（试题 试卷 真题）【步步高 通用（理）】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题六 第三讲

第三讲圆锥曲线的综合问题1 直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k，设直线方程为y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以x1x22；又因为a2b29，解得b29，a218.2 (2013江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A. B C D答案B解析SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k0，b0)，由已知，得a，c2，b2c2a21，故双曲线方程为y21.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意，知解得k1.所以当k1时，直线l与双曲线的左支有两个交点(3)由(2)，得xAxB，所以yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2，所以AB中点P的坐标为.设l0的方程为yxb，将P点的坐标代入l0的方程，得b，k1，213k20，b0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解(1)依题意知，c0，解得c1.所以抛物线C的方程为x24y.(2)由yx2得yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20，又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0 的两组解，所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2(2012福建)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个 顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点审题破题(1)先求出B点坐标，代入抛物线方程，可得p的值；(2)假设在y轴上存在定点M，使得以线段PQ为直径的圆经过点M，转化为0，从而判断点M是否存在(1)解依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明方法一由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)方法二由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.取x02，此时P(2,1)，Q(0，1)，以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0,1)、M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为22，交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0,1)以下证明点M(0,1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)反思归纳定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量变式训练2已知直线l：yx，圆O：x2y25，椭圆E：1(ab0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值(1)解设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，b.由题意得，a23，b22.椭圆E的方程为1.(2)证明设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程得，消去y得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理得，(2x)k22kx0y0(y3)0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2，点P在圆O上，xy5，k1k21.两条切线的斜率之积为常数1.题型三圆锥曲线中的存在性问题例3如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，且2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由审题破题(1)列方程组求出a、c即可；(2)由kOMkON先确定点M、N坐标满足条件，再根据2寻找点P满足条件：点P在F1、F2为焦点的椭圆上解(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故椭圆的标准方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2，得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M、N在椭圆x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220.所以P点是椭圆1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值，又因c，因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0)反思归纳探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论变式训练3已知点P是圆O：x2y29上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使()(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由解(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，点D的坐标为D(x0，0)，所以(xx0，y)，(0，y0)，又，故即因为P在圆O上，故有xy9，所以x229，即1，所以点Q的轨迹方程为1.(2)假设椭圆1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足()，则E(1,1)是线段MN的中点，且有即又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆1上，所以两式相减，得0，所以kMN，故直线MN的方程为4x9y130.所以椭圆上存在点M，N满足()，此时直线MN的方程为4x9y130.典例(12分)抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足(4，12)(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求ABP面积的最大值规范解答解(1)根据题意可设直线l的方程为ykx2，抛物线的方程为x22py(p0)由得x22pkx4p0.2分设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.所以(4，12)，所以解得故直线l的方程为y2x2，抛物线的方程为x22y.6分(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，ABP的面积最大对yx2求导，得yx，所以x02，即x02，y0x2，即P(2，2)此时点P到直线l的距离d.9分由得x24x40，则x1x24，x1x24，|AB|4.于是，ABP面积的最大值为48.12分评分细则(1)由(4，12)得到关于p，k的方程组得2分；解出p、k的值给1分；(2)确定ABP面积最大的条件给1分；(3)得到方程x24x40给1分阅卷老师提醒最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值1 由椭圆y21的左焦点作倾斜角为45的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则等于()A0 B1 C D3答案C解析直线l的方程为：yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x24x0.x10或x2，则y11，y2.x1x2y1y2.2 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析不妨设抛物线的标准方程为y22px(p0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x.代入y22px得，yp，即|AB|2p，又|AB|12，故p6，所以抛物线的准线方程为x3，故SABP61236.3 已知动圆圆心在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点()A(2,0) B(1,0) C(0,1) D(0，1)答案B解析因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4 设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|FM|y02.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.5 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_答案y24x解析设抛物线方程为y2ax.将yx代入y2ax，得x0或xa，2.a4.抛物线方程为y24x.6 已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_答案解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，所以2c2a23c2，所以离心率e.专题限时规范训练一、选择题1 已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若，则p等于()A1 B2 C3 D4答案B解析如图，由AB的斜率为，知60，又，M为AB的中点过点B作BP垂直准线l于点P，则ABP60，BAP30.M为焦点，即1，p2.2 已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 B C1 D0答案A解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y) (x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.3 设AB是过椭圆(ab0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(c,0)，则F1AB的面积最大为()Abc Bab Cac Db2答案A解析如图，由椭圆对称性知O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半又OF1c，F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值为b.所以F1OB的面积最大值为cb.所以F1AB的面积最大值为bc.4 已知点A(1,0)，B(1,0)及抛物线y22x，若抛物线上点P满足|PA|m|PB|，则m的最大值为()A3 B2 C. D.答案C解析据已知设P(x，y)，则有m ，据基本不等式有m ，即m的最大值为.故选C.5 直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为()A16 B C4 D答案B解析由得x23x40，xA1，xD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，|AF|yA1，|DF|yD15，.故选B.6 过椭圆C：1(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)答案C解析点B的横坐标是c，故B的坐标(c，)，已知k(，)，B(c，)又A(a,0)，则斜率k.由k，解得eb0)的左，右焦点，若在直线x上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则此椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析设P，F1P的中点Q的坐标为，当kQF2存在时，则kF1P，kQF2，由kF1PkQF21，得y2，y20，但注意到b22c20，即2c2b20，即3c2a20，即e2，故e1.当kQF2不存在时，b22c20，y0，此时F2为中点，即c2c，得e，综上，得e32.综合(1)(2)知(yy)min32.三、解答题13(2013天津)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求