§4-1不定积分.doc

第四章不定积分41不定积分的概念与性质一、原函数问题1 已知真空中的自由落体的瞬时速度v(t)=gt其中常量g是重力加速度，又知t=0时路程s=0，求自由落体的运动规律s=s(t)解s(t)=v(t)=gt， (1)容易验证s(t)=gt2+C，(C为任意常数)满足(1)；又因为t=0时s=0，代入上式得C=0所以所求的运动规律为s=gt2问题2 设曲线y=f(x)经过原点，曲线上任一点处存在切线，且切线斜率都等于切点处横坐标的两倍，求该曲线方程解y=2x . (2)容易验证y=x2+C， (C为任意常数)满足(2)；又因为原点在曲线上，故 x=0时y=0，代入上式得C=0因此所求曲线的方程为y=x2两个问题本质：已知某函数的导数F(x)=f(x)，求函数F(x)定义1设在某区间I上，F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则I上的函数F(x)称为f(x)的一个原函数例如：因为(sinx)=cosx或d(sinx)=cosxdx，所以sinx是cosx的一个原函数；因为(gt2)=gt，所以gt2是gt的一个原函数；因为(x2)=2x，所以x2是2x的一个原函数二、不定积分例如：对任意常数C，gt2+C都满足(1)，x2+C都满(2)，所以gt2+C都是gt的原函数；x2+C都是2x的原函数又如：对任意常数C，都有(sinx+C)=cosx，所以sinx+C也都是cosx的原函数 由此可见，一个函数的原函数并不唯一，而是有无限个如果F(x)是f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x)，那么与F(x)相差一个常数的函数G(x)=F(x)+C，仍有G(x)=f(x)，所以G(x)也是f(x)的原函数反过来，设G(x)是f(x)的任意一个原函数，那么F(x)=G(x)=f(x)，F(x)-G(x)0，F(x)-G(x)=C，(C为常数)，即G(x)=F(x)+C即G(x)与F(x)不过差一个常数总结正反两个方面可得两个结论： (1)若f(x)存在原函数，则有无限个原函数； (2)若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数构成的集合为F(x)+C|C为常数. 1. 不定积分的定义定义2设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数称为f(x)的不定积分，记作，即 =F(x)+C|C为常数习惯写法：省却等号右边的花括号，直接简写成F(x)+C，即 =F(x)+C其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，符号“ ”称为积分号，C为积分常数注意积分号“ ”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数所以在不定积分的结果中不能漏写C 例1由导数的基本公式，写出下列函数的不定积分：(1)； (2)解 (1)因为(sinx)=cosx，所以sinx是cosx的一个原函数，所以 =sinx+C(2)因为(ex)=ex，所以ex是ex的一个原函数，所以 =ex+C例2 根据不定积分的定义验证：=ln(1+x2)+C解 由于ln(1+x2)=，所以=ln(1+x2)+C不定积分简称积分，求不定积分的方法和运算简称积分法和积分运算由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：(1)=F(x)+C=f(x) 或 d=dF(x)+C=f(x)dx；(2)=F(x)+C 或 =F(x)+C例3 写出下列各式的结果：(1)；(2)；(3)d解 (1) =exsin(lnx)；(2) =+C；(3) d=(arctanx)2dx2.不定积分的几何意义y=F(x)xyO在直角坐标系中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形是一条曲线y=F(x)，这条曲线上任意点(x，F(x)处的切线的斜率F(x)恰为函数值f(x)，称这条曲线为f(x)的一条积分曲线f(x)的不定积分F(x)+C则是一个曲线族， 称为积分曲线族平行与y轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于f(x)，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过平移得到 三、不定积分的基本公式(1)=x+C； (2)xa+1+C，(a-1)； (3)=ln|x|+C； (4)=ex+C；(5)+C； (6)=sinx+C；(7)=cosx+C； (8)=cotx+C；(9)=tanx+C； (10)=secx+C；(11)=cscx+C； (12)=arctanx+C；(13)=arcsinx+C四、不定积分的性质因为 =k=kf(x)，所以性质1被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号之外，即， (k0)又因为 = =f1(x)f2(x)，所以性质2两个函数的代数和的不定积分等于每个函数的不定积分的代数和，即性质2可推广至有限个函数的和差例4求解 原式=2ex-3sinx+C注意 得到的ex和cosx的两个不定积分，各含有任意常数因为任意常数的和仍然是任意常数，故可以合成最后结果中的一个C今后再有同样情况不再重复说明了例5求解 =-+-=x2-3x+3ln|x|+C直接利用基本积分和性质来求积分的方法称为直接积分法 例6 求不定积分解 原式=3ex+x+C例7求不定积分解 原式= =x3-x+arctanx+C例8 求不定积分解 原式=+arctanx+C.例9求解 原式=tanx-x+C例10求不定积分解 原式=tanx-cotx+C例11 求不定积分解 原式=(x-sinx)+C*例12 某工厂生产一种产品，已知其边际成本MC=160，其中的x(件)为该产品产量若当产量x=512时，成本C(512)=17240元，求成本函数C(x)解据边际成本的含义，有C(x)= 160所以 C(x)=+C已知C(512)=17240，代入后得 C=17240-240()=1880 所以这种产品的成本函数为C(x)=240+1880 练习4-11什么叫f(x)的原函数？什么叫f(x)的不定积分？f(x)的不定积分的几何意义是什么？并举例说明之2判断下列函数F(x)是否是f(x)的原函数，为什么？ (1)F(x)=-，f(x)=， ( )； (2)F(x)