【教学设计】《2.docx

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义深圳中学 刘锋第一课时一、讲什么1教学内容（1）概念原理：平面向量的数量积(内积)、投影、平面向量数量积的几何意义。（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。（3）能力素养：几何直观、数学抽象。2内容解析：前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算-向量数量积。教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。 在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系。二、为何讲1教学目标：（1）了解向量数量积的物理背景，经历平面向量数量积概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量数量积的几何意义，理解投影的概念，体会数学研究的一般过程。2目标解析：（1）要让学生体会到向量数量积这个概念来自于物理学科，感受数学抽象的过程。（2）让学生从数形两方面理解向量数量积这个概念的本质，帮助学生从两个要素全面考虑，防止顾此失彼。（3）让学生理解到一堂概念课，更为重要的不是向量数量积的定义和相关概念，而是能让学生去体会认识和研究数学新对象的方法和基本思路，而且提高抽象问题的能力。3. 教学重点：向量数量积概念的形成过程及理解。三、怎样讲（一）教学准备1教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后抽象向量数量积的概念，一时难以适应；（2）向量数量积的几何意义的应用。2教学支持条件：科大讯飞问答系统。 （二）教学过程设计【问题1】如图所示，物体在力的作用下 产生位移，那么力所做的功为多少？ 【设计意图】认识向量的数量积的实际背景，为引出数量积运算作铺垫。【预设师生活动】（1）学生：（2）老师：功是向量吗？（3）学生：不是。（4）老师： 那是什么？（5）学生：数量。（6）老师：但是力和位移都是向量啊，它们作了什么运算得到了数量？ （7）学生：乘法。（8）老师：我们学过实数的加法，减法，乘法和除法。前面我们学习了向量的线性运算，今天我们来学习向量的乘法。板书设计：数学中，我们把这种向量的乘法运算叫做向量的数量积(内积)。【问题2】如何定义向量的数量积？【设计意图】类比物理学中的功的定义，抽象出数学中的向量数量积的定义，体会数学抽象的过程。【预设师生活动】（1）学生：.（2）老师：向量，有什么要求吗？是什么？（3）学生：是向量与的夹角。（4）老师：我们给出向量数量积的概念：已知两个非零向量向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角，()叫做向量在方向上(在方向上)的投影。我们规定：零向量与任一向量的数量积为。强调：向量、的数量积与代数中数、的乘积(或)不同，所以书写时一定要把它们严格区分开，以免影响后面的学习。（5）老师：你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负吗？它能等于零吗？（6）学生：当为正时，为正；当为负时，为负；当等于零时，为零。（7）老师：向量与的夹角的范围是什么？何时为正，何时为负，何时为零呢？（8）学生：向量与的夹角的范围是。当时，为正；当时，为负；当时，为零。（9）老师：类似地，投影的取值正负同样由向量的夹角的范围决定，请同学们自行归纳。（10）老师：当时，能推出吗？（11）学生：不能。因为任一与垂直的非零向量，都有（12）老师：已知实数，()，则那对向量的数量积，该推理正确吗？（13）学生：不正确，即（14）老师：那么 等价于什么？（15）学生：不知道。（16）老师： 我们先留下这个问题，等我们学完后面的内容再回来解决。（17）老师：例1.已知，与的夹角，求（18）学生：由数量积的定义，算得（19）老师：例2. 已知，(1)若，求； (2)若与的夹角，求（20）学生：第(1)问要分类讨论，当与同向时，；当与反向时，第(2)问，【问题3】向量的数量积有什么性质？ 【设计意图】对两个向量的特殊位置关系(垂直、共线)下的数量积进行研究，从细节上认识定义。让学生参与这些性质的推导过程，体会数学中的性质是概念在合理的逻辑推理下的自然产物，培养学生逻辑推理的核心素养。（1）老师：，对吗？（2）学生1：对。 学生2：根据向量数量积的定义，如果向量与是非零向量，当然是对的。但是，根据规定，零向量与任一向量的数量积为。即当向量与有零向量时，结论不对。（3）老师：同学们讲得非常好。但是，我们对零向量的方向是如何规定的？（4）学生2：哦，对了。零向量与任意向量共线，自然也就与任意向量垂直了。所以，老师，结论无论向量与是否为非零向量都是对的。（5）老师：非常好，同学们对概念的理解又深入了。这个结论也提示我们，以后我们要证明垂直时，只需证明两个向量的数量积为零即可。（6）老师：能不能用向量的数量积表示向量的模？（7）学生：按照定义，当与同向时，那么，.（8）老师：非常好，我们记，注意，和都是实数，所以我们可以写出 ，这给出了求向量模的一种方法（9）老师：对于模一定的向量与，数量积有没有范围？（10）学生：由于，所以.【问题4】我们说向量本身兼具“数”和“形”，你能够说一说数量积的几何意义吗？【设计意图】进一步加深对投影的概念的理解，体会数形结合。【预设师生活动】（1）学生：由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。(2) 教师：思考题：在圆中，已知弦的长为，那么的值为多少？【设计意图】进一步加深对数量积的几何意义的理解，让学生学会应用数量积的几何意义解决问题。【问题5】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？【设计意图】课堂小结。由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路。【预设师生活动】（1）学生总结后得到向量数量积的定义，性质，及其几何意义。（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来。数量积是一种我们引入的新的运算，我们在实数的四则运算中，研究过运算律。那么，下节课我们就来研究数量积的运算律或运算法则。四、讲怎样1.课中检测通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈。2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果。第二课时一、讲什么1教学内容（1）概念原理：平面向量的数量积的运算律、向量数量积的公式。（2）思想方法：数形结合，类比、归纳。（3）能力素养：逻辑推理、数学运算。2内容解析：前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算向量数量积。教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。 在定义了数量积的概念后，进一步探究其运算律。二、为何讲1教学目标：（1）理解向量数量积的运算律，经历平面向量数量积运算律的证明过程，培养学生逻辑推理与运算的能力；（2）掌握向量数量积的运算律，进一步理解投影的概念，体会数学运算的一般法则。2目标解析：（1）要让学生体会到向量数量积作为数学运算也有基本的运算律，感受数学运算的过程。3. 教学重点：向量数量积运算律的证明及理解。三、怎样讲（一）教学准备1教学问题：（1）学习过程中，学生对新的运算的运算律感觉抽象，一时难以适应；（2）向量数量积的运算律的应用。2教学支持条件：科大讯飞问答系统。 （二）教学过程设计【问题1】我们学过的实数的乘法运算有哪些运算律？【设计意图】以学生熟悉的实数的乘法运算律为背景，为引出数量积的运算律作铺垫。【预设师生活动】（1）学生：交换律，结合律，对加法的分配律等。（2）老师：那么，向量的数量积会不会也有这些运算律啊？（3）学生：有没有有（4）老师：那我们先不着急下结论，我们一条一条来验证.如果要证明数量积具有交换律，是证明哪个等式？（5）学生：. （6）老师：对，那怎么证明？ （7）学生：这个简单，直接用定义即可，因为向量与的夹角不变，模的乘积相等。板书设计：向量的数量积(内积)的运算律： (1)交换律：（8）老师： 那么分配律呢？（9）学生：.（10）老师：怎么证明呢？给学生5分钟时间思考，证明。并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程。之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方。（11）老师： 那么结合律呢？（12）学生：.（13）老师：很好，大家的类比还是很强。但是我说这个等式不成立，你们知道为什么吗？（14）学生：等式的两边我们可以看成向量与实数的数乘运算，结果是向量。而向量的相等需要模相等并且方向相同，而等式的左边的向量与向量共线，右边的向量与向量共线，所以一般情况下这个等式不成立。（15）老师：说的非常好，既然你提到了实数与向量的数乘运算，我们对于结合律能不能把实数与数量积的运算考虑在一起？（16）学生：？（17）老师：非常好，能不能证明出来？请xx同学上黑板来证明，其他同学在草稿纸上证明。老师对xx同学的证明过程进行点评，随后通过PPT演示证明过程。（18）学生：成立吗？（19）老师：成立.证明方法同上，请同学们下课后完成。【问题2】在实数的四则运算中，我们有完全平方和公式和平方差公式，向量的数量积是否有类似的结论？【设计意图】类比实数运算中的公式，推导向量数量积的运算公式，体会代数运算的推导过程【预设师生活动】（1）学生：，.（2）老师：如何证明？给学生10分钟时间思考，证明.并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程。之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方，揭示代数运算中交换律对于运算的重要性，引导学生对运算有更本质的认识。（3）教材P105 页例3：已知，与的夹角为，求. 设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的概念。（4）教材P105 页例4：已知，且与不共线.为何值时，向量 与互相垂直？设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用。（5）已知，与的夹角为，求：(1) (2) (3) (4) (5) 设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用。【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？【设计意图】课堂小结由学生总结、概