2014-2015学年河北省保定市高阳中学高二(下)3月月考数学试卷(理科)_69

第 1 页 共 19 页 2014 2015 学年河北省保定市高阳中学高二 下 学年河北省保定市高阳中学高二 下 3 月月考数学试卷月月考数学试卷 理科 理科 一 本题共一 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 求的 1 函数在某一点的导数是 A 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B 一个函数 C 一个常数 不是变数 D 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 2 如果曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 x 2y 3 0 那么 A f x0 0B f x0 0C f x0 0D 不存在 3 函数 y 在点 x 4 处的导数是 A B C D 4 函数的导数是 A B sinx C D 5 若 f x x2 2x 4lnx 则 f x 0 的解集为 A 0 B 1 0 2 C 2 D 1 0 6 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极大值点 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 第 2 页 共 19 页 7 已知直线 y kx 是 y lnx 的切线 则 k 的值是 A eB eC D 8 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线 BC1与直线 AB1 夹角的余弦值为 A B C D 9 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 底面是边长为 2 的正三角形 侧棱长为 3 则 BB1与平面 AB1C1所成的角是 A B C D 10 若点 P 是曲线 y x2 lnx 上任意一点 则点 P 到直线 y x 2 的最小距离为 A 1B C D 11 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x f 0 0 f x 是 f x 的导函数 则 不等式 exf x ex 1 其中 e 为自然对数的底数 的解集为 A 1 0 B 0 C 0 1 D 1 第 3 页 共 19 页 12 已知函数 f x a x 2lnx a R g x 若至少存在一个 x0 1 e 使得 f x0 g x0 成立 则实数 a 的范围为 A 1 B 1 C 0 D 0 二 填空题 每空二 填空题 每空 5 分 共分 共 20 分 分 13 已知 f x x2 2x f 1 则 f 0 14 过原点作曲线 y ex的切线 切点坐标为 15 函数 f x 的单调递减区间是 16 f x x x c 2在 x 2 处有极大值 则常数 c 的值为 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知曲线 y x2 1 与 y 1 x3在 x x0处的切线互相垂直 求 x0的值 18 已知函数 f x x3 ax 1 1 若 f x 在实数集 R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使 f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出 a 得取值范围 若不存在 说明理由 19 已知 f x ax4 bx2 c 的图象经过点 0 1 且在 x 1 处的切线方程是 y x 2 1 求 y f x 的解析式 2 求 y f x 的单调递增区间 20 如图 在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中 PA AB 1 PB PD 点 E 在 PD 上 且 PE ED 2 1 1 求证 PA 平面 ABCD 2 求二面角 D AC E 的余弦值 3 在棱 PC 上是否存在一点 F 使得 BF 平面 ACE 第 4 页 共 19 页 21 已知函数 f x x3 x2 cx d 有极值 求 c 的取值范围 若 f x 在 x 2 处取得极值 且当 x 0 时 f x d2 2d 恒成立 求 d 的取值范围 22 已知 a R 函数 f x b g x 4alnx 1 若曲线 y f x 与曲线 y g x 在它们的交点 1 c 处的切线重合 求 a b 的值 2 设 F x f x g x 若对任意的 x1 x2 0 且 x1 x2 都有 F x2 F x1 2a x2 x1 求 a 的取值范围 第 5 页 共 19 页 2014 2015 学年河北省保定市高阳中学高二 下 学年河北省保定市高阳中学高二 下 3 月月考数月月考数 学试卷 理科 学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 本题共一 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 求的 1 函数在某一点的导数是 A 在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B 一个函数 C 一个常数 不是变数 D 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 考点 导数的概念 专题 导数的概念及应用 分析 根据导数定义即可判断 解答 解 函数在某一点的导数是在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 它是一个函数 并表示函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 故 C 不对 故选 C 点评 本题考查了函数的导数的定义 属于基础题 2 如果曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 x 2y 3 0 那么 A f x0 0B f x0 0C f x0 0D 不存在 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 欲判别 f x0 的大小 只须求出切线斜率的正负即可 故结合导数的几何意义即可求出切 线的斜率 从而问题解决 解答 解 由切线 x 2y 3 0 的斜率 即 故选 B 点评 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率 导数的几何意义等基础知 识 考查运算求解能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 属于基础题 3 函数 y 在点 x 4 处的导数是 第 6 页 共 19 页 A B C D 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 求函数的导数 利用导数公式即可得到结论 解答 解 f x f x 令 x 4 则 f 4 故选 D 点评 本题主要考查导数的计算 要求熟练掌握常见函数的导数公式 4 函数的导数是 A B sinx C D 考点 导数的乘法与除法法则 专题 计算题 分析 根据导数的运算法则可得 y 可求 解答 解 根据导数的运算法则可得 y 故选 C 点评 本题主要考查了商的导数的求导法则及基本初等函数的求导公式的应用 属于基础试题 5 若 f x x2 2x 4lnx 则 f x 0 的解集为 A 0 B 1 0 2 C 2 D 1 0 考点 导数的加法与减法法则 一元二次不等式的解法 专题 计算题 第 7 页 共 19 页 分析 由题意 可先求出函数的定义域及函数的导数 再解出不等式 f x 0 的解集与函数的定 义域取交集 即可选出正确选项 解答 解 由题 f x 的定义域为 0 f x 2x 2 令 2x 2 0 整理得 x2 x 2 0 解得 x 2 或 x 1 结合函数的定义域知 f x 0 的解集为 2 故选 C 点评 本题考查导数的加法与减法法则 一元二次不等式的解法 计算题 基本题型 属于基础 题 6 函数 f x 的定义域为开区间 a b 导函数 f x 在 a b 内的图象如图所示 则函数 f x 在开区间 a b 内有极大值点 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 导数的概念及应用 分析 根据题目给出的导函数的图象 得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号 由此判断出 原函数在各个区间上的单调性 从而判断出函数取得极大值的情况 解答 解 如图 不妨设导函数的零点从小到大分别为 x1 x2 x3 x4 由导函数的图象可知 当 x a x1 时 f x 0 f x 为增函数 当 x x1 x2 时 f x 0 f x 为减函数 当 x x2 x3 时 f x 0 f x 为增函数 当 x x3 x4 时 f x 0 f x 为增函数 当 x x4 b 时 f x 0 f x 为减函数 由此可知 函数 f x 在开区间 a b 内有两个极大值点 是当 x x1 x x4时函数取得极大值 故选 B 点评 本题考查了利用导函数研究函数的极值 由导函数在给定区间内的符号可以判断原函数的单 调性 连续函数在某点处先增后减 该点是极大值点 先减后增 该点是极小值点 此题是中档 题 7 已知直线 y kx 是 y lnx 的切线 则 k 的值是 A eB eC D 考点 导数的几何意义 专题 计算题 第 8 页 共 19 页 分析 欲求 k 的值 只须求出切线的斜率的值即可 故先利用导数求出在切处的导函数值 再结合 导数的几何意义即可求出切线的斜率 从而问题解决 解答 解 y lnx y 设切点为 m lnm 得切线的斜率为 所以曲线在点 m lnm 处的切线方程为 y lnm x m 它过原点 lnm 1 m e k 故选 C 点评 本小题主要考查直线的方程 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知 识 考查运算求解能力 属于基础题 8 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 则直线 BC1与直线 AB1 夹角的余弦值为 A B C D 考点 异面直线及其所成的角 专题 计算题 分析 根据题意可设 CB 1 CA CC1 2 分别以 CA CC1 CB 为 x 轴 y 轴和 z 轴建立如图坐标 系 得到 A B B1 C1四个点的坐标 从而得到向量与的坐标 根据异面直线所成的角 的定义 结合空间两个向量数量积的坐标公式 可以算出直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值 解答 解 分别以 CA CC1 CB 为 x 轴 y 轴和 z 轴建立如图坐标系 CA CC1 2CB 可设 CB 1 CA CC1 2 A 2 0 0 B 0 0 1 B1 0 2 1 C1 0 2 0 0 2 1 2 2 1 可得 0 2 2 2 1 1 3 且 3 向量与所成的角 或其补角 就是直线 BC1与直线 AB1夹角 第 9 页 共 19 页 设直线 BC1与直线 AB1夹角为 则 cos 故选 A 点评 本题给出一个特殊的直三棱柱 求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值 着重考查了 空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论 属于基础题 9 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直于底面 底面是边长为 2 的正三角形 侧棱长为 3 则 BB1与平面 AB1C1所成的角是 A B C D 考点 直线与平面所成的角 专题 计算题 分析 以 B 为坐标原点 建立空间直角坐标系 利用与平面 AB1C1所的一个法向量 的夹角 求出则 BB1与平面 AB1C1所成的角 解答 解 以 B 为坐标原点 以与 BC 垂直的直线为 x 轴 BC 为 y 轴 建立空间直角坐标系 则 A 1 0 B1 0 0 3 C1 0 2 3 1 3 0 2 0 0 0 3 设平面 AB1C1所的一个法向量为 x y z 则即 取 z 1 则得 0 1 cos BB1与平面 AB1C1所成的角的正弦值为 BB1与平面 AB1C1所成的角为 故选 A 第 10 页 共 19 页 点评 本题考查线面角的计算 利用了空间向量的方法 要注意相关点和向量坐标的准确性 及转 化时角的相等或互余关系 10 若点 P 是曲线 y x2 lnx 上任意一点 则点 P 到直线 y x 2 的最小距离为 A 1B C D 考点 点到直线的距离公式 专题 计算题 分析 设出切点坐标 利用导数在切点处的函数值 就是切线的斜率 求出切点 然后再求点 P 到 直线 y x 2 的最小距离 解答 解 过点 P 作 y x 2 的平行直线 且与曲线 y x2 lnx 相切 设 P x0 x02 lnx0 则有 k y x x0 2x0 2x0 1 x0 1 或 x0 舍去 P 1 1 d 故选 B 点评 本题考查点到直线的距离 导数的应用 考查计算能力 是基础题 11 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x f 0 0 f x 是 f x 的导函数 则 不等式 exf x ex 1 其中 e 为自然对数的底数 的解集为 第 11 页 共 19 页 A 1 0 B 0 C 0 1 D 1 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 构造函数 g x exf x ex x R 研究 g x 的单调性 结合原函数的性质和函数值 即可求解 解答 解 设 g x exf x ex x R 则 g x exf x exf x ex ex f x f x 1 f x 1 f x f x f x 1 0 g x 0 y g x 在定义域上单调递增 exf x ex 1 g x 1 又 g 0 e0f 0 e0 1 g x g 0 x 0 不等式的解集为 0 故选 B 点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合 结合已知条件构造函数 然后用导数判断函数的单调 性是解题的关键 12 已知函数 f x a x 2lnx a R g x 若至少存在一个 x0 1 e 使得 f x0 g x0 成立 则实数 a 的范围为 A 1 B 1 C 0 D 0 考点 特称命题 专题 函数的性质及应用 分析 将不等式进行转化 利用不等式有解 利用导数求函数的最值即可得到结论 解答 解 若若至少存在一个 x0 1 e 使得 f x0 g x0 成立 即 f x g x 0 在 x 1 e 时有解 第 12 页 共 19 页 设 F x f x g x a x 2lnx ax 2lnx 0 有解 x 1 e 即 a 则 F x 当 x 1 e 时 F x 0 F x 在 1 e 上单调递增 即 Fmin x F 1 0 因此 a 0 即可 故选 D 点评 本题主要考查不等式有解的问题 将不等式进行转化为函数 利用函数的单调性是解决本题 的关键 二 填空题 每空二 填空题 每空 5 分 共分 共 20 分 分 13 已知 f x x2 2x f 1 则 f 0 4 考点 导数的运算 专题 计算题 分析 要求某点处函数的导数 应先求函数解析式 f x 本题求函数解析式 f x 关键求出未知 f 1 解答 解 f x 2x 2f 1 f 1 2 2f 1 f 1 2 有 f x x2 4x f x 2x 4 f 0 4 点评 本题考查导数的运算 注意分析所求 14 过原点作曲线 y ex的切线 切点坐标为 1 e 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 指数函数的图像与性质 专题 计算题 分析 欲求切点坐标 只须求出切线的方程即可 故先利用导数求出在切点处的导函数值 再结合 导数的几何意义即可求出切线的斜率 从而得到切线的方程 最后利用切线过原点即可解决 解答 解 设切点坐标为 由 得切线方程为 因为切线过原点 所以 解得 x0 1 所以切点坐标为 1 e 第 13 页 共 19 页 故答案为 1 e 点评 本小题主要考查直线的斜率 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知 识 考查运算求解能力 属于基础题 15 函数 f x 的单调递减区间是 0 1 l e 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 利用导数求函数的单调区间的步骤是 求导函数 f x 令 f x 0 或 0 解 不等式 得到函数的增区间 或减区间 本题中需先求出导函数 f x 令 f x 0 解得函数的单调增区间 解答 解 由已知得 f x 当 0 x e 且 x 1 时 f x 0 故函数 f x 的单调递减区间是 0 1 1 e 故答案为 0 1 1 e 点评 本题考查利用函数的导数来求函数的单调性 考查对两函数的商的导数的求导公式的掌握情 况 16 f x x x c 2在 x 2 处有极大值 则常数 c 的值为 6 考点 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 分析 先求出 f x 根据 f x 在 x 2 处有极大值则有 f 2 0 得到 c 的值为 2 或 6 先让 c 2 然后利用导数求出函数的单调区间 从而得到 x 2 取到极小值矛盾 所以舍去 所以得到 c 的值即 可 解答 解 f x x3 2cx2 c2x f x 3x2 4cx c2 f 2 0 c 2 或 c 6 若 c 2 f x 3x2 8x 4 令 f x 0 x 或 x 2 f x 0 x 2 故函数在 及 2 上单调递增 在 2 上单调递减 x 2 是极小值点 故 c 2 不合题意 c 6 故答案为 6 第 14 页 共 19 页 点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力 会利用待定系数法求函数解析式 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知曲线 y x2 1 与 y 1 x3在 x x0处的切线互相垂直 求 x0的值 考点 两条直线垂直与倾斜角 斜率的关系 简单复合函数的导数 分析 先由导数的意义入手 再根据两直线垂直的条件解之即可 解答 解 对于 y x2 1 有 y x k1 y x x0 x0 对于 y 1 x3 有 y 3x2 k2 y x x0 3x02 又 k1k2 1 则 x03 1 故 x0 1 点评 本题考查导数的意义及两直线垂直的条件 18 已知函数 f x x3 ax 1 1 若 f x 在实数集 R 上单调递增 求实数 a 的取值范围 2 是否存在实数 a 使 f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出 a 得取值范围 若不存在 说明理由 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 综合题 分析 1 先求出函数 f x 的导函数 f x 要使 f x 在实数集 R 上单调递增 只需 f x 0 在 R 上恒成立 再验证等号是否成立 即可求出实数 a 的取值范围 2 欲使 f x 在 1 1 上单调递减 只需 f x 0 在 1 1 上恒成立 利用分离法将 a 分离出来 求出不等式另一侧的最大值 再验证等号是否成立 即可求出 a 的范围 解答 解 1 f x 3x2 a 3x2 a 0 在 R 上恒成立 a 0 又 a 0 时 f x x3 1 在 R 上单调递增 a 0 2 假设存在 a 满足条件 由题意知 f x 3x2 a 0 在 1 1 上恒成立 即 a 3x2在 1 1 上恒成立 a 3 又 a 3 f x x3 3x 1 f x 3 x2 1 在 1 1 上 f x 0 恒成立 即 f x 在 1 1 上单调递减 第 15 页 共 19 页 a 3 点评 本题主要考查了函数恒成立问题 以及利用导数研究函数的单调性等基础知识 注意验证取 等号是否成立 考查计算能力和分析问题的能力 19 已知 f x ax4 bx2 c 的图象经过点 0 1 且在 x 1 处的切线方程是 y x 2 1 求 y f x 的解析式 2 求 y f x 的单调递增区间 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 1 先根据 f x 的图象经过点 0 1 求出 c 然后根据导数的几何意义求出函数 f x 在 x 1 处的导数 从而求出切线的斜率 建立一等量关系 再根据切点在曲线上建立一等式 关系 解方程组即可 2 首先对 f x 2 1 求导 可得 f x 10 x3 9x 令 f x 0 解之即可求出函数的 单调递增区间 解答 解 1 f x ax4 bx2 c 的图象经过点 0 1 则 c 1 f x 4ax3 2bx k f 1 4a 2b 1 4 分 切点为 1 1 则 f x ax4 bx2 c 的图象经过点 1 1 得 a b c 1 得 a b f x 2 1 8 分 2 f x 10 x3 9x 0 x 0 或 x 单调递增区间为 0 12 分 点评 本题考查导数的计算与应用 注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系 利用导 数研究曲线上某点切线方程 属于基础题 20 如图 在底面是正方形的四棱锥 P ABCD 中 PA AB 1 PB PD 点 E 在 PD 上 且 PE ED 2 1 1 求证 PA 平面 ABCD 2 求二面角 D AC E 的余弦值 3 在棱 PC 上是否存在一点 F 使得 BF 平面 ACE 第 16 页 共 19 页 考点 用空间向量求平面间的夹角 向量语言表述线面的垂直 平行关系 分析 1 PA AB 1 PB 可得 PA AB 同理 PA AD 得证 2 设出平面 ACE 的一个法向量为 根据法向量与平面内任一向量垂直 数量积为 0 构造方 程组 求出平面 ACE 的法向量为 的坐标 代入面面夹角向量公式 即可求出答案 3 假设在棱 PC 存在一点 F 使得 BF 平面 AEC 则须与 垂直 数量积为 0 利用方程解 的存在与否判定点 F 是否存在 解答 解 1 正方形 ABCD 边长为 1 PA 1 所以 PAB PAD 90 即 PA AB PA AD AB AD A 根据直线和平面垂直的判定定理 有 PA 平面 ABCD 2 如图 以 A 为坐标原点 直线 AB AD AP 分别 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 则 由 1 知为平面 ACD 的法向量 设平面 ACE 的法向量为 则 令 c 6 则 b 3 a 3 4 分 设二面角 D AC E 的平面角为 则 又有图可知 为锐角 故所求二面角的余弦值为 3 设 则 若 BF 平面 ACE 则 即 1 1 3 3 6 0 第 17 页 共 19 页 计算得 所以 存在满足题意的点 即当 F 是棱 PC 的中点时 BF 平面 ACE 8 分 点评 1 注意勾股定理及其逆定理在证明线线垂直时价值 2 两平面法向量的夹角 与两平面间的夹角 关系是相等或互补 但必有 cos cos 3 此问重点考查了利用空间向量的方法及假设存在于方程的思想进行求解的方法 21 已知函数 f x x3 x2 cx d 有极值 求 c 的取值范围 若 f x 在 x 2 处取得极值 且当 x 0 时 f x d2 2d 恒成立 求 d 的取值范围 考点 函数在某点取得极值的条件 导数在最大值 最小值问题中的应用 专题 计算题 分析 I 由已知中函数解析式 f x x3 x2 cx d 我们易求出导函数 f x 的解析式 然后根据函数 f x x3 x2 cx d 有极值 方程 f x x2 x c 0 有两个实数解 构造关于 c 的 不等式 解不等式即可得到 c 的取值范围 若 f x 在 x 2 处取得极值 则 f 2 0 求出满足条件的 c 值后 可以分析出函数 f x x3 x2 cx d 的单调性 进而分析出当 x 0 时 函数的最大值 又由当 x 0 时 f x d2 2d 恒成立 可以构造出一个关于 d 的不等式 解不等式即