2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式综合检测新人教A版.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式讲末综合检测 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知a，b，x1，x2R，ab1，x1x22，则M(ax1bx2)(bx1ax2)与4的大小关系是()AM4BM4CM4 DM4解析：选C.(ax1bx2)(bx1ax2)()2()2()2()2(x1x2)2(x1x2)24.2已知2x3y4z1，则x2y2z2的最小值是()A BC D解析：选D.由2x3y4z1，利用柯西不等式可得(x2y2z2)(4916)(2x3y4z)21，故x2y2z2，当且仅当时，取等号故x2y2z2的最小值为.3函数y3sin x4cos x的最大值为()A3 B4C5 D7解析：选C.由柯西不等式得(3sin x4cos x)2(3242)(sin2xcos2x)25.即53sin x4cos x5，所以y3sin x4cos x的最大值为5.4已知3x22y21，则3x2y的取值范围是()A0， B，0C， D5，5解析：选C.因为(3x22y2)()2()2(xy)2(3x2y)2，即5(3x22y2)(3x2y)2(当且仅当xy时等号成立)，又3x22y21，所以(3x2y)25，所以3x2y.5设a，b，c为正数，则(abc)的最小值为()A54 B9C121 D8解析：选C.因为a，b，c为正数，所以(abc)(236)2121.当且仅当a2，b3，c6时取等号6设a1，a2，a3为正数，E，Fa1a2a3，则E，F的大小关系是()AEF BEFCEF DEF解析：选B.不妨设a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2.由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.所以EF.7函数y的最大值为()A B3C4 D5解析：选C.由柯西不等式可得，函数y4，当且仅当时，等号成立，故函数y的最大值为4.8若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A21 BC16 D解析：选B.因为1x2y4z，所以x2y2z2，当x，即x，y，z时，等号成立，故x2y2z2取得最小值.9已知x，y，z均为正数，a，b，则a与b的大小关系为()Aab BabCa0，y0，z0，所以a0，b0，因为，即b2a2，所以ba.当且仅当，即xyz时，等号成立10已知x，y，a，b为正数，且ab10，1，xy的最小值为18，则a，b的值分别为()Aa2，b8Ba8，b2Ca2，b8或a8，b2Da2，b2或a8，b8解析：选C.因为xy(xy)()2ab218.又ab10，所以ab16.所以a2，b8或a8，b2.11已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，abck(xyz)，则k()A BC3 D9解析：选C.因为x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，所以(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2.又(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2等号成立，当且仅当k，则akx，bky，ckz，代入a2b2c290，得k2(x2y2z2)90.于是k3，故选C.12已知a2b2c21，若ab2c|x1|xm|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是()A8，)B(，42，)C(，18，)D2，)解析：选B.由柯西不等式得，(ab2c)2(234)(a2b2c2)9，即|ab2c|3，即ab2c的最大值为3，当且仅当时等号成立，所以ab2c|x1|xm|对任意实数a，b，c，x恒成立等价于|x1|xm|3对任意实数x恒成立又因为|x1|xm|(x1)(xm)|m1|对任意x恒成立，因此有|m1|3，解得m2或m4.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若xyz6，则x2y2z2的最小值为_解析：因为(121212)(x2y2z2)(xyz)236，当且仅当xyz2时等号成立所以x2y2z212.答案：1214函数y2的最大值是_解析：y.当且仅当x时，等号成立答案：15若x，y，zR，且1，则x的最小值是_解析：x9，当且仅当x3，y6，z9时，等号成立，故所求最小值为9.答案：916已知a，b为实数，且a0，b0，则(52a)24b2(ab)2的最小值是_解析：因为(52a)2(2b)2(ab)2(121222)(52a)12b1(ab)2225，当且仅当时取等号，解得a，b.所以(52a)24b2(ab)2，所以(52a)24b2(ab)2的最小值为.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)求函数y的最大值解：由1sin x0，4sin x10，得sin x1，则y2(14)，即y，当且仅当4(1sin x)sin x，即sin x时等号成立，所以函数y的最大值为.18(本小题满分12分)设a1a2anan1(n1，nN)，求证：0.证明：将a1an1写成a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，于是(a1a2)(a2a3)(anan1)n21.即(a1an1)1，所以，故0.19(本小题满分12分)已知0，求证：sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)证明：因为0，且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，所以0sin sin sin ，cos cos cos 0.所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)20(本小题满分12分)已知a，b，c为实数，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求证：a2b2c2；(2)求实数m的取值范围解：(1)证明：由柯西不等式，得(122232)(abc)2.即14(abc)2.所以a2b2c2，当且仅当|a|b|c|时取等号(2)由已知，得abc2m2，a2b2c21m，所以14(1m)(2m2)2，即2m23m50，所以m1，又因为a2b2c21m0，所以m1，所以m1.21(本小题满分12分)a，b，c都是正数，求证：an(a2bc)bn(b2ac)cn(c2ab)0(n是任意正数)证明：设abc0，只需证an2bn2cn2anbcbncacnab.(*)由不等式的性质，知an1bn1cn1，又abc，由排序原理，得an2bn2cn2an1bbn1ccn1a.又由不等式性质，知abacbc，anbncn.所以an1bbn1ccn1