2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 文都名师 汤家凤的全面解析文都名师 汤家凤的全面解析 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 曲线渐近线的条数 2 2 1 xx y x A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解析 C 由为水平渐近线lim1 1 x yy 得 由为垂直渐近线 1 lim1 x yx 得 由非垂直渐近线 选 C 1 1 lim 1 2 x yx 得 2 设函数 其中 n 为正整数 则 2 1 2 xxnx f xeeen 令 令 0 f A B 1 1 1 n n 1 1 n n C D 1 1 n n 1 n n 解析 解析 A 22 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1 xxnxxxnx xxnx n fxe eeeeen eene fnn 选 A 3 如果函数在 0 0 处连续 那么下列命题正确的是 f x y A 若极限存在 则在 0 0 处可微 0 0 lim x y f x y xy f x y B 若极限存在 则在 0 0 处可微 22 0 0 lim x x f x y xy f x y C 若在 0 0 处可微 则极限存在 f x y 0 0 lim x y f x y xy D 若在 0 0 处可微 则极限存在 f x y 22 0 0 lim x x f x y xy 解析 B 22 0 0 lim x y f x y k xy 0 0 0 0 0 00 f zf x yfxy 在处可微 f x y 0 0 4 设则有 2 0 k x k Ie sin 1 2 3 xdx k A B C D 123 III 321 III 231 III 213 III 解析 解析 D 2222 2111 sin sin xx IIexdxIex dxI 2223 31 2 sin sin xx IIex dxexdx 而 2232 2 sinsin xt exdxxtetdt 2222 sin sin xx ex dxex dx 31 312 II III 5 设其中为任 1234 1234 0011 0111 cccc 令令令令 1234 c c c c 意常数 则下列向量组线性相关的为 A 1 2 3 B 1 2 4 C 1 3 4 D 2 3 4 解析 解析 C 与成比例 34 34 0 0 cc 34 1 与 线性相关 线性相关 选 C 1 3 4 134 或 134 134 011 0110 ccc 线性相关 选 C 134 6 设 A 为 3 阶矩阵 P 为 3 阶可逆矩阵 且 若 P 1 2 3 1 100 010 002 p AP 则 Q 1AQ 1223 Q A B C D 100 020 001 100 010 002 200 010 002 200 020 001 解析 B 1223 100 110 001 QP 1 11 100100 110110 001001 Q AQP AP 10011001 11011101 00120012 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布 则 P x y A B C D 1 5 1 3 2 5 4 5 解析 A 1 XE 0 4 0 0 x x ex YEfx x 4 40 0 0 y Y ey fy y 独立 X Y 4 4 0 0 0 xy e exy f x y 其他 x y P XYf x y d 4 0 4 xy x dxe edy 4 0 4 xy x e dxedy 4 0 xx eedx 5 0 x edx 1 5 8 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 A 1 B C D 1 2 1 2 1 解析 设一段长 另一段X1YX 由 cov X Y DXDY 1 DXDXDY cov 1 1 X YEXXEX Ex A 2 1 E XXEXEX A 22 EXEX EXEX 22 EXEXDX 选项 D1 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 若函数 f x 满足方程及 2 0fxfxf x 2 x fxf xe 则 f x 解析 解析 2 12 202 1 2 12 2 0 xx fxfxf xf xC eC e 代入 12 20 1 x fxf xeCC 得 x f xe 10 2 2 0 2 xxx dx 解析 2 22 22 00 2 1 11 1 1 xxx dxxxd x 111 222 110 1 1121 2 xx dxx dxx dx 11 2 1 1 z grad xy y 解析 1 1 1 2 1 zz grad xyy x yyy 2 1 1 1 1 1 z grad xy y 12 设 则 1 0 0 0 x y zxyzxyz 2 y ds 解析 3 12 1 1 0 0 zxy D xyxy 11 222 00 2 33 x D y dsyddxy dy 11 34 00 333 1 1 31212 x dxx 13 设 X 为三维单位向量 E 为三阶单位矩阵 则矩阵的秩为 E 解析 2 设 2 T AEXXAA 3 r Ar EA 1 T r EAr XXr X 2 r A 14 设 A B C 是随机事件 A C 互不相容 则 11 23 P ABP C CPA 令令 解析 解析 3 4 解 1 P ABCP ABP ABC P AB C P CP C AC ABC 1 3 2 2 1 4 3 P AB P AB C P C 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 15 本题满分分 证明 x cosx1 1 x 1 ln 1 1 x x 2 2 x 证明 证明 令 2 1 lncos1 0 0 12 xx xxx x 2 12 lnsin 11 xx xxx xx 2 2 11 lnsin 11 xx xx xx 时 又 01x 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x sin xx 0 x 时 又 10 x 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x sin xx 0 x 为在 1 1 内最小点 而0 x x 0 0 当 1 x 1 时 即 0 x 2 1 lncos1 12 xx xx x 16 本题满分分 求函数的极值 22 2 xy f x yxe 解析 由得及 22 2 2 22 2 1 0 0 xy x xy y fxe fxye 1 0 x y 1 0 x y 22 22 22 3 2 2 2 2 2 3 1 1 xy xx xy xy xy yy fxx e fyxe fx ye 当时 1 0 x y 11 22 2 0 AeBCe 且 为极小点 2 0ACB 0A 1 0 x y 极小值为 1 2 1 0 fe 当时 1 0 x y 11 22 2 0 AeBCe 为极大点 2 1 00 0 x ACBA y 且 极大值为 1 2 1 0 fe 17 本题满分分 求幂解 由得 R 1 1 lim1 n x n a a 当时 1x 2 443 21 nn n n 时级数发散 收敛域为 1 1 1x 令 2 2 0 443 21 n n nn S xx n 2 0 2 21 21 n n nx n 2 2 00 21 2 21 n n nn x nx n 2 21 00 2 21 n n nn x x n 2 11 222 1 2 2 1 1 xx S xS x xx 当 x 0 时 S 0 3 当 x 0 时 xS1 x 21 02 1 n n x n 2 1 2 0 1 1 n n xS xx x 11 1111 ln ln 2121 xx xS xS x xxx 2 2 3 0 111 ln 110 1 1 x S x xx xx xxx 且 18 本题满分分 已知曲线 L 0t0 0 t0 设 Z X Y 1 求 Z 的概率密度 2 f z 2 设为来自总体 Z 的简单随机样本 求 2的最大似然估计量 12 N Z ZZ 2 3 证明为 2的无偏估计量 2 解析 独立 未知 22 2 XNYN X Y0 ZXY 解 1 Z 的密度 2 f z 独立 22 2 XNYNX Y 2 0 3 ZXYN 22 22 2 236 2 11 6 23 zz f zee 2 设样本 1n ZZ 似然出数 2 1 2 2 6 1 1 6 n i i Z n n L ZZe 22 1 2 1 11 ln ln 66 n ni i L ZZnZ