 从而利用它的局部展开式证明不等式 5 5 利用函数的凸凹性证明不等式 定义 设为定义在区间上的函数 若对上的任意两点和任意实fII 12 x x 数总有 0 1 1212 1 1 fxxf xf x 则称为上的凸函数 反之 如果总有fI 1212 1 1 fxxf xf x 则称为上的凹函数 fI 判别定理 设为区间上的二阶可导函数 则在上为凸 凹 函数的fII 充要条件是 0fx 0 fx xI 例 25 证明对任意实数 有 a b 2 1 2 a b ab eee 证明 设 所以 即恒成立 x f xe x fxe x fxe 0fx 所以为凸函数 所以得到 f x 11 222 ab ff af b 即 2 1 2 a b ab eee 应用范围 一般适合用题中含有模式 1 0 iiiiii fxf x 的式子 6 6 利用积分定义与性质证明不等式利用积分定义与性质证明不等式 6 1 利用积分定义证明不等式 由定积分积分的定义知 若函数在上可积 则有 f x a b 1 b ii a i f x dxfx 例 26 存在正常数 有 有 1A 0n 3 2 12nAn 证明 设 则存在正常数有 f xx 0 1 x 1A 1 0 xdxA 又由积分定义有 A 1 0 xdx 121 n nnnn 3 2 12n n 即 3 2 12nAn 6 2 利用积分性质证明不等式 积分不等式性 若与为上的两个可积函数 且 fg a b f xg x x 则有 9 a b bb aa f x dxg x dx 例 27 证明不等式 2 0 sin 1 2 x x 证明 由于在上 0 2 2sin 1 x x 所以有 即 222 000 2sin 1 2 x dxdxdx x 2 0 sin 1 2 x x 6 3 利用积分中值定理证明不等式 积分第一中值定理 若在上连续 则至少存在一点 使得f a b a b b a f x dxfba 推广的积分第一中值定理 若与都在上连续 且在上不fg a b g x a b 变号 则至少存在一点 使得 10 a b bb aa f x g x dxfg x dx 例 28 证明 3 1 3 24 tan 99 xarcxdx 证明 利用推广的积分第一中值定理知 存在 使 1 3 3 33 11 33 tanarctanxarcxdxxdx 4 arctan 3 又因为 所以 所以 1 3 3 arctan 63 244 arctan 939 即 3 1 3 24 tan 99 xarcxdx 7 7 利用著名不等式证明利用著名不等式证明 7 1 利用均值不等式 设是n个正实数 则 当且仅当 n aaa 21 n n n aaa n aaa 21 21 时取等号 n aaa 21 例 29 证明柯西不等式 1 2 1 2 2 1 n i i n i i n i ii baba 证明 要证柯西不等式成立 只要证 1 n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 1 令 2 2 1 22 1 2 BbAa n i i n i i 式中则 1 即 0 0 BA ABba n i ii 1 即 3 1 1 AB ba n i ii 下面证不等式 3 有均值不等式 2 2 2 1 2 2 1 22 2 1 2 1B b A a BA ba 即 2 2 1 2 2 111 2 B b A a AB ba 同理 2 2 2 2 2 222 2 B b A a AB ba 2 2 2 2 2 B b A a AB ba nnnn 将以上各式相加 得 4 2 1 2 2 1 2 1 2 B b A a ba AB n i i n i i n i ii 根据 2 4 式即 2 2 1 n i iib a AB 因此不等式 3 成立 于是柯西不等式得证 7 2 利用柯西不等式 例 30 设 求证 Rai 1 i2n 2 11 2 1 n i i n i i a n a 证明 由柯西不等式 n i i n i n i i n i i n i i anaaa 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 11 两边除以即得 n 说明 两边乘以后开方得 当为正数时为均值不等 n 1 n i i n i i a n a n 1 2 1 11 i a 式中的算术平均不大于平方平均 7 3 利用赫尔德不等式 例 31 设为正常数 求证 a b0 2 x nN 2 22 2 22 sincos n nn nn ab xx ab 证明 2 2 sincos n nn