高等数学A三复习试卷.pdf

一 一 选择题 1 在下列矩阵中 不是初等矩阵的是 A B C D 100 010 001 010 100 001 101 010 001 101 010 001 2 下列说法正确的是 A 向量组 12 m 线性相关 则 1 可由 2 m 线性表示 B 向量组 12 m 线性相关 则 1 必不可由 2 m 线性表示 C 向量组 12 m 线性无关 则 1 可由 2 m 线性表示 D 向量组 12 m 线性无关 则 1 必不可由 2 m 线性表示 3 已知二次型为正定二次型 则满足 31 2 3 2 2 2 1321 2 xcxxbxaxxxxf cba A B C D 0 0 0 cba0 2 bca0 acba012 cba 4 设是总体 X 的样本 且 则 是 的无偏估计 n XXX 21 2 XDXE 2 A 2 1 1 1 XX n n i i B 2 1 1 1 1 XX n n i i C 2 1 1 n i i XX n D 2 1 1 1 XX n n i i 5 设随机变量的方差均存在 那么下列说法正确的是 A D XYD XD Y 时 必有 X 与 Y 是相互独立的 B D XYD XD Y 时 必有 X 与 Y 是不相关的 C X 与 Y 是不相关的 必有 X 与 Y 是相互独立的 D X 与 Y 是不相关的是 X 与 Y 是相互独立的充分必要条件 6 设总体 X Y 都服从正态分布 分别是来自 X Y 且相互独立的样本 则 0 1 N 129129 XXXY YY 与 129 22 129 2 XXX T YYY 服从 A B C D 2 8 2 9 8 t 9 t 二 填空题 1 已知齐次线性方程组 123 12 23 34 0 0 xxx xx xx 0 有非零解 则 2 已知与一个三阶矩阵BA相似且2A 则 3B A 3 设三阶方阵A的三个特征值为1 和 则2 3 A的特征值为 4 设 10 件产品中有 2 件次品 8 件正品 从中任取两次 每次取一件 取后不放回 则第二次取得正品的概率 是 5 设 且已知 则 2 2 NX3 0 42 XP 0 XP 6 已知总体 2 XN 2 均为未知 现对 X 的取值进行 4 次测量 得样本均值为0 375x 样本方差为 那么 2 4 s 的置信度是95 的置信区间是 0 05 32 3534t 0 025 33 182t 4 0 05 42 1318t 0 025 42 7764t 三 解答题 1 设 且 101 020 102 A 2 ABEAB 求 B 2 设线性方程组 1234 1234 1234 22 2 32 xxxx xxxx 0 1 xxxx a 试确定的值使方程组有解 并求出全部解 a 3 用正交线性替换将二次型 222 12312323 4332f x x xxxxx x 化为标准型 4 设随机变量 X Y 的概率密度为 0 1 0 0 其它 yyxAx yxf 试求 1 常数 A 2 2 1 YP 3 X 与 Y 的边缘概率密度 4 判定 X Y 的独立性 5 设的密度函数为X 1 2 x f xe x 1 求的数学期望和方差 2 求与XXX的协方差和相关系数 并讨论与XX是否相关 3 问与XX是否相互独立 说明理由 6 设总体的密度函数为X 1 01 0 xx f x 其它 其中 未知 是从该总体中抽取的一个样 本 试求 12 n X XX 的极大似然估计 四 证明题 每小题 5 分 共 10 分 1 设矩阵 12 T n Xx xx 满足1 XX T 证明矩阵 T XXEH2 是对称阵 且为正交阵 2 设是服从 n XXX 21 8 N 的 n 个相互独立的随机变量 n i i X n X 1 1 证明 1 4 1 2 P X n 二 一 选择题 1 设A为 3 阶方阵 将A的第 2 行加到第 1 行得 再把的第 1 列的BB 1 倍加到第 2 列得C 记 则 A B C D 110 010 001 P 1 CPAP 1 CP AP T CP AP T CP AP 2 下列说法正确的是 A 向量组 12 m 线性相关 则 1 可由 2 m 线性表示 B 向量组 12 m 线性无关 则 1 必不可由 2 m 线性表示 C 向量组 12 m 线性无关 则 1 可由 2 m 线性表示 D 向量组 12 m 线性相关 则 1 必不可由 2 m 线性表示 3 设 n n AR 若A为正交矩阵 则A A B 1 C D 不能确定 1 1 4 若向量组 12 r 可由向量组 12 s 线性表示 且 12 r 线性无关 则 成立 A B r C rs s rs D 大小关系不能确定 r s的 5 如果与Y满足 则必有 X D XYD XY A B C 与Y相互独立 D 与Y不相关 0D X D Y 0D X XX 6 设随机变量 2 XN 与Y独立 2 Yn X X T Y n 则下列结论正确的是 A TN B Tt C Tt 0 1 n n 1 D 1 TFn 7 设是服从 n XXX 21 8 N 的 n 个相互独立的随机变量 n i i X n X 1 1 P X 4 A 2 1 4n B 1 2n C 1 1 D 2n 1 1 2n 8 设随机变量相互独立分布 n XXX 21 12n SXXXn 则根据列维 林德柏格 Levy Lindberng 中心极限定理 当充分大 近似服从正态分布 只要 n n S n XXX 21 A 有相同的数学期望 B 有相同的方差 C 服从同一指数分布 D 服从同一离散型分布 二 填空题 1 设A是一个三阶方阵 1 2 A 则 1 3 2 AA 2 设A 均为阶方阵 为阶单位矩阵 若BCnEnBEAB CACA 则 BC 2 3 设A为阶矩阵 n0A A为A的伴随矩阵 E为阶单位矩阵 若nA有特征值 则AE 必有特征 值为 4 在区间 0中随机的抽取两个数 这两个数之差的绝对值小于 1 1 2 的概率为 5 设 且已知 则 2 2 NX3 0 42 XP 0 XP 6 已知总体 2 XN 2 已知 则 的置信度是1 的置信区间是 三 解答题 1 设线性方程组 1234 1234 1234 22 2 32 xxxx xxxx 0 1 xxxx a 试确定的值使方程组有解 并求出全部解 a 2 设矩阵的特征方程有一个二重根 求的值 并讨论 123 143 15 A a aA是否可相似对角化 3 已知二次型 222 123123121 323 55266f x x xxxcxx xx xx x 秩为 2 求 1 参数及此二次型对应矩阵的特征值 2 指出方程c 123 1f x x x 表示何种二次曲面 4 设随机变量 的概率分布列为 YX 0 1 2 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 2 0 2 0 0 2 Y X 求 1 E XE YD XD YYXYX 2 求 和 的协方差 5 设二维随机变量 X Y的概率密度为 2 01 0 0 xyxy f x y 1 ZXY 的概率密度 zfZ 三 一 选择题 一 选择题 1 设A为阶可逆矩阵 nA的第二行乘以 2 为矩阵 则B 1 A的 为 1 B A 第二行乘以 B 第二列乘以 2 C 第二行乘以2 2 1 D 第二列乘以 2 1 2 设 1 2 3 4 是齐次线性方程组的一个基础解系 则下列向量组 0 Ax 中不再是的基础解系的为 0 Ax A 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 B 1 2 2 3 3 4 4 1 C 1 2 2 3 3 4 4 1 D 1 2 2 3 3 4 4 1 3 设 则二次型的矩阵为 nnji aA n i nniiin xaxaxaxxxf 1 2 221121 A A B 2 A C AAT D T AA 4 设离散型随机变量 X Y的联合分布律为 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 6 1 9 1 18 1 3 X Y P 且相互独立 则 YX 9 1 9 2 A B 9 2 9 1 C 6 1 6 1 D 18 1 15 8 5 设总体服从正态分布是来自的样本 则X 2 12 n NXX XX 2 的最大 似然估计为 A 2 1 1 n i i XX n B 2 1 1 1 n i i XX n C 2 1 1 n i i X n D 2 X 二 填空题 二 填空题 1 设 A 为五阶方阵 且 A 3 则 1 A T AA A 2 设 5 1 是矩阵的特征值 则 120 222 023 A A对应三个特征值的特征向量 是 且 选填 线性无关 线性相关 相互正交 相互不正交 选填 线性无关 线性相关 相互正交 相互不正交 3 若实二次型 为正定二次 2 332 2 23121 2 1321 44422 xxxxxxxxxxxxf 型 则 的取值范围为 4 设 则 25 36 0 4 xy D XD Y 32 DXY 5 设某种保险丝熔化时间 单位 秒 取 2 NX16 n的样本 得样本均值和方差分别为 36 0 15 2 SX 则 的置信度为 95 的置信区间上限为 三 计算题 三 计算题 1 计算阶行列式 n mxxxx xxmxx xxxmx D n n n n 321 321 321 2 已知实二次型 321 xxxf 133221 222xxxxxx 求正交变换yQx 将二次型化为标准形 并写出正交变换 321 xxxfyQx 3 设线性方程组为 问 a 取何值时 方程组无解 532 4 03 321 321 321 xxx bxaxx xxx b 有唯一解 有无穷多解 在有无穷多解时求出其通解 4 在四元实向量构成的线性空间 4 R中 求使a 4321 为 4 R的基 并求由基 43214321 到 的过渡矩阵P 其中 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 a 1 2 1 1 2 a 0 0 1 1 3 0 0 0 1 4 5 设总体的概率分布列为 X X 0 1 2 3 P p 2 2 p 1 p p2 1 2p 其中 是未知参数 利用总体的如下样本值 p2 10 A 是A的伴随矩阵 则下列选项中正确的是 A AAA B 1 1 AA A C 若 1r A 则 1r A D 若 则 0A 0A 2 设 n n A 若A为正交矩阵 则A A B 1 C 1 或 1 D 不能确定 1 3 设 A B为两个随机事件 且 0P B 1P A B 则有 A B C P ABP A P ABP B P ABP A D P ABP B 4 设 0 UX 均匀分布 是总体 X 的样本 则参数 n XXX 21 的矩估计是 A B max 1 i ni X X2 C D min 1 i ni X X 5 设是来自正态总体 n XXX 21 2 N 的样本 则下列结论正确的是 A 22 1 1 1 n i i XXn n 1 B 22 1 1 n i i XXn n 1 C 22 2 1 1 n i i XX n D 22 2 1 1 n i i XXn 1 二 填空题 6 若齐次线性方程组 有非零解 则 123 12 23 34 0 0 xxx xx xx 0 7 矩阵的逆矩阵为 323 513 123 A 8 设三阶矩阵A的特征值为 1 1 2 则 32 4BAA B 9 设随机变量的分布函数为X 1 0 2 1 1 2 x x ex F x ex 0 则 11 PX 10 设离散型随机变量的分布律为X 1 0 1 2 1 k k a P Xkk a 其中为常数 则0a E X D X 三 计算题 11 计算下列行列式 2 112131 2 212232 2 123 1 1 1 n n n nnnn aa aa aa a a aaa aa a D a aa aa aa 12 已知三阶矩阵 2 2 0 1 0 0 1 1 0 aa Aaaa aa 1 求可逆矩阵Q 使得为对角阵 2 求 1 Q AQ k A 为任意自然数 k 13 若二维随机向量的联合密度函数为 X Y 2 2 0 0 x y ex f x y 其它 0y 1 求随机变量X的边缘概率密度函数 X fx 2 求条件概率3 X 2 P XY 0 B为正定矩阵 3 设二维随机向量 X Y的联合密度函数为 22 22 1 1 0 1 xy f x y xy 试证 与Y不相关 但与Y不独立 XX 五 综合分析题 15 已知A B为三阶矩阵 且满足 1 24A BBE 其中E是三阶单位矩阵 1 证明 矩阵2AE 是可逆的 2 若 求矩阵 120 120 002 B A 16 设总体的概率密度函数为X 2 0 0 x axex f x x 0 其中为常数 0a 0 为未知参数 是总体的一个子样 12 n XXX X 1 确定常数a 2 求 的极大似然估计 3 判断 是否为 的无偏估计 17 设总体 2 XN 是总体的一个随机样本 12 n XXX XX是样本均值 这里 其中 是期望 2 是方差 0 设置信度为 其中 0 cba0 2 bca0 acba012 cba 4 已知 12 是线性非齐次方程组 m n AX 的两个不同的解 12 是对应线性齐次方程组的基础解系 为任意常数 则方程组 0AX 12 k k m n AX 的通解为 A 1 1 1212 2 kk 2 B 12 1 1212 2 kk C 1 1 1212 2 kk 2 D 1 1 1212 2 kk 2 5 0 1 0 1 P AP BP A BP A B 设1 则 A B BPAPABP AB C AB D APBAP 6 设 1 F x 2 F x分别是随机变量和的分布函数 为使 1 X 2 X 12 F xaF xbF x 是 某一随机变量的分布函数 则的取值分别为 a b A 13 22 ab B 22 33 ab C 13 22 ab D 32 55 ab 7 如果与Y满足 则必有 X D XYD XY n A B C 与Y相互独立 D 与Y不相关 0D X D Y 0D X XX 8 设随机变量相互独立分布 n XXX 21 12n SXXX 则根据列维 林德柏格 Levy Lindberng 中心极限定理 当充分大 近似服从正态分布 只要 n n S n XXX 21 A 有相同的数学期望 B 有相同的方差 C 服从同一指数分布 D 服从同一离散型分布 二 填空题 二 填空题 9 设A是一个三阶方阵 3A 则 1 2 AA 10 设三阶矩阵 三维列向量 已知 123 212 304 A 1 1 Ta A 与 线性相关 则 a 11 设 4 阶方阵A的秩为 2 则其伴随矩阵 A的秩为 12 设 10 件产品中有 2 件次品 8 件正品 从中任取两次 每次取一件 取后不放回 则第二次取得正品的概率是 13 设 则 25 36 0 4 xy D XD Y 32 DXY 14 已知总体 2 XN 2 已知 则 的置信度为1 的置信上限是 三 计算题 三 计算题 1 设 且 101 020 102 A 2 ABEAB 求 B 2 设随机变量 的概率分布列为 YX 0 1 2 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 2 2 0 2 0 0 2 X Y 求 1 E XE YD XD Y 2 YXYX 求 和 的协方差 3 设总体的概率密度为X 1 0 0 1xx f x 其他 是未知参数 12 n x x x是来自总体的一个容量为 n 的简单随机样本 分别用矩估计和极大似然估计法求X 的估计量 四 计算分析题 四 计算分析题 1 设矩阵的特征方程有一个二重根 求的值 并讨论 123 143 15 A a aA是否可相似对角化 2 设随机变量在 0内服从均匀分布 在X 1 0 1 Xx 条件下 Y在 0 x内服从均匀分布 求 1 X Y的联合分布 2 Y的概率密度函数 Y fy 3 11 22 P YX 五 综合分析题 五 综合分析题 1 设矩阵 现矩阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa A满足方程AXB 其中 1 T n Xxx 1 0 0 T B 1 求证 1 n Ana 2 为何值 方程组有唯一解 求a 1 x 3 为何值 方程组有无穷多解 求通解 a 2 设A 为两个随机事件 B P Ap P Bq P ABr 且 0 1p q 0 1 A X A 不发生 发生 0 1 B Y B 不发生 发生 1 求 X Y的相关系数 XY 2 证明 1 4 pqr 3 证明与Y独立的充要条件是事件XA与相互独 B 六 一 选择题 1 下列陈述正确的是 A 若方程组有唯一解 则方程组0 m n Ax m n Axb 有唯一解 B 若方程组 m n Axb 有唯一解 则方程组0 m n Ax 有唯一解 C 若方程组有无穷多解 则方程组0 m n Ax m n Axb 有无穷多解 D 若方程组 m n Axb 无解 则方程组无解 0 m n Ax 2 已知 n 维向量组 12 2 s s 线性相关 则下列选项中必正确的是 A 对于任何一组不全为零的数 12 s k kk 使得 1122 0 ss kkk B 12 s 中任何两个向量线性相关 C 存在一组不全为零的数 12 s k kk 使得 1122 0 ss kkk D 对于每一个 i 都可以由其余向量线性表出 3 设0 1 0 1 1 P AP BP A BP A B 则 A 事件 A 与事件 B 互不相容 B 事件 A 与事件 B 对立 C 事件 A 与事件 B 不独立 D 事件 A 与事件 B 独立 4 设 XE 指数分布 是总体 X 的样本 则参数 12 n X XX 的矩估计是 1 max i i n X 2X X 1 X 设是来自正态总体 12 n X XX 2 N 的样本 则下列结论正确的是 A 22 1 1 1 n i i XXn n 1 B 22 1 1 n i i XXn n 1 C 22 2 1 1 n i i XX n D 22 2 1 1 n i i XXn 1