数学归纳法-学生版.doc

课题: 数学归纳法一、考纲要求1数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题二、基础梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法(1)数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：证明起始命题成立；在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；归纳递推：假设nk，(kN*，kn0)时，命题成立，证明当nk1时，命题成立；由得出结论两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1) 第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明nk1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑结论”三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn0时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论(3)要注意nk到nk1时增加的项数【典型例题】例1. 用数学归纳法证明：时，。例2. 。例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。例4. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。 例5. 用数学归纳法证明：能被9整除。 例6. 求证：能被整除，。例7. 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个部分。例8. 设，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。【课堂练习】1. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）A. 假设时，命题成立 B. 假设时，命题成立C. 假设时，命题成立 D. 假设时，命题成立2. 证明，假设时成立，当1时，左端增加的项数是（ ）A. 1项 B. 项 C. k项 D. 项3. 记凸k边形的内角和为，则凸边形的内角和（ ）A. B. C. D. 4. 某个命题与自然数n有关，若时命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时，该命题不成立，那么可推得（ ）A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立C. 当n=4时，该命题不成立 D. 当n=4时，该命题成立5. 用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）A. B. C. D. 6. 在数列中，且，2成等差数列（表示数列的前n项和），则，分别为_；由此猜想_。7. 已知对一切都成立，那么a=_，b=_，c=_。8. 由下列各式：，你能得出怎样的结论？并进行证明。 9. 设数列满足，。（1）证明：对一切正整数n均成立；（2）令，判断与的大小，并说明理由。 10. 已知函数，设数列满足，数列满足，。