公选课(2)--第四节-平面及其方程.doc

第四节 平面及其方程平面和直线是空间最简单的几何图形，本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程一 平面的点法式方程 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。显然，平面的法向量有无穷多个，而且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。 由立体几何知道，过空间一点可以作而已只能作一个垂直于一条已知直线的平面。下面我们利用这个结论来建立平面的方程。 设平面 过点M0(x0,y0,z0)，n=（A，B，C）是平面 的法向量（图8-17）。现在来建立平面 的方程。 在平面上 任取一点M（x,y,z）.则点M在平面 上的充要条件是即 因为 =（x-x0,y-y0,z-z0）,n=(A,B,C),所以有 该方程称为平面 的点法式方程。 例1 求过点（2,1,1）且垂直于向量i+2j+3k的平面方程。 解 显然，我们可以取已知向量i+2j+3k作为所求平面的法向量n，又因为平面过点（2,1,1）,所以由公式即可得该平面方程为 （x-2）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z-7=0 例2 求过点M1(1,2,-1)、M2（2,3,1）且和平面x-y+z+1=0垂直的平面方程。 解 因为点所在平面上（图8-18），所以向量M1M2=（1，1，2）在该平面上。又因为与平面x-y+z+1=0垂直，而已知平面的法向量n1=(1,-1,1),故可取平面的法向量 由于该平面过点M1(1,2,-1)，因此由平面的点法式方程知道3（x-1）+（y-2）-2(z+1)=0，即3x+y-2z-7=0为所求的平面方程平面的一般方程 将方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展开得 Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,这是x、y、z的一次方程，所以平面可用x、y、z的一次方程来表示，反之，任意的x、y、z的一次方程 Ax+By+Cz+D=0 （ a ） 是否都表示平面呢（式中A、B、C不全为零）？方程是一个含有三个未知数的方程，所以有无穷多组解，设x0、y0、z0是其中一组解，则由 Ax0+By0+Cz0+D=0 ( b ) a-b 得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, 它表示过点（x0,y0,z0）,且以n=（A,B,C）为法向量的平面。由此可知x、y、z的一次方程都表示平面，其中A、B、C表示法向量的坐标，方程称为平面的一般方程 下面讨论方程的一些特殊情况 （1）当D=0时，方程成为Ax+By+Cz=0,显然，平面通过原点（图8-19） （2）当A=0时，方程成为By+Cz+D=0,法向量（0，B，C）与i=（1,0,0）垂直，所以该平面平行于x轴（图8-20（a）；当A=D=0时，方程成为By+Cz=0.它所表示的平面通过x轴（图8-20（b） (3)当A=B=0时，方程成为Cx+D=0.法向量（0，0，C）与K=(0，0，1)平行，所以该平面平行于xy坐标平面（图8-21）；当A=B=D=0时，方程为z=0，它表示xy坐标面。 对于其他情况，读者可以类似地进行讨论 例3 求过点M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M(0,0,c)的平面方程（其中abc不等于0） 设所求平面方程为 因为点在平面上，所以它们的坐标都满足该方程，于是有 解此方程组，可得 代入所设方程，有 消去D，得 方程称为平面的截距式方程，其中a、b、c分别称为平面在x轴，y轴，z轴上的截距 方程称为平面的截距式方程，其中a,b,c分别称为平面在x轴y轴z轴上的截距。 例4 设一平面过点M1(1,0,-2)和M2(1,2,2)且与向量a=（1,1,1）平行，试求此平面的方程 解 设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0,因为此平面过点M1、M2，所以M1、M2的坐标满足方程，于是又A-2C+D=0，A+2B+2C+D=0。 由于所求平面与向量a=（1，1，1）平行，因此它的法向量与a垂直，即A+B+C=0 联立以上方程得A=C,B=-2C,D=C所以有，Cx-2Cy+Cz+C=0消去C，即得所求平面方程为x-2y+z+1=0 例5 设一平面通过x轴和点M(4,-3,-1)，试求平面的方程 解 因为所求平面通过x轴，所以可设它的方程为By+Cz=0,由于点M在所求平面上，因此点M的坐标满足方程，有-3B-C=0，将C=-3B代回方程，并简化，即得所求平面方程为y-3z=0两平面的夹角 两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角。设平面 的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0它们的夹角为 由于两平面的法向量分别为n1=(A1,B1,C1)和n2=（A2，B2，C2），因此由两向量夹角余弦公式可知，两平面夹角 的余弦的计算公式为 例6 求两平面x-y+2z+3=0与2x+y+z-5=0的夹角 . 解 由公式（8.4.4）得 所以=由两向量垂直、平行的充要条件，容易得到两平面垂直、平行的充要条件.设平面 的方程分别为则这两个平面垂直的充要条件是 ；它们平行的充要条件是习 题 8441.求过点（2，1，-1）且法向量为n=i-2j+3k 的平面方程.42.求过点（1，-2，3）且平面 7x-3y+z-6=0 平行的平面方程.43.已知点A（2，-1，2）和B（8，-7，5），求过点B且垂直于 的平面方程.指出4449题中各平面位置的特点，并画出各平面。44.y=0. 45.z=1.46.x+2y=3. 47.x+2y=0.48.3x-2y+z=0. 49.x+y+z=3.在第5052中，写出满足所给条件的平面方程.50.过点（1，-2，4），垂直于x轴.51.过点（-3，1，-2），通过z轴。52.过点（4，0，-2）和（5，1，7）平行于y轴。53.已知一个平面过点（0，0，1），平面上有向量a= -2,1,1 和b= -1,0,0 .求此平面方程。54.设平面通过点（5，-7，4）且在三坐标轴上的截距相等，求此平面方程。55.一平面通过三点：A（1，-1，0）B（2，3，-1）C（-1，0，2）求此平面的方程。56.求平面2x-y+z=7 与x+y+2z=11 的夹角。57.求平面 2x-2y+z+5=0 与各坐标面的夹角余弦。判断5860题中各对平面的位置关系。58 x-2y+7z+3=0.,3x+5y+z-1=059x+y+z-7=0,