1511平面的性质.doc

高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 平面的性质考纲要求：内容ABC151 平面及其基本性质 152 直线与平面平行、垂直的判定及性质 153 两平面平行、垂直的判定及性质 基本框架：点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上点在直线外点与面点在面内点在面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交平行关系的相互转化垂直关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90范围：0，90范围：0，180点到面的距离直线与平面的距离平行平面之间的距离相互之间的转化cosqsinqcosqd空间向量空间直角坐标系空间的距离& 基本知识点（Level A）【1】三个公理和三条推论（1）公理1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内这是判断直线在平面内的常用方法（2）公理2：如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一（3）公理3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面公理3和三个推论是确定平面的依据（4）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行【2】线面平行思考途径 I转化为直线与平面无公共点；II转化为线线平行（三角形中位线；平行四边形（一组对边平行且相等）；III转化为面面平行支持定理 ； ； 配图助记abaaabbaa【3】线线平行思考途径 I转化为判定共面二直线无交点； II转化为二直线同与第三条直线平行；III转化为线面平行；IV转化为线面垂直；V转化为面面平行支持定理 ； ； 配图助记ababa【4】面面平行思考途径 I转化为判定二平面无公共点；II转化为线面平行；III转化为线面垂直支持定理 ； ； 配图助记ababObaabag【5】线线垂直思考途径 I转化为相交垂直；II转化为线面垂直；III转化为线与另一线的射影垂直；IV转化为线与形成射影的斜线垂直支持定理 ；所成角为；（三垂线及逆定理）；配图助记aabPAOa说明：三垂线定理及其逆定理现在高中阶段（江苏省）已不要求掌握，高考解答题不能直接使用结论，须先证明线面垂直再推导线线垂直【6】线面垂直思考途径 I转化为该直线与平面内任一直线垂直；II转化为该直线与平面内相交二直线垂直；III转化为该直线与平面的一条垂线平行；IV转化为该直线垂直于另一个平行平面；V转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 支持定理 ； ； 配图助记albaOablabaaaba【7】面面垂直思考途径 I转化为判断二面角是直二面角；II转化为线面垂直支持定理 二面角900；配图助记aabbaa【8】解答立体几何的有关问题时注意使用转化思想 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决 将空间图形展开（移出）是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法 补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高 平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变 平行转化： 垂直转化：【9】几个角（1）线线（异面）、线面、面面角的取值范围依次是，；（2）直线的倾斜角、到的角、与的夹角，或；术语：坡度、仰角、俯角、方位角等（3）向量的夹角；（4）反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是、【10】立体几何易错点1情况存在的“个数”问题（1）空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面个（2）过直线外一点有无数个平面与该直线平行（3）一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直线平行（4）条两两相交的直线可以确定个或个个平面（5）经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有或条（6）个平面可以把空间分或或或个部分（7）两两相交的条直线最多可以确定平面（8）两异面直线成，经过空间外一点与它们都成，）的直线有 ；条2平面与空间的“区分”问题（1）错误的命题 垂直于同一条直线的两直线平行 平行于同一直线的两平面平行 平行于同一平面的两直线平行 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直 两个不同平面内的两条直线叫做异面直线 一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直（2）正确的命题 平行于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行 两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面3其余章节易误提点（1）是为钝角的必要非充分条件（2）截距不一定大于零，可为负数，可为零（3）常常会是等式不成立的原因，模为，方向和任意向量平行，却不垂直（4）在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0的点不一定是极值点，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正” （5）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为& 拓展知识点（Level B）【1】求解空间角步骤：一作、二证、三算Step 1：找或作平面角；Step 2：求角1异面直线异面直线所成的角的范围异面直线所成角的求法：计算异面直线所成角的关键是平移 平移法：中点平移，顶点平移、平移直线构造三角形； 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系（理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角，仅附加题使用）2直线与平面定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，即解决线面垂直依靠面面垂直作线面垂直；范围是直线与平面所成角的求法： 直接法（利用线面角定义）； 先求斜线上的点到平面距离，与斜线段长度作比，得 向量法（理科），转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角，仅附加题使用）3二面角的求法（1）平面角的三要素： 顶点在棱上； 角的两边分别在两个半平面内； 角的两边与棱都垂直（2）二面角的范围：（3）二面角的作法 定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解，一般要利用图形的对称性（如等腰三角形）； 垂面法，能方便地找到一个与二面角的棱垂直的面，而这个面与二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角 三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解（江苏省不要求掌握）；（4）二面角的求法 转化为求平面角 射影法：利用面积射影公式：，其中为平面角的大小，对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法） 向量法（理科），转化为两个班平面法向量的夹角，仅附加题使用）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于 答案：（2）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是 答案：（3）在正方体中，是侧棱的中点，是底面的中心，是棱上的一点，则与所成的角的大小为 答案：（4）已知异面直线、所成的角为，为空间一点，则过且与、所成的角都是的直线有且仅有 条答案：（5）正方体中，、分别是、的中点，则棱 与截面所成的角的余弦值是 答案：（6）是从点引出的三条射线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为 答案：（7）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角，则的值为 答案：（8）正方形中，二面角的大小为 答案：（9）从点出发引三条射线、，每两条的夹角都是，则二面角的余弦值是 答案：（10）为菱形，面，且，则面与面所成的锐二面角的正切值为 答案：【2】求解空间距离两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线间的距离、两条异面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则1异面直线的距离 直接找公垂线段而求之 转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行 转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面2点到直线的距离一般用三垂线定理作出垂线再求解3点到平面的距离垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键体积法：转化为求三棱锥的高等价转移法4直线与平面的距离前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离5两平行平面之间的距离转化为求点到平面的距离6两条异面直线间的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交步骤：Step 1：找或作垂线段；Step 2：求距离（1）两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；（3）点到平面的距离： 直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长； 转移法，转化成求另一点到该平面的距离； 垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解； 等体积法； 向量法（理科）：，仅附加题使用7球面距离（步骤） 求线段的长； 求球心角的弧度数； 求劣弧的长_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知正方体的棱长为，则异面直线与的距离为 答案：（2）等边三角形的边长为，是边上的高，将沿折起，使之与所在平面成的二面角，这时点到的距离是答案：（3）点是的二面角内的一点，点到、的距离分别是、，则到的距离为答案：（4）长方体的棱，则点到平面的距离等于答案：（5）在棱长为的正方体中，是的中点，则到平面的距离为答案：（6）设地球半径为，在北纬圈上有两地，它们的纬度圈上的弧长等于，求两地间的球面距离答案：（7）球面上有点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这点的小圆的周长为，那么这个球的半径为答案：（8）三棱锥的三个侧面两两垂直，若四个点都在同一球面上，则此球面上两点、之间的球面距离是答案：【3】求解空间体积常规方法：直接法（公式法）、分割法、补形法、等积法（位置转换）、比例法（性质转换）等（等体积法的作用：可求出该体不易求出的高，这样就简化了对立体几何图形的处理）【4】立体几何中的重要性质1三棱椎中的射影性质 在三棱椎中，设顶点在底面的射影为，即平面 正三棱椎中，则有，在底面的射影是的中心 若，侧棱两两垂直（两对对棱垂直），则为的垂心 若，则为的外心 若，垂足分别为、且则点是的内心； 若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则为底面的旁心2射影定理的性质 若，则在面上的射影是的角平分线； 若，垂足分别、且则点在平面上的射影在平分线4直角四面体的性质直角四面体三条侧棱两两垂直的四面体在直角四面体中，、两两垂直,令，则： 底面三角形为锐角三角形； 直角顶点在底面的射影为三角形的垂心； ； ； ； 外接球半径.【5】关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形；面 边体 积 面 积 ；二面角 平面角面 积 线段长； & 深化知识点（Level C）【1】立体几何中的重要定理1面积射影定理（平面多边形及其射影的面积分别是和，它们所在平面所成锐二面角的为）2A三余弦定理设是内的任一条直线，是的一条斜线在内的射影，且，垂足为设与所成的角为， 与所成的角为，与所成的角为则3三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是，与二面角的棱所成的角是，则有； （当且仅当时等号成立）4最小角定理 （立平斜公式）设是内的任一条直线，且，垂足为，又设与所成的角为，与所成的角为，与所成的角为则探究：最小角定理的应用（为最小角）简记为： 成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有条 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有条 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有条或者条 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有条或者没有5三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角【2】立体几何中的重要定理BAPC提炼（1）；（2）相当于斜线与平面所成角；（3）相当于二面角；（4），平面（三垂线定理）；（5），平面（三垂线逆定理）；（6）垂线段最短（前提是在平面外由同一点引的所有线段）；（7）最小角定理（涉及到不等问题时要想到这里）【3】立体几何中的几个额外数量