数学华东师大版八年级上册图形折叠问题

平面图形的折叠问题长治县四中 郜国平折叠问题是平面几何的一种基本问题，又称为折纸问题.是新课标下中考数学命题的一个热点.折叠问题常以填空题、选择题、解答题或证明题的形式出现，属中档试题.主要考查学生的识图能力、空间想象能力、分析推理能力等.折叠问题其实质是“轴对称”，折痕（折线）是对称轴.在解决这类问题时，要仔细观察，认真思考，必要时也可动手操作，充分发挥空间想象力;紧紧抓住:折痕是对称轴;折叠前后部分的两个图形是全等形;同时还要考虑图形本身的性质,与勾股定理、相似形、方程、三角函数等知识结合起来.还要注意折叠过程中,线段、角发生的变化，哪些是变量，哪些是不变量，以寻找解题思路. 一、三角形的折叠例1如图1，在三角形纸片ABC中，C=90,A=30,AC=3.折叠该纸片,使点A与B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为_ 解 填1.理由:在RtABC中,A=30,AC=3,ECBDA图1AB=.由折叠可知,DE垂直平分AB,AD=,在RtADE中，DE=ADtan30=1. (评注)充分利用了折痕是对称轴.例2如图2，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（ ）A25 B.30 C.45 D.60BECDA图2解 选B. 理由:由折叠可知, CBDCED.所以CB=CE,又因为点E是RtABC斜边的中点,所以CE=AB,CB=AB.故A=30(评注)利用了折叠的性质，以及直角三角形本身的性质:30所对的直角边是斜边的一半. ABCFDE图3G二、四边形的折叠例3（2008上海）如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，ABD=30.将该纸片沿对角线翻折,点A落在点E处,EB交DC于F,则点F到DB的距离为_解 填 . 理由:在RtBDC中，BDC=ABD=30，BC=2，BD=4.由折叠可知DEB=ABD,DBE=BDC,.DBF是等腰三角形过点F作FGBD,垂足是G,则BG=BD=2.在RtBFG中,设FG=x,则BF=2x,由勾股定理,得FG2+BG2=BF2 即x2+22=(2x)2解得x=,FG=,即F到DB的距离是ABDOE图4FC例4如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.若将矩形折叠,使B点和D点重合,则折痕EF的长为( )A. B. C.5 D.6 解 选A. 理由:由折叠可知,EF垂直平分BD,既OB=OD=5,又四边形ABCD为矩形,有OE=OF,而OBFADB， ,OF= ,因此EF=2OF= . (评注)折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分,利用矩形的中心是对称中心解题,非常简单.例5如图5，已知折叠矩形的一边AD，使得点D落在BC边上的点F处，且AB=8cm，BC=10cm，求EC的长图5DECFBA解：由折叠知AF=AD=10cm，EF=DF.设EC=xcm,则DE=(8-x)cm.在RtABF中,BF=6(cm),FC=BC-BF=10-6=4(cm).在RtCEF中,EF2=EC2+FC2 (8-x)2=x2+4 x=3 即EC的长为3cm(评注)利用勾股定理建立方程求解例6（2008连云港）如图6，在直角梯形纸片ABCD中，ABDC，A=90,CDAD,将纸片沿过点D的直线折叠,使A点落在CD边上的E点处,图6DECBGAF折痕为DF.连接EF并展开纸片.(1) 求证:四边形ADEF是正方形(2) 取线段AF的中心G,连接EG.如果BG=CD,试说明四边形GBCE是等腰梯形(1)证明:在直角梯形ABCD中,ABDC,A=90,ADC=90.由折叠可知DEF=A=90,四边形ADEF是矩形,又AD=AE,四边形ADEF是正方形. (2)连接DG.四边形ADEF是正方形,G是中点,DG=EG,又ABDC,BG=CD四边形BCDG是平行四边形,DG=BCEG=BC四边形BCDG是等腰梯形三、圆的折叠例7(2008福建永春)如图7,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为_cm解 填2 理由:连接OA,过点O作OCAB,垂足是C,图7交弧AB(虚线)于D,则AB与OD互